1.1.1 空间向量及其线性运算课时练习-2026年暑假高二预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量及其线性运算同步练，分层梯度清晰，从概念辨析到综合应用渐进设计，适配暑假知识巩固与推理能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量概念（单位向量、零向量）、线性运算|选择1-2直接考查定义，夯实抽象能力与空间观念| |中档|共线共面判定、向量表示（三棱柱、四面体情境）|选择5-7结合几何模型，提升推理意识与运算能力| |拔高|综合应用（四点共面证明、参数求解）|解答18-19需构建向量关系，发展逻辑推理与模型观念|

1.1.1 空间向量及其线性运算课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 3．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 4．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 6．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 7．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 10．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【分析】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项. 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 11．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平行六面体中，，，则实数的值为______ 【答案】2 【分析】将，都用基底，，表示出来，得到，即可得到. 【详解】， 所以， 故答案为：2. 13．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据空间的加法法则、减法法则和共线定理，即可求，进而求出，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知， ， 所以，所以. 故答案为：. 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 16．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 【答案】；. 【分析】根据是的中点结合平行四边形法则可表示出；根据条件先表示出，根据表示出，结合线段长度关系表示出，由可求结果. 【详解】因为是的中点，所以，所以； 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 17．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 19．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 3．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 4．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 11．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．平行六面体中，，，则实数的值为______ 13．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 14．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 16．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，用向量 表示. 17．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 18．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 19．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $