1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，适配空间向量位置关系的课时巩固与暑假提升，培养空间观念、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|法向量、方向向量等概念及简单运算|单选题直接考查定义应用，如平面法向量求解、向量垂直条件判断| |中档层|垂直平行关系、动点轨迹等综合应用|多选题结合几何直观（如正方体中点线面位置），填空题考查轨迹长度计算| |拔高层|翻折问题、体积计算等复杂情境|解答题需数学建模（如建立坐标系）与逻辑推理，如存在性证明、体积分割|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 3．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 4．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 5．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 6．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8．正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连接， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 易知， 因为，故，因此， 又易知平面，平面， 故，则， 则，设， 则， 因为，得， 所以点在以为球心，以为半径的球面上， 且， 则， 即线段长度的取值范围为． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 10．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（     ） A． B．面 C．到面的距离为定值 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，因为,所以；对于B，平面平面,故平面；对于C，因为平面，所以到面的距离为到面的距离；对于D，面积是,写出t的表达式，再求最小值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 在上，过点作交于设，则, 则 选项 A：, 因为,所以，A正确; 选项 B：在正方体中，因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面，同理可证∥平面， 因为，平面，所以平面平面 因为面，故平面，B正确; 选项 C：因为平面，所以到面的距离为到面的距离，设为 等边边长，， 因为，所以， 所以到面的距离为，C 错误； 选项 D： , 所以所以 所以面积是 当,D 正确. 11．设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算得到，根据题意即可判断A；根据，可得到可判断B；通过举反例可判断C；证明点均在平面内可判断D. 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 13．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 【答案】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，则平面， ，平面，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令，得，， 因为平面， 所以，所以， 解得，则， 又， 所以， 所以. 故答案为： 14．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【分析】由三棱锥体积公式可判断①正确，由空间直角坐标系面面垂直定理可判断②错误，由余弦定理判断③正确，由立体几何证明可判断④正确. 【详解】对于①：三棱锥的底面积为， 所以三棱锥的体积，为定值；结论①正确. 对于②：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，因为，， 设平面的法向量为，则， 取得； 因为，，平面的法向量为， 则，取得； 因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得， 判别式，无实根， 所以不存在点，使得平面平面，结论②错误； 对于③：计算三边长度的平方，， ， ， 所以，所以中最大， 因为， 所以最大角为锐角，因此为锐角三角形，结论③正确； 对于④：记，连接， 平面，平面，所以， 所以点到的中点距离等于，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论④错误. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 17．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 18．如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，设与交于点，证得和，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，根据点在平面内，得到，列出方程，求得的值，进而得到的值. 【详解】（1）证明：因为底面为边长为的正方形，可得， 又因为，则满足，所以， 设与交于点，则点为的中点，因为，所以， 因为底面为正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）由（1）知：平面，且， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 因为分别为的中点，可得， 又因为，即，且， 所以，可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面内，则，可得， 解得，所以. 19．如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质结合线面垂直判定定理可得平面，从而得平面平面，存在平面使得平面且平面，从而可得，于是可得，进而平面，根据垂直关系可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量的坐标运算确定的坐标，在平面内，得直线，直线，联立解得的坐标，该根据四棱锥的截面性质求解分成上下两部分的体积之比. 【详解】（1）证明：在平面图中，因为分别为的中点，所以， 所以翻折后有，又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 那么存在一直线平面使得平面且平面， 因为平面平面，所以存在直线平面使得平面且平面， 则，又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以点为的中点； （2）延长交于点，连接交于点，则截面即为， 记该截面将四棱锥分成上下两部分的体积分别为， 以为原点，过点垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为平面平面， 所以是二面角的平面角，即， 又因为，所以，则， 在平面内，直线即，直线即， 联立解得，而，所以， 则， ， 所以， 所以. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 5．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 8．正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 10．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（     ） A． B．面 C．到面的距离为定值 D．面积的最小值为 11．设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 13．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 14．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 16．已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 17．在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 18．如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 19．如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $