第19章 四边形 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（沪科版·新教材 安徽专版）

16 二、11.-2：12.-1；13.1或2； 14.2025;15.3. 三、16(1)=1,3=- (2)x1=-1,x2=3; (3=0=-号 17.由题意，得m2-3m+2=0,m-1≠0. 解得m=2. 18.设应减少x条生产线. 根据题意，得(80-)(8+0)=840 解得x1=10,x2=50. 因为x≤80×20%=16，所以x=10. 答：应减少10条生产线。 19.(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 把x=-1代入方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0, 得a+c-2b+b-c=0. 解得a=b. 所以△ABC是等腰三角形. (2)因为△ABC是等边三角形， 所以a=b=c 此时方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0可化为x2+ x=0. 解得x1=0,x2=-1. 20.(1)2. (2)(y2-3y)2-4y2+12y=(y2-3y)2-4(y2-3y) =(y2-3y)(y2-3y-4)=0. 所以y2-3y=0或y2-3y-4=0. 解方程y2-3y=0,得y1=0,y2=3; 解方程y2-3y-4=0,得y3=-1,y4=4. 所以原方程的解为y1=0,y2=3,y3=-1,y4=4. 21.(1)13.4. (2)设需要销售x辆汽车，则每辆汽车的销售利润 为15-[13.5-0.05(x-1)]=(0.05x+1.45)万元. 当x≤10时，(0.05x+1.45)x+0.25x=12.整理， 得x2+34x-240=0.解得x1=6,x2=-40(不合题意， 舍去) 当x>10时，(0.05x+1.45)x+0.7x=12.整理，得 x2+43x-240=0.解得x1=5(不合题意，舍去)，x2= -48(不合题意，舍去). 答：需要销售6辆汽车， 《勾股定理及其逆定理》专项练习 1.D 2.船向岸边移动了9米 3.45. 4.(1)连接CD,图略. 因为DE是BC的垂直平分线，所以CD=DB. 因为BD2-DA2=AC2, 所以CD2-DA2=AC2. 所以CD2=AD2+AC2. 所以△ACD是直角三角形，且.∠A=90°. 所以△ABC是直角三角形 (2)设AD=3x,BD=4x,则CD=BD=4x,AB= AD DB =7x. 在Rt△ACD中，AC=√CD2-AD=√16x-9x =万x, 在Rt△ABC中，AC2+AB=BC,所以（√万x)2+ (7x)2=(2√14)2 解得x=1(负值舍去). 所以AC=√万×1=万. 参考答案· 5.11,60,61;6.2.5:7.7m. 8.(1)AB⊥BC.理由如下： 因为点D在点C的正北方5km处，即DC=5km. 所以BC2=BD2-DC=132-52=122. 因为AB2+BC2=162+122=202=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90° 所以AB⊥BC. (2)过点D作DE⊥AB,交AB的延长线于点E,图 略 所以∠E=90°，DE=BC=12km,BE=CD= 5 km. 所以AE=AB+BE=21km. 所以AD=√AE2+DE=3√65km. 《勾股定理及其逆定理》复习检测卷 题号 3 8 10 答案 B B 二、11.3或41；12.4：13.45°；14.15： 15.60. 三、16.AB的长为22，△ABD是直角三角形 17.钟摆AD的长度为17cm. 17.连接BD,过，点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 点F,图略.由题意知BF=b-a,因为S四边BED=S△ABE +ab,S阳边形D=S△A 28SADE8=7 +2(6-a）,所以25 -ab 所以a2+b2=c2 19.(1)因为BC=8m,CD=6m,BD=10m,所以 BC+CD2=82+62=102=BD2.所以△BCD是直角 三角形，且.∠BCD=90°. (2)过点A作AE⊥BD于点E,图略.因为AB=AD =13m,BD=10m,所以BE=2BD=5m在Rt△ABE 中，AE=√AB2-BE=12m.所以S阴=SABn-S△D 26D·4E-2BC·CD=36m2.所以200×36= 7200(元)，即此块空地全部种植花卉共需花费7200元， 20.(1)2. (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4,所以4s内， 点P在线段BC上，连接AP,图略.因为BP=AP=2tcm, BC=8cm,所以PC=(8-2t)cm.根据勾股定理，得PC2 +4C=AP,即(8-2)2+6=(2)2解得1=所 以Bp=2×=(em). (3)①当∠APB=90°时，点P和点C重合，t=4: ②当∠BAP=90°时，点P在线段BC延长线上，因为BP =2tcm,BC=8cm,所以PC=(2t-8)cm,在Rt△ACP 中，Ap2=AC+PC2=62+(2t-8)2,在Rt△ABP中， AP2=BP2-AB2=(2t)2-102,所以62+(2t-8)2= (2)2-10,解得4=空 综上所述，当△ABP为直角三角形时，1=4或空 21.(1)13. (2)因为AC=2,DF=1,CF=5,所以AH=2+1 =3,HD=5.所以AD=√32+5=34.所以 2+4+√(5-x)2+1的最小值是34. (3)构造△ABC,CD⊥AB于点D,AC=6,BC=8, 图略.设CD=x,则AD=√36-，BD=64-x.所以 数理极 AB=√36-x+/64-x=10.因为6+82=10，所以 ∠ACB=90P.所以7×6×8=号×10所以x=48 《四边形》专项练习 1.C;2.112.5:3.D. 4.设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n-2)× 180°=4×360°-180°.解得n=9. 答：这个多边形的边数为9. 5.D;6.A;7.3;8.20:9.B:10.C. 11.连接CE,图略. 因为D是AC边的中点，所以AD=CD. 因为DE=BD,所以四边形ABCE是平行四边形 所以AE=BC,AE∥BC. 因为CF=BC,所以CF=AE. 所以四边形ACFE是平行四边形， 12.4:13.2;14.D:15.C;16.22 17.2;18.25°. 19.(1)因为AB∥DE,所以∠A=∠D 因为AC=FD,所以AC-CF=DF-CF,即AF= DC. 在△ABF和△DEC中，因为AF=DC,∠A=∠D, AB DE, 所以△ABF≌△DEC(SAS). (2)因为△ABF≌△DEC,所以BF=EC,∠BFA= ∠ECD. 所以180°-∠BFA=180°-∠ECD,即∠BFC= ∠ECF. 所以EC∥BF.所以四边形BCEF是平行四边形. 因为∠CEF=90°，所以四边形BCEF是矩形 20.D:21.(1)6,(2)6. 22.(1)因为△A0E≌△D0C, 所以OA=OD,AE=CD,∠E=∠DCO 所以CD∥AB. 因为点A为BE的中点，所以AE=AB. 所以CD=AB.所以四边形ABCD是平行四边形 因为0D=2DC,0D=2AD,所以AD=DC 所以四边形ABCD是菱形， (2)过点C作CF⊥AB于点F,图略 因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC=6. 因为菱形ABCD的面积等于185， 所以AB边上的高CF=185÷6=35. 因为∠E=30°，所以EC=2CF=65. 23.(1)因为AD=CD,BD⊥AC, 所以OA=OC. 因为OE=OD, 所以四边形AECD是平行四边形， 因为AC⊥BD, 所以四边形AECD是菱形， (2)因为AB平分∠EAC,CF⊥AE,OE⊥OA, 所以BF=OB=3,∠A0E=90°. 所以Rt△AFB兰Rt△AOB(HL).所以AF=OA. 因为BE=5,所以EF=BE2-BF=4,OE= OB+BE =8. 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得OA2+OE2=AE2, 即(AE-4)2+82=AE2.解得AE=10. 因为四边形AECD是菱形，所以AD=AE=1O. 24.B. 25.因为 =子所以设BG=3,则BE=4 BG 数理招 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠B=90°.所以EG=√BG+BE2=5x. 因为FG是AE的垂直平分线，所以AG=EG=5x. 所以AB=AG+BG=8.x. (1)因为正方形ABCD的边长为4， 所以8=4解得x=分 所以B6=3x=号 (2)连接AF,EF,图略. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=BC=CD=8x,∠C=∠D=90° 所以CE=BC-BE=4x. 因为FG是AE的垂直平分线，所以AF=EF 所以AD2+DF2=CE2+CF2,即(8x)2+DF2= (4x)2+(8x-DF)2.解得DF=x. 所以cF=CD-DF=7x所以F=7 26.B. 27.（1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,CD=AB=4. 因为CE∥DB, 所以四边形ECDB是平行四边形. 所以BE=CD=4. 因为2B0=4,所以B0=2. 所以OE=BE-B0=2. (2)由(1)，得0B=0E=2. 因为CE∥DB, 所以∠CEO=∠FBO,∠ECO=∠BFO 所以△COE≌△FOB(AAS).所以OC=OF. 所以四边形BCEF是平行四边形 因为AB∥CD,CF⊥CD, 所以CF⊥OB.所以四边形BCEF是菱形. 因为BE=CD,CF=CD, 所以BE=CF.所以四边形BCEF是正方形 《四边形》复习检测卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B D B 二、11.8；12.两组对边分别相等的四边形是平行 四边形；13.3；14. /1 2 2；15.6或45. 三、16.取BC的中点H,连接EH,FH,图略 因为E,F分别是AB,CD的中点， 所以EH=7AC=2em,PH=2BD=3cm,EH/ AC,FH∥BD. 因为AC⊥BD,所以∠EHF=90° 在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF=√E+F :√/13cm. 17.因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE,即AF= EC.所以四边形AECF是平行四边形 因为AC=EF,所以四边形AECF是矩形， 18.(1)因为四边形ABCD为矩形， 所以AD∥BC.所以∠DAC=∠BCA. 由折叠的性质，得∠AF=?∠DAC=子∠BCA =∠MCE. 所以AF∥CE. …参考答案 (2)30.理由如下： 因为四边形ABCD为矩形， 所以AB∥CD,∠B=90°. 又因为AF∥CE,所以四边形AECF是平行四边形 因为∠BAC=30°，所以∠ACB=90°-∠BAC= 60°. 所以∠MCE=30°.所以AE=CE. 所以四边形AECF是菱形 19.（1)因为四边形ABCD是平行四边形，点O是BD 的中点， 所以AD∥BC,BO=DO.所以∠ADB=∠CBD ∠EBO=∠FDO, 在△BOE和△DOF中，{B0=DO, L∠BOE=∠DOF, 所以△BOE≌△DOF(ASA).所以DF=BE. 所以四边形BEDF是平行四边形. (2)过点D作DW⊥EC于点N,图略 因为DE=DC=6,DN⊥EC,CE=4, 所以EN=CN=2.所以DN=√DC-CN2= 42. 因为∠DBC=45°，DN⊥BC, 所以∠BDN=∠DBC=45°. 所以BN=DN=42. 所以BE=BN-EN=4√2-2. 因为S-BEDr=BE·DN=DE·PG,所以PG= BE·DN16-42 DE 3 20.(1)因为EF∥AC,所以∠EFD=∠OCD. ,∠OCD=∠EFD, 在△ODC和△EDF中，{DC=DF L∠CDO=∠FDE, 所以△ODC≌△EDF(ASA). (2)四边形OCEF是正方形.证明如下： 因为△ODC≌△EDF,所以OD=ED. 因为DF=DC,所以四边形OCEF是平行四边形， 因为OD=DC,所以ED=DC,OE=CF 所以四边形OCEF是矩形. 因为∠BEC=45°，所以∠DCE=45°. 所以∠CDE=180°-∠DEC-∠DCE=90°. 所以OE⊥CF.所以四边形OCEF是正方形. 21.（1)取OC的中点M,连接DM. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=CD,AB∥CD,∠BAO=∠DCM=45°. 所以∠CE0=∠ABO. 因为D为CE的中点，M为OC的中点， 所以OE=2MD,DM∥OE. 所以∠CDM=∠CEO.所以∠ABO=∠CDM. ,∠BAO=∠DCM, 在△ABO和△CDM中，{AB=CD L∠ABO=∠CDM, 所以△ABO≌△CDM(ASA). 所以OB=MD.所以OE=2OB. (2)因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， 所以AB=BC,∠BCE = ∠EBG=90°，BE=BG. 所以∠BEC+∠EBC=90°，∠ABE+∠GBH=90°. 由(1)得∠BEC=∠ABE. 所以∠EBC=∠GBH. 因为GH⊥AB,所以∠BHG=90°.所以△BEC≌ △BGH(AAS). 所以BC=BH.所以AB=BH. 17 《数据的初步分析》专项练习 1.9. 2.(1)400. (2)160,0.3,0.4. (3)补图略 (4)由频数分布表频数直方图可知，80≤x<90的 人数最多，其所占的频率为0.4（答案不惟一）. 3.8;4.D:5.C:6.D;7.7;8.12.2; 9.A;10.C;11.-2或0；12.D;13.丁； 14.10,2:15.79. 16.(1)128,128. (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大 于中等偏上的同学 (3)估计甲班平均分较高. 17.(1)80,86. (2)>. (3)因为七、八年级参赛学生成绩的平均数相同，七 年级参赛学生成绩的中位数较大，所以七年级参赛学生 的成绩较好 《数据的初步分析》复习检测卷 题号 2 3 8 10 答案 B B B 二、11.4；12.22.5；13.24；14.3b+2,9a; 15.-1或3或9. 三、16.(1)小明家每天的平均用电量是6度 (2)小明家4月份的电费约为100.8元 17.由题意得，最小值为102，m5= 117+110 2 113.5,ms0= 118+122 =120,m5= 132+123 2 2 127.5,最大值为150.箱线图略. 18.(1)8,6,0.16. (2)补全频数直方图略. (3)该基地冬训方案科学.理由如下： 由题意，得70分以上的有：16+6+16=38（人）. 所以冬训版果显著的人数占总人数的百分比为：器 ×100%=76%>70%. 所以该基地冬训方案科学， 19.(1)甲的得票分是：40×25%×2=20（分）； 乙的得票分是：40×40%×2=32（分）： 丙的得票分是：40×35%×2=28（分）. (2)甲的得分是：(75+90+20)÷3=1（分）： 乙的得分是：(80+80+32)÷3=64（分）： 丙的得分是：(84+80+28)÷3=64（分）. 因为64=64>185 , 所以无法确定人选 (3)甲的个人成绩是：75×40%+90×35%+20× 25%=66.5(分)； : 乙的个人成绩是：80×40%+80×35%+32×25% =68(分)； 丙的个人成绩是：84×40%+80×35%+28×25% =68.6(分) 因为68.6>68>66.5，所以丙将被选中. 20.(1)3.75,1.91,2.0. (2)B种树 (3)因为11÷5.6≈1.96，所以这片树叶更可能来专 ,题复习 数理极 ②菱形的四条边 第9章 四边形 ③菱形的对角线互相 ,并且每 条对角线 组对角. 9.菱形的判定 O江西 沈煜 (1)定义； 知识回厨 行四边形 (2)四边 的四边形是菱形： 4.平行线等分线段定理 (3)对角线互相 的平行四边形是 1.多边形内角和与外角和 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 菱形 (1)n边形(n为不小于3的整数)的内角和 相等，那么在其他直线上截得的线段也 10.正方形的性质 等于 (1)定义：有一个角是 且有一组 (2)n边形(n为不小于3的整数)的外角和 5.三角形中位线定理 邻边 的平行四边形叫作正方形. 等于 三角形的中位线 于第三边，并且 (2)性质： 2.平行四边形的性质 第三边的一半。 ①具有 和 的 (1)定义：两组对边分别 的四边形 6.矩形的性质 所有性质； 叫作平行四边形， (1)定义：有一个角是 的平行四边 ②正方形的四条边都 ,四个角都 (2)性质： 形叫作矩形. 是 ①平行四边形的对边 (2)性质： ③正方形的对角线 互相 ②平行四边形的对角 ①具有平行四边形的所有性质： ,并且每一条对角线 组对 ③平行四边形的对角线 ②矩形的四个角都是 角 (3)两条平行线中，一条直线上任意一点到 ③矩形的对角线 11.正方形的判定 另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距 ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (1)定义； 离.两条平行线之间的距离」 (2)先判定四边形是矩形，再判定它是菱 3.平行四边形的判定 7.矩形的判定 形； (1)定义； 1)定义； (3)先判定四边形是菱形，再判定它是矩 (2)一组对边 的四边形是平行四 (2)对角线相等的 是矩形； 形 边形； (3)三个角是 的四边形是矩形， 四边形之间的关系图 (3)两组对边分别 的四边形是平 8.菱形的性质 四边形 行四边形： (1)定义：有一组邻边 的平行四边 平行四边形 (4)对角线 的四边形是平行四边 形叫作菱形， 形 形 (2)性质： (5)两组 分别相等的四边形是平 ①具有平行四边形的所有性质： 考点解密 ●专项练习 解：因为正十边形的外角和为360°，且每 5.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C= ÷考点1：多边形内角和与外角和 个外角都相等，所以正十边形一个外角的度数 100°，则∠D= 例1如图1，正五边形 是：360°÷10=36° A.50° B.80° ABCDE中，连接AC,则 故填36°. C.100 D.1309 ∠BAC的度数是 ●专项练习 6.如图5，□ABCD的 解：因为五边形ABCDE 3.如图3，将一个五边形 顶点坐标分别为A(1,4), 是正五边形，所以AB=BC, ABCDE沿虚线裁去一个角，得 B(1,1).C(5,2),则点D ∠B=(5-2）x180=108所t以∠BAC= 到六边形ABCDGF,则下列说B 的坐标为 () 法正确的是 A.(5,5) B.(5.6) LBC4=(180-∠B)=360 A.外角和减少180° C.(6,6 D.(5,4) B.外角和增加180° 7.如图6，已知直线41∥b2,点A在直线 故填36° C.内角和减少180° 上，点B,C在直线l2上，AC⊥12.如果AB ●专项练习 D.内角和增加180 5cm,BC=4cm,则平行线l,42之间的距离是 1.已知一个n边形的内角和是1080°，从它 4.一个多边形的内角和比外角和的4倍少 cm. 的一个顶点出发一共可以作m条对角线，则m+ 180°，求这个多边形的边数 n的值为 ( ”考点2：平行四边形的性质 A.9 B.11 例3如图4，在口ABCD C.13 D.28 中，BD=CD,AE⊥BD于点 2.图2-①所示的是一把木工台锯时使用 图6 7 E.若∠C=70°，则∠BAE= 的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图 8.如图7，平行四边形ABCD的对角线AC与 2-②所示的六角尺示意图中，x的值是 BD相交于点0，AB⊥AC.若AB=8,AC=12,则 解：因为BD=CD,∠C= BD的长是 70°，所以∠DBC=70°.所以 4 。考点3：平行四边形的判定 135°x ∠BDC=180°-∠C-∠DBC=40°.因为四边 例4如图8，已知 -120)°(x+9)0 形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD.所以EF∥AC,B,D分别是AC 120°126 ∠ABD=∠BDC=40.因为AE⊥BD,所以和EF上的点，∠EDC= ② ∠AEB=90°.所以∠BAE=90°-∠ABE= ∠CBE.求证：四边形 图2 50. BCDE是平行四边形 例2正十边形一个外角的度数是 故填50， (下转第27版) 数理招 专题复 习 27 (上接第6版) +BE=8+2③ 在△ABM和△DCM中，因为AB=DC,∠1 证明：因为EF∥AC,所以∠EDC+∠C= 故选C. =∠2，BM= CM,所以△ABM≌ 18O°.因为∠EDC=∠CBE,所以∠CBE+∠C ●专项练习 △DCM(SAS.所以∠A=∠D=90.所以 =180°.所以EB∥DC.所以四边形BCDE是平 13.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4,点D 口ABCD是矩形. 行四边形. 为AC的中点，则BD的长为 选择②.证明如下： ●专项练习 14.如图14，在矩 在△ABM和△DCM中，因为AB=DC,AM 9.依据所标数据，一定是平行四边形的是 形ABCD中，对角线 =DM,BM=CM,所以△ABM≌△DCM(SSS). ( AC,BD交于点O,过点 所以∠A=∠D=90°.所以口ABCD是矩形. 5 O作EF⊥AC交AD于 ●专项练习 10 100° 点E,交BC于点F已 18.如图19，平行四边形ABCD中，对角线 图14 70°110 70° 80°110 知AB=4,△AOE的面积为5，则DE的长为 AC,BD相交于点0，且OA=OB,∠OAD=65, A ( :则∠ODC= 10.如图9，已知AB∥CD,增加下列条件可 A.2 B.5C.6 D.3 以使四边形ABCD成为平行四边形的是( 15.如图15，在矩形ABCD中，对角线AC,BD A.∠1=∠2 B.AD =BC 相交于点O,AB=BO,AE平分∠BAD交BC于 C.OA =OC D.AD AB 点E,点E,F关于AC对称，连接EF,则∠AEF的 网10 20 度数为 19.如图20，已知AB∥DE,AB=DE,AC= A.90 B.85° FD,∠CEF=90°.求证： C.759 D.无法确定 (I)△ABF≌△DEC; 图9 11.如图10，在△ABC中，D是AC边的中点， (2)四边形BCEF是矩形. 连接BD并延长至点E,使DE=BD,延长BC至 考点8：菱形的性质 点F,使CF=BC,连接AE,EF求证：四边形 例9如图21，葵形 ACFE是平行四边形. ABCD中，连接AC,BD.若 ?考点4：三角形的中位线定理 图15 图16 ∠1=20°，则∠2的度数 为 ( ) 例5如图11，A,B 16.如图16，在矩形ABCD中，AB=1,AD= A.20° B.60% 两点被池塘隔开，A,B,C 2,点E在AD上，点F在BC上，且AE=CF,连接 C.70° D.80° 三点不共线.设AC,BC CE,DF,则CE+DF的最小值为 ÷考点6：直角三角形斜边上中线的性质 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥ 的中点分别为M,N.若 CD,AC⊥BD.所以∠DCA=∠1=20°.所以 MN=3米，则AB= 例7如图17，在 ∠2=90°-∠DCA=70°. ( Rt△ABC中，∠BAC=90°. 故选C. A.4米 B.6米C.8米 D.10米AD,AE分别是边BC上的 ●专项练习 解：因为M,N分别是AC,BC的中点，所以中线、高.若AE=2,AD= 20.将两个完全相同的菱形按如图22方式 AB=2MN=6米. 3,则△ABC的面积为 图11 放置.若∠BAD=a,∠CBE=B,则B= 故选B. ●专项练习 A.2 B.3 C.4 D.6 12.如图12，在△ABC 解：因为AD是Rt△ABC斜边的中线，AD A.45°+ a B.45°+20 中，AB=BC=14,BD是AC 3 C.90° 边上的高，垂足为D,点F在 所以BC=2AD=6. 20 D.90°-20 BC边上，连接AF,E为AF的 因为AE是Rt△ABC的高， 中点，连接DE.若DE=5,则 所以Sar=8CA=6 BF的长是 故选D. ?考点5：矩形的性质 ●专项练习 例6如图13,0是 17.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4,点D 矩形ABCD的对角线AC 图22 图23 为AC的中点，则BD的长为 的中点，E为AD的中点. 21.如图23，已知菱形ABCD的面积等于24， 。考点7：矩形的判定 若AB=6,BC=8,则 BD=8,则 图13 例8如图18，点M △BOE的周长为 (1)AC= 在口ABCD的AD边上， A.10 B.8+25 (2)点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边 BM=CM,请从以下三 上的点，且BE=BF=CG=AH,则EF+GH= C.8+23 D.14 个选项中：①∠1=∠2： 解：因为四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8, ②AM=DM:③∠3= 18 ÷考点9：菱形的判定 所以CD=6,AD=8,∠ABC=∠BAD=90°因为 ∠4，选择一个合适的选 例10 如图24，在 点0是AC的中点，E为AD的中点，所以OE= 项作为已知条件，使口ABCD是矩形 -CD △ABC中，AB=AC,AD是BC (1)你添加的条件是 （填序号)； :边上的中线，点E在DA的延 =3,AE= AD=4.根据勾股定理，得BE= (2)添加条件后，请证明口ABCD是矩形 长线上，连接BE,过点C作 2 解：(1)①（或②）； CF∥BE交AD的延长线于点 √AB2+AE=23,AC=√AB+BC=10.所 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以F,连接BF,CE.求证：四边形 图24 以B0=2AC=5.所以△B0E的周张为：B0+OE AB∥DC,AB=DC.所以∠A+∠D=180° BECF是菱形. 选择①.证明如下： (下转第28版) 28 专题复习 数理极 (上接第27版) C.2B-a=90° （上接第4版) 证明：因为AB=AC,AD是BC边上的中线， D.2a+B=1809 12.若x=3是关于x的一元二次方程x2 所以AD垂直平分BC.所以EB=EC,FB=FC mx-3=0的一个解，则方程的另一个解是 因为CF∥BE,所以∠BED=∠CFD,∠EBD= ( ∠FCD.又因为BD=CD,所以△EBD≌ A.x=2 B.x=-1 △FCD(AAS).所以BE=CF.所以EB=FB= C.x=0 D.x=-2 FC=EC.所以四边形BECF是菱形 13.若方程x2+3x-1=0的两个根为x1, ●专项练习 5.如图29，正方形4BCD中，E为BC边上，则+二的值是 22.如图25，在四边形ABCD中，0为DA边的点，连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G, ÷考点5：一元二次方程的应用 上一点，连接C0并延长与BA的延长线交于点 例6如图，有一块矩形纸板，长为20cm, E,且点A恰好为BE的中点，0D=2DC,△A0E 交CD于点F,连接6B已如8胎=子 宽为15cm,在它的四角各切去一个同样的正方 (1)若正方形ABCD的边长为4，求BG的形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方 ≌△DOC. 长； 盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为176cm2, (1)求证：四边形ABCD是菱形； （2)求证器=号 那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ (2)若∠E=30°，BC=6,菱形ABCD的面 积等于185，求EC的长 ÷考点11：正方形的判定 例12 如图30 口ABCD的对角线AC, BD交于点O,分别以点 解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是 B.c为圆心24c,2B0 1xcm,则制作的无盖方盒的底面长是(20 425 26 图30 的长为半径画弧，两弧交 2x)cm,宽是(15-2x)cm, 23.如图26，在四边形ABCD中，AD=CD, 于点P,连接BP,CP 根据题意，得(20-2x)(15-2x)=176. BD⊥AC于点O,点E是DB延长线上一点，OE 整理，得2x2-35x+62=0. (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理 =OD,BF⊥AE于点F 由： 解得1=2,52= 头（不合题意，合去） (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB平分∠EAC,OB=3,BE=5,求 (2)请说明当口ABCD的对角线满足什么 答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是 条件时，四边形BPCO是正方形？ i2 cm. EF和AD的长 解：(1)四边形BPC0是平行四边形理由 ●专项练习 ◆考点10：正方形的性质 如下： 14.股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过 例11如图27，在正方形 :10%,即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫 ABCD中，0为对角线AC的中点，E 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OC 作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫 为正方形内一点，连接BE,BE = 24C,0B=8肌因为分别以点B,C为圆作跌停现有一支股票某天涨停，之后两天时间 BA,连接CE并延长，与∠ABE的平 图2 又跌回到涨停之前的价格.若这两天此股票股价 分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长度 心4C,BD的长为半径画弧，两弧交于点P,的平均下联率为，则满足的方程是《) 为 ()所以CP=OB,BP=OC.所以四边形BPCO是 A.(1+10%)(1-x)2=1 B.5 B.(1-10%)(1+x)2=1 A.2 C.1 D.2 平行四边形. C.(1-10%)(1+2x)=1 解：如图27，连接AF.因为四边形ABCD是 (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO时 D.(1+10%)(1-2x)=1 正方形，所以AB=BC=2,LABC=90°.根据是正方形.理由如下： 15.《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜 勾股定理，得AC=√AB2+BC2=2√2.因为BE 因为AC1BD,所以LBOC=90°.所以四年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰 =BA,所以BE=BC.所以∠BEC=∠BCE.所边形BPC0是矩形因为AC=BD,所以OB=飞烟灭，然天妒英才，英年早逝.欣赏下面改编的 以∠EBC=180°-2∠BEC.所以∠ABE=OC.所以四边形BPCO是正方形 诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立 ∠ABC-∠EBC=2∠BEC-90°.因为BF平分 ●专项练习 之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三， LABE,所以∠ABF=∠BBF=分∠ABE= 26.当一个四边形的两组对边分别平行，四个位平方与寿符.”这位风流人物去世的年龄为 条边都相等，四个角都相等时，这个四边形是 岁 ∠BEC-45°.所以∠BFE=∠BEC-∠EBF= 16.某合作社2023年到2025年每年种植土 45°.在△BAF和△BEF中，因为AB=EB, 豆100亩，2023年土豆的平均亩产量为1000千 A.平行四边形 B.正方形 ∠ABF=∠EBF,BF=BF,所以△BAF≌ 克，2024年到2025年引进先进的种植技术，2025 C.菱形 D.矩形 △BEF(SAS).所以∠BFE=∠BFA=45°.所 年土豆的平均亩产量达到1440千克 27.如图31， 以∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°.因为O为对 (1)若2024年和2025年土豆的平均亩产量 口ABCD中，过点C 的年增长率相同，求土豆的平均亩产量的年增长 角线AC的中点，所以0F=AC=2. 作CF⊥CD,CF= 率 故选D. CD,CF交DB的延 (2)2026年该合作社计划在保证土豆种植 ●专项练习 长线于点F;过点C 的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积， 24.如图28，点E是正方形ABCD对角线BD作CE∥DB,交AB的延长线于点E,BE交CF于经过统计调查发现，2025年每亩土豆的种植成 上一点，点F在BC上且EF=EC,连接AE,AR点O,连接EF,AB=2B0=4 本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则 (1)求0E的长； 每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社 若∠ECF=,∠AFB=B,则 A.B-a=15° (2)求证：四边形BCEF是正方形. 增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的 总成本不变 B.a+B=1359 (本章检测卷见第13~14版) (本章检测卷见第9~10版)