数学期末复习讲义（概率与统计初步）-2025-2026学年高一下学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一下学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义和期末模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高一下学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—概率与统计初步 核心考点 复习目标 考情规律 随机事件的概念 理解随机事件的概念 基础考点，单独考查，出现在选择题中 频率与概率 理解概念，掌握频率与概率的关系 基础考点，出现在选择题中 古典概型的计算 掌握古典概型的概率计算公式，并了解互斥事件的概率加法公式 必考考点，出现在选择题、填空题、解答题中，解答题中常做为关键一步出现 区分简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种基本方法 能根据描述判断抽样方法 基础考点，出现在选择题中，系统抽样、分层抽样涉及到计算 统计图表 掌握频率分布直方图的绘制与解读 常考考点，常在解答题中作为一步出现 计算样本均值（平均数）、方差、标准差，并理解它们作为总体估计的意义 掌握均值、方差、标准差的计算公式 基础考点，常出现在选择题、填空题中 第八章 概率与统计初步 知识点1 概率 1.随机事件和确定事件 (1)在条件S下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件． (4)在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件． 2.概率与频率 (1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的__频率__． (2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率fn(A)__来估计概率P(A)． 3.互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义 符号表示 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生或事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) __A∪B__ __(或A＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A发生且事件B发生__，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) __A∩B__ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B为__不可能__事件，则称事件A与事件B互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然事件__，则称事件A与事件B互为对立事件 __A∩B＝∅，__ __且A∪B＝Ω__ 4.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_互斥__的． (2)任何事件都可以表示成_基本事件__的和(除不可能事件)． 5.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 6.古典概型的概率公式 P(A)＝___. 重要结论 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__． (4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__． 知识点2 统计初步 1. 随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中__逐个__抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，抽取是不放回的，且每次抽取时总体内__未进入样本的各个个体__被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 抽签法：先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个__不透明__的盒里，充分__搅拌__.最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. （2）系统抽样 当总体容量较大时，这时我们可将总体分成均衡的若干部分，按照预先确定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样方法称为系统抽样． （3）分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分（在统计上称为“层”），再从每一层内随机抽取一定数量的个体组成样本，这种抽样方法称为分层抽样． 2.统计图表 画频率分布直方图的步骤 1．求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差. 2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 3．将数据分组. 4．列频率分布表：一般分四列，即分组、__频数累计__、频数、__频率__.其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__. 5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝__频率__.各小长方形的面积和等于1． 3. 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 一、单选题 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法中，正确的是（    ）. A．进行1000次随机试验，事件发生了500次，则事件发生的概率是 B．抛掷两颗骰子，点数之和为13，这是可能事件 C．若某种疾病的治愈率为，则10个病人进行治疗，一定有8个人被治愈 D．不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1 2．（2025高三·全国·专题练习）某人将一枚硬币连抛次，正面朝上的情况出现了次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ） A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近 3．（2024高三·专题练习）从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（    ） A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件 C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件 4．（22-23高三·广西南宁·一模）从1，2，3，4，5五个数中任取两个（不可重复），则它们的和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（12-13高三·陕西·自主招生）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·浙江衢州·学业考试）飞行棋是备受儿童喜欢的棋类游戏，一般由2至4位玩家参与．规定玩家必须投掷出骰子点数为5或6，才能将棋子从基地处移至起飞处．若玩家甲在第一次投掷骰子时就可以把棋子从基地处移至起飞处的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）某高校有2400名毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现用分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则等于（    ） A．100 B．200 C．120 D．400 8．（24-25高三上·四川成都·期中）用系统抽样法（按等距离的规则）从200名志愿者中抽取容量为40的样本，将200名志愿者从进行编号，平均分成40组（号，号，…，号），若第25组应抽出的号码为121，则第一组中按此抽签方法确定的号码为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河北保定·期末）如图是某班学生数学成绩的频率分布直方图，该数据的分组依次为，若低于60分的人数有12人，则该班学生的总人数是（   ）    A．36 B．40 C．44 D．48 10．（24-25高一下·全国·课前预习）（高教版）样本101，98，102，100，99的标准差为（   ） A． B．0 C．1 D．2 答案 1．D 【分析】利用频率与概率的关系、概率的定义与事件的定义，逐一分析判断即可得解. 【详解】A选项：进行1000次试验，事件发生500次， 这只能说明事件的频率为， 而概率是理论值，频率不等于概率，故A错误， B选项：抛掷两颗骰子，点数之和的最大值为， 点数和为13是不可能发生的，属于不可能事件，而非可能事件，故B错误， C选项：治愈率为是一个统计概率，意味着每个病人被治愈的可能性为， 对于10个病人，这是一个随机事件， 一定有8个人被治愈的说法过于绝对，实际被治愈的人数是一个随机变量，故C错误， D选项：根据概率的定义，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故D正确. 故选：D. 2．A 【分析】根据题意由频率频数总数求出频率，再由频率估计概率即可. 【详解】由一枚硬币连抛次，正面朝上的情况出现了次， 可知事件A的频率为，概率接近为， 所以A选项正确，BCD选项错误， 故选：A. 3．A 【分析】将取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，进而根据题意得到答案. 【详解】取出的三件产品分类为M= “三件产品全是正品”，N= “两件正品，一件次品”，P= “一件正品，两件次品”，Q= “三件产品全是次品”，它们之间两两互斥. 于是A=M，B=Q，， 所以A与B互斥但不对立，A错误；B,C,D正确. 故选：A. 4．C 【分析】由组合数和古典概型的计算公式代入计算即可. 【详解】记事件A为它们的和为偶数， 从1，2，3，4，5五个数中任取两个数字的方法数为， 和为偶数的有：共4个， 所以. 故选:C. 5．C 【分析】从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法共有3种，甲被选中共有两种选法，根据古典概型的概率公式即可求出甲被选中的概率. 【详解】从甲、乙、丙三人中任选两名代表的所有可能结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种， 其中甲被选中的有：（甲，乙），（甲，丙）共2种，故甲被选中的概率为，因此选项C正确. 故选：C. 6．C 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，玩家必须投掷出骰子点数为5或6，棋子可以从基地处移至起飞处， 因为投出点数为的概率为，投出点数为的概率为， 所以第一次投掷骰子时就可以把棋子从基地处移至起飞处的概率. 故选：C. 7．C 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】依题意，，解得， 故选：． 8．A 【分析】结合题意，分段间隔为5，根据系统抽样的概念列出方程求解即可． 【详解】因为从200名志愿者中抽取容量为40的样本，所以分段间隔为5， 设第一组中按此抽签方法确定的号码为， 若第25组应抽出的号码为121，则，解得， 则第一组中按此抽签方法确定的号码为1． 故选：A． 9．B 【分析】先计算低于60分的频率，结合其人数可得到总人数. 【详解】依题意可知，组距为20，低于60分的区间为和， 所以低于60分的频率为， 又低于60分的人数为12人， 则总人数为， 所以该班学生的总人数是40. 故选：B. 10．A 【分析】根据题意先计算样本的平均值，再结合标准差的公式即可得解. 【详解】样本平均数，则方差为， 高教版： ， 故样本的标准差. 故选：. 题型一 随机事件 【典例1】（22-23高一下·河南漯河·期末）一个盒子内装有大小和形状相同的一个红球和两个白球，“从中任意摸出一个球，得到红球”这个事件是（    ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．不确定是哪类事件 【答案】B 【分析】根据事件的相关概念判断. 【详解】∵一个盒子内装有大小和形状相同的一个红球和两个白球，从中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是白球， ∴“从中任意摸出一个球，得到红球”这个事件是随机事件. 故选：B． 【典例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列事件中是不可能事件的是（   ） A．乘车上班，遇到堵车 B．把实心铁球扔到纯净水中，铁球浮起 C．从一副扑克牌中任取一张，取到的是黑桃A D．掷一枚硬币，正面向下 【答案】B 【分析】根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念可判断结果. 【详解】乘车上班，遇到堵车，是随机事件； 把实心铁球扔到纯净水中，铁球浮起，是不可能事件； 从一副扑克牌中任取一张，取到的是黑桃A，是随机事件； 掷一枚硬币，正面向下是随机事件. 故选：B 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）中国篮球职业联塞（CBA）中，某男篮球运动是在最近几次比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 100 55 18 m 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据各个事件的频率估计相应的概率，再利用概率的基本性质求解. 【详解】由题意可知，，，， 事件与事件为对立事件，且事件互斥， 所以， ，， 所以选项A，B，C正确，选项D错误. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 一、概念判断与辨析（选择题、判断题） 这类题目专门考查你对核心概念的理解，答题要抠字眼 二、频率与概率的关系 1、概率是理论值，不依赖试验。表述常为：“某事件发生的可能性是……”、“事件发生的概率是……”。 2、频率是试验值，依赖试验次数。表述常为：“在n次试验中，事件发生的频率是……”。 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）以下事件是随机事件的是（ ） A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根 【变式2】（23-24高一下·全国·单元测试）从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个，下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是正品 B．至少有1个是正品 C．3个都是次品 D．至少1个是次品 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）某工厂生产零件，合格的频率稳定在 0.94.现抽取200个零件检验，估计合格零件约有（    ）个. A．178 B．180 C．188 D．190 答案 1、【答案】B 【分析】根据必然事件和随机事件的概念逐项分析即可. 【详解】A选项，标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意； B选项，走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意； C选项，长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意； D选项，实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意． 故选：B． 2、【答案】B 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断． 【详解】从12个同类产品（其中有10个正品，2个次品）中，任意抽取3个，有以下情形： 3正，2正1次，1正2次． 所以，3个都是正品是随机事件；至少有1个是正品是必然事件； 3个都是次品是不可能事件；至少1个是次品是随机事件． 故选：B． 3、【答案】C 【分析】根据题意，结合频率的计算，即可求解. 【详解】因为合格频率稳定在0.94，抽取零件总数为200个， 故合格数量约个. 故选：C. 题型二 古典概型 【典例1】（山东省德州市齐河县职业中等专业学校2024-2025学年高一第二学期第五次月考考试数学试题）如果在装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有1个白球;都是白球 B．至少有1个白球;至少有1个红球 C．恰有1个白球;恰有2个白球 D．至少有1个白球;都是红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念分析求解即可. 【详解】对于选项A：“至少有1个白球”与“都是白球”可同时发生，不互斥，故A错误； 对于选项B：“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可同时发生，不互斥，故B错误； 对于选项C：“恰有1个白球”与“恰有2个白球”不能同时发生， 且并集为“至少有个白球”，不包含“都是红球”，所以互斥而不对立，故C正确； 对于选项D：“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生， 且并集为所有可能结果，所以是对立事件，故D错误. 故选：C. 【典例2】（河北石家庄市鹿泉区职业教育中心2025-2026学年第二学期期中考试职二年级本科冲刺班数学试题）选手射中10环的概率为，中9环的概率为，射中不低于9环的概率为（   ） A．0.7 B．0.12 C．0.3 D．0.88 【答案】A 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】不低于9环包括射中10环和射中9环， 射中10环和射中9环这两个事件是互斥事件， 因此射中不低于9环的概率为：， 故选：A 【典例3】（河北石家庄市鹿泉区职业教育中心2025-2026学年第二学期期中考试职二年级本科冲刺班数学试题）抛掷2个骰子出现点数和为6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】抛掷2个骰子共有种等可能的结果， 其中点数和为6的情况有共种情况， 所以抛掷2个骰子出现点数和为6的概率为， 故选：A. 【典例4】（23-24高一下·山东德州·阶段检测）有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有.下面做投掷这两颗玩具的实验，用表示结果，其中x表示第一颗玩具地面出现的数字，y表示第二颗玩具底面出现的数字. (1)写出这一随机实验的样本空间，求所有样本点的个数； (2)求事件“底面出现点数之和大于3”的概率； (3)求事件“底面出现点数相同”的概率. 【答案】(1)样本空间见详解；样本点的个数是16 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合样本空间的概念，即可列出所以样本点； （2）（3）根据题意，列出符合事件的所有情况，结合古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，这一随机实验的样本空间， 所有样本点的个数是16. （2）由题意，事件“底面出现点数之和大于3”包含，共13 个样本点， 故概率； （3）由题意，事件“底面出现点数相同”的包含的基本事件有，共4个， 故概率. 解｜题｜技｜巧 古典概型 1、解题三步法 步骤 操作 关键点 第一步 确定基本事件总数  列举要不重不漏，注意顺序 第二步 确定事件A包含的基本事件数  找准有利情形 第三步 代入公式  结果化为最简分数或小数 2、 互斥事件加法公式 A与B互斥 对立事件公式 A与B对立 P(A)=1−P(A) 【变式1】（第八章概率与统计初步（A卷.考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学基础模块下册》高教版2023修订版）（原卷版 ））下列事件为对立事件的是（ ）. A．抛掷一颗骰子，点数大于5与点数小于5. B．抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上. C．在参与射击比赛中，射出8环以上的成绩与击中靶心. D．今天是晴天与今天天气真好. 【变式2】（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）从3，4，6，8，9五个数中取一个数，该数为奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·江苏镇江·期末）袋子中装着形状完全相同的2个红球和2个白球，有放回地从中随机地抽两次，每次抽取一个球，则两次都摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2026年度山东省职教高考教学质量提升摸底诊断分析数学试题）一个袋子里装有4个大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.现从袋中不放回地依次取出两个小球，记录第一次取出的小球上的数字为，第二次取出的小球上的数字为，则事件“为偶数”的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（23-24高一下·甘肃·期末）从一副有54张的扑克牌中，任意抽取一张，求： (1)抽到数字为2的概率； (2)抽到花色为红桃的概率； (3)抽到大小王的概率. 答案 1、【答案】B 【分析】根据对立事件的概念判断. 【详解】选项A：抛掷一颗骰子，点数大于5的情况只有点数为6这一种，点数小于5的情况有1、2、3、4这四种， 除了这两种情况外，还有点数等于5的情况，所以这两个事件是互斥事件，但不是对立事件， 选项B：抛掷一枚硬币，结果只有正面朝上和反面朝上这两种情况，且这两个事件在一次试验中有且仅有一个发生， 满足对立事件的定义，所以是对立事件， 选项C：在参与射击比赛中，射出8环以上的成绩包含了击中靶心的情况，所以这两个事件不是互斥事件，更不是对立事件， 选项D：晴天也能是天气好，所以不是对立事件， 故选：B. 2、【答案】C 【分析】应用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】在所给的3、4、6、8、9五个数中，奇数为3、9，共2个， 所以取出的数为奇数的概率为. 故选：C. 3、【答案】B 【分析】先确定所有可能的基本事件，再找出两次都摸到红球的基本事件，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】把个红球编号为，，把个白球编号为，. 有放回地从中随机地抽两次，所有基本事件为： ，，，，，，，， ，，，，，，，，共16个， 记“两次都摸到红球”为事件，其基本事件为：，，，，共个， 则两次都摸到红球的概率为. 故选：B. 4、【答案】B 【答案】B 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可求得答案. 【详解】从4个标号不同的小球中不放回地依次取出2个，总共有种取法， “为偶数”的情况有，，，，共4种情况， 所以事件“为偶数”的概率为. 故选：B. 5、【答案】B 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用古典概型的概率公式计算. 【详解】（1）一副扑克牌中数字为2的牌有4张（每种花色各一张），总牌数为54张， 所以抽到数字为2的概率为. （2）一副扑克牌中红桃有13张，总牌数是54张， 因此抽到花色为红桃的概率为. （3）一副扑克牌中大小王共2张，总牌数为54张， 所以抽到大小王的概率为. 题型三 随机抽样 【典例1】（第八章概率与统计初步（A卷.考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学基础模块下册》高教版2023修订版）（原卷版 ））为了解某学校的1200名学生的身高情况，从中抽取200名学生的身高情况进行统计，则下列说法正确的是（    ）. A．总体是1200名学生 B．个体是某学校的每个学生 C．样本是200名学生 D．样本容量是200 【答案】D 【分析】根据总体、个体、样本和样本容量的概念即可求解. 【详解】对A，总体是1200名学生的身高情况，故A错误. 对B，个体是每个学生的身高情况。故B错误. 对C，样本是从1200名学生中抽取的200名学生的身高情况，故C错误. 对D，样本容量是指样本中个体的数量，所以样本容量是200，故D正确. 故选：D. 【典例2】（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）某职业学校有700名新生，拟从中任选20名同学了解对学校的满意度，现采用系统抽样的方法，将他们从1至700编号并分段，若抽出的编号有187，则第一段抽出的编号是（   ） A．2 B．7 C．12 D．17 【答案】C 【分析】根据系统抽样的定义，确定抽样的间距，据此可求出结论． 【详解】由题可知抽样间隔为， 设第一段编号为，则，解得（时）． 所以第一段抽出的编号为12. 故选：C. 【典例3】（25-26高三下·山东·二模）某校高一人，高二人，高三n人，为了了解学生学习的情况，现采用分层随机抽样的方法从中抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高二抽取的人确定抽样比，再由样本人数确定总体人数即可解答. 【详解】已知高二人，被抽取的人数为人， 所以抽样比为， 因为共抽取人，所以全校总人数为， 所以， 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1、抽样类题目判断口诀： “差异明显要分层，容量小则随机抽；容量较大用系统，等距抽样不漏人。” 2、分层抽样：比例分配核心技巧： 分层抽样的关键是根据各层个体数占总体的比例来分配样本数，公式为： · 抽样比 =样本容量总体容量=总体容量样本容量​ · 某层样本数 =该层个体数×抽样比=该层个体数×抽样比 3、系统抽样：整除与剔除 · 整除时：间隔k=n/N​；从第一组中随机抽取号码 i，则后续号码为i+k、i+2k... · 不整除时：先用简单随机抽样剔除多余个体，使剩余个体数能被n 整除 【变式1】（广西河池市罗城仫佬族自治县中等专业学校2024—2025学年第二学期期末考试卷高二数学）下列抽样的方式中，不属于简单随机抽样的是（   ） （1）从无限多个个体中抽取个个体作为样本. （2）某班名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 （3）从件玩具中一次性抽取3件进行质量检查. （4）运动员从8条跑道中随机选取一条跑道 A． B． C． D． 【变式2】（第115卷统计初步（教师卷）-江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》（原卷版 ））为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到100的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（ ） A．5，15，25，35，45 B．10，25，40，55，70 C．10，20，30，40，50 D．10，30，50，70，90 【变式3】（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）现有三个年龄段人群，总人数120万人，各年龄段人数依次为18万人、78万人、24万人.现采用分层抽样抽取1200人，求60岁以上（24万人）这一组应抽取的人数（   ） A．120 B．180 C．240 D．780 答案 1、【答案】A 【分析】根据简单随机抽样的概念逐项分析即可. 【详解】（1）从无限多个个体中抽取，不满足总体有限，不是简单随机抽样， （2）指定个子最高的，不满足等可能性，不是简单随机抽样， （3）从件玩具中一次性抽取3件，未明确随机性且无法保证每个个体等概率被抽中，不是简单随机抽样， （4）从8条跑道中随机选取一条跑道，是简单随机抽样， 所以不是简单随机抽样的有， 故选：A. 2、【答案】D 【分析】求出分段间隔，然后验证每个选项中样本编号的间隔即可得出结论. 利用系统抽样，把编号分为5段，每段20个，每段抽取1个，号码间隔为20. 选项A中样本间隔为10，选项B中样本间隔为15，选项C中样本间隔为10， 选项D中样本间隔为20. 故选：D 3、【答案】C 【分析】先求解抽样比，再结合60岁以上的人数求解即可. 【详解】因为总人数120万人，且要抽取1200人， 则抽样比为， 则60岁以上（24万人）这一组应抽取的人数为人. 故选：C. 题型四 样本均值、标准差 【典例1】（24-25高一下·吉林延边·期末）在某校运动会的某项比赛中，7位裁判为一名参赛选手打出的分数如下：.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的计算方法计算即可. 【详解】中， 去掉最高分和最低分后为， 平均数为， 解法一（对应高教版）： ， 解法二（对应人教版）： ， 所以所剩数据的平均值和方差分别为， 故选：B. 【典例2】（25-26高三下·陕西宝鸡·模拟预测）甲、乙两名同学参加投篮测试，每人投5次，命中的次数如下： 甲：3，4，3，5，5，乙：2，4，4，4，6 (1)分别求甲、乙两人命中次数的平均数； (2)分别求甲、乙两人命中次数的方差，并判断谁的成绩更稳定. 【答案】(1)甲的平均数为4，乙的平均数为4 (2)人教版：甲的方差为0.8，乙的方差为1.6，甲的成绩更稳定. 高教版：甲的方差为，乙的方差为，甲的成绩更稳定. 【分析】（）根据平均数公式即可得解. （）根据方差公式即可得解. 【详解】（1）命中的次数如下： 甲：3，4，3，5，5，乙：2，4，4，4，6， ，. （2）人教版：甲的方差 乙的方差. 高教版：甲的方差 乙的方差. 因为甲的方差小，所以甲稳定. 解｜题｜技｜巧 题型 解题要点 已知数据，求均值和标准差 先求均值，再用简化公式求方差，最后开方得标准差 已知均值，反求未知数据 利用均值定义列方程，解出未知数 比较两组数据的稳定性 计算标准差（或方差），较小者更稳定 频数表 用加权平均和简化公式 【变式1】（23-24高一下·甘肃·期末）样本有5个个体，其值分别为，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则______. 【变式2】（23-24高一下·山东德州·阶段检测）为了了解甲、乙两人的设计情况，两人在相同情况下各射击次，成绩如下： 甲： 乙： (1)计算甲、乙两人的射击命中环数的平均数 (2)比较两人的成绩，谁的成绩比较好些. 答案 1、【答案】 【分析】利用样本平均值的公式计算. 【详解】已知样本有5个个体，其值分别为，0，1，2，3，若样本的平均值为1， 可得：，解得， 故答案为：. 2、【答案】A 【答案】(1)， (2)乙的成绩更稳定，乙的成绩比较好 【分析】（1）根据平均数的计算公式求值即可. （2）运用方差公式求值，再比较即可. 【详解】（1）甲的平均数为， 乙的平均数为. （2）解法一（人教版）： ， ， 解法二（高教版）： ， ， 因为，所以乙的成绩更稳定，乙的成绩比较好. 题型五 统计图表 【典例1】（山东省德州市齐河县职业中等专业学校2024-2025学年高一第二学期第五次月考考试数学试题）如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在内，其分组为，，，则样本质量落在内的频数是（    ）    A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】先根据频率分布直方图求出样本质量落在内的频率，再利用频数与频率的关系求出频数. 【详解】已知分组为，，，且组距都为， 从图中可知组的频率为，组的频率为， 那么样本质量落在内的频率为， 已知样本容量为，则样本质量落在内的频数为， 故选：B. 【典例2】（2026高三·江苏·专题练习）从一批苹果中，随机抽取个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组重量 频数/个 5 (1)根据频数分布表计算苹果重量内的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在和内的苹果中共抽取4个，其中重量在内的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率． 【答案】(1) (2)个 (3) 【分析】（1）根据已知频数分布表计算相应重量区间内的频率； （2）根据频数分布表结合分层抽样方法规则计算求解； （3）先计算抽样总体情况，再求出满足条件的情况，进而求出概率． （1）由频数分布表可知，苹果重量在内的频率为：． （2）重量在内的频数为5，在内频数为，两组频数之比为：， 按照分层抽样规则，从内抽取个数为：个． （3）从重量在中抽取的苹果记为，从重量在中抽取的苹果记为． 在抽出的4个苹果中，任取2个的所有可能的结果共种，即， 重量在和中各有1个的可能结果有，共3种， 所求概率为：． 解｜题｜技｜巧 1、核心要素 要素 含义 公式 组距 每个小长方形的宽度 横坐标相邻两数之差 频率/组距 小长方形的高 纵坐标数值 频率 小长方形的 面积 频率 = 高 × 组距 频数 频率 × 样本容量 频数 = 频率 × N 核心口诀：“直方图，面积是频率，高是频率比组距；所有面积和为一。 2. 从直方图中估计数字特征 特征 估计方法 操作要点 众数 最高小长方形底边中点的横坐标 找到最高的矩形，取其中点 中位数 左右两侧面积相等的分界点 从左边开始累加面积，直到达到0.5，对应横坐标即为中位数 平均数 每个小矩形底边中点 × 该矩形面积，再求和 平均数≈∑(组中值×频率) 落在某区间内的频数 区间内各矩形面积之和 × 样本容量 先算频率和，再乘 N 【变式1】（25-26高二下·福建厦门·模拟预测）为提高市民对创建文明城市的认识，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛，经统计得到成绩的频率分布直方图如图所示．现按分层抽样的方法抽取个人的成绩，则成绩在内抽取的人数为（     ）．       A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·陕西宝鸡·周测）如图所示是一个样本频率分布直方图，已知在内的频数为9.求：    (1)样本容量； (2)求样本数据在内且小矩形面积为0.16的频数； (3)样本数据在内的频数. 答案 1、【答案】D 【分析】根据频率分布直方图确定的频率，再由分层抽样的定义求值即可. 【详解】由图可知，内的频率为， 且总数为个人，所以成绩在内抽取的人数为， 故选：D. 2、 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量. （2）根据（1）矩形面积求出区间频率，进而求出频数. （3）结合频率之和为的性质，以及（1）求出频数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 所以样本数据在内的频率为. 又因为在内的频数为，所以样本容量为. （2）因为样本数据在内且小矩形面积为，即样本数据在内的频率为， 由（1）知，样本容量为，所以样本数据在内的频数为. （3） 由（1）和（2）可得，样本数据在和内的频率分别为和. 因为样本数据分布在内，频率之和为，所以样本数据在内的频率为， 所以样本数据在内的频数为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $