25.2.6一元二次方程的根与系数的关系 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入从求根公式入手，引导学生观察根的形式特点，通过相加相乘发现规律，衔接已学求根公式知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于注重定理推导过程，通过求根公式和因式分解双重验证培养逻辑推理，设计分层练习涵盖不同方程及根的和、积、平方和等应用提升数学运算，强调判别式前提培养严谨思维，符合新课标核心素养要求。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第六课时：25.2.6一元二次方程的根与系数的关系学案 一、素养目标 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系式； 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题； 3.由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差. 4.理解根与系数关系，掌握推导运用；培养逻辑推理、数学运算与建模核心素养. 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述. 三、教学过程 课堂导入 由一元二次方程的解法可知，当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根可由系数a，b，c确定.由求根公式可知，通过对系数a，b，c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 思考 观察求根公式，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. ， ∵ ， ∴ 归纳总结 由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系：：，. 注意： (1)不是一般形式的，要化成一般形式； (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2－4ac≥0； (3)在使用时，注意“－”不要漏写. 这种表示方式中，交换x1，x2的位置，不影响它们的和、积的值.随着后续的学习，研究一元n次 方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的左边可以分解因式为a(x－x1)(x－x2)，那么方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1和x2.反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1和x2，那么 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) 即 ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2 由此可得 －a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c 因此 ，. 解方程2x2－3x＋1＝0，验证上述关系？ 解：∵ a＝2，b＝－3，c＝1 ∴ Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0 方程有两个不相等的实数根 即 x1＝1，x2＝ ，. 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 (2) 3x2＋7x－9＝0 (3) 5x－1＝4x2 解：(1) x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (2) x1＋x2＝，x1x2＝＝－3. (3) 方程化为 4x2－5x＋1＝0. ∴ x1＋x2＝＝，x1x2＝. 课堂练习 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－3x＝15 (2) 3x2＋2＝1－4x (3) 5x2－1＝4x2＋x (4) 2x2－x＋2＝3x＋1 参考答案： （1）3，-15（2），，（3）1，-0.2 （4）2, 0.5 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课教学一元二次方程根与系数的关系，通过实例推导韦达定理，学生能初步掌握两根和、两根积与系数的关系。但教学中发现，部分学生对定理推导过程理解不透彻，只会机械套用公式。在综合求值、含参数方程应用题型中，容易忽略判别式取值前提。后续教学应加强定理推导引导，增加分层练习，强调解题先判断根的存在性，帮助学生灵活运用知识解决实际问题。 6、 课堂检测 1、 解方程 （1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0. （5）x2+16x=0 （6）5x2-10x=-5 （7）x（x-3）+x-3=0 （8）2(x-3)2=9-x2 2、 不解方程，求方程x2+2x-4=0（1）两根的平方和。（2倒数和 （3）两根差的平方 3、先化简，在求值：，其中 参考答案： 1、 （1）-2,4（2）（3）2，-0.5 （4）（5）0，-16 （6）1（7）3，-1 （8）3,1 2、（1）12（2）0.5（3）8 3、a-2, 学科网（北京）股份有限公司 $