精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年九年级下学期中考模拟测试数学试卷

2025—2026学年度第二学期交大附中总、分校联考九年级数学测试 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确选项． 1. 如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. （数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载了这样的一个问题：“山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？”大意是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推．2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317周年校庆时，对应的年份是（ ） A. 丁卯年 B. 丙寅年 C. 乙丑年 D. 甲午年 11. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径匀速运动，运动到点B时停止，过点P作，交边(或)于点Q．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 12. 因式分解∶_______． 13. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则m的值可以是___(写出一个符合的m值即可)． 14. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 15. 如图，在矩形中，E为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，则的长为____． 三、解答题：本大题共11小题，共75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简：． 17. 解方程： 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数(k≠0)的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）P是第一象限内直线上方反比例函数图象上一点，过点P作轴于点D，交于点C，连接，若的面积为，求的长． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：．；．；．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 21. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至现在，重差测量法仍有借鉴意义．如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退到点F，观测山顶A，发现A，C，F三点共线时，仰角为；从点D处退到点G，观测山顶A，发现A，E，G三点共线时，仰角为 (点F，G都在直线上)，求山峰的高度．(结果保留整数．参考数据： ，，) 22. 如图，已知矩形 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线，交直线于点E； ②过E作，垂足为F； （2）求证四边形是正方形． 23. 如图，内接于，是的直径，与相切于点A，于点M，射线经过点B，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，，求的半径． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 25. 如图，和均为等腰直角三角形，，D为的中点，绕点D旋转，连接． （1）如图1，在旋转的过程中，写出和的数量关系是 ； （2）如图2，当点M，N在内且C，M，N三点共线时，写出的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点M，N在外且C，M，N三点共线时，直接写出的数量关系． 26. 我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； （2）如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； （3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期交大附中总、分校联考九年级数学测试 一、选择题：本大题共11小题，每小题3分，共33分，每小题只有一个正确选项． 1. 如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. （数学文化）司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为．若介于两个连续整数n和之间，则n的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可得到，即可解答． 【详解】解：， ，即， ， 无理数的值介于两个连续整数和之间， ， 故选：B． 4. 月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，， ， ， ， ， ， 故选：． 5. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，勾股定理．根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ∴， 是的直径， ． 由勾股定理得：． 故选：C 7. 安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首．甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选（ ） 果篮 甲 乙 丙 丁 平均质量（克） 450 500 450 500 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，比较平均质量和方差，即可求解；理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：， 乙、丁的平均质量较大， ， 甲、乙的质量较均匀， 要挑选一个单果质量大且均匀的果篮应选乙， 故选：B． 8. 清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载了这样的一个问题：“山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？”大意是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每亩山田产粮相当于实田亩，每亩场地产粮相当于实田亩，根据“山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩”，可得第一个方程，根据“山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩”，可得第二个方程，即可得出方程组． 【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田亩，每亩场地产粮相当于实田亩， 根据题意，得． 9. 我们定义一个关于实数的新运算，规定：，例如，．若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； 根据题中所给新定义运算可列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意，新运算定义为，因此， 由不等式可得： 故的取值范围是， 故选：D． 10. 如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推．2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317周年校庆时，对应的年份是（ ） A. 丁卯年 B. 丙寅年 C. 乙丑年 D. 甲午年 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200 除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期， 当兰州大学317周年校庆时，经过200年，且兰州大学117周年即2026年是“丙午”年， ， 则 ，则兰州大学317周年校庆时的天干为丙， ，则兰州大学317周年校庆时的地支为寅， 则兰州大学317周年校庆时是丙寅年． 11. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径匀速运动，运动到点B时停止，过点P作，交边(或)于点Q．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分点在上和点在上两种情况讨论，结合函数图象即可解答． 【详解】解：点在上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由函数图象可知，当点到达点时，， ∴（负值舍去）， 此时，，即， ∵， ∴， 由函数图象可知，当点到达点时，此时三点重合，即． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 12. 因式分解∶_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：； 故答案为： 13. 若一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则m的值可以是___(写出一个符合的m值即可)． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性得到一次项系数的取值范围，再根据函数图象与轴的交点位置得到常数项的取值范围，联立不等式得到的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象满足当时，， ∴函数值随的增大而增大， ∴， 解得， ∵函数图象与轴相交于正半轴， ∴当时，，即， 综上可得的取值范围是， 任取该范围内一个数即可，例如（答案不唯一）． 14. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，E为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】作，根据矩形的性质和折叠的性质得出，解直角三角形得出，，，即可得出，最后根据得出答案． 【详解】解：过点F作，交于点G， ∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 在中，， ∴ 即， 解得． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题共11小题，共75分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】根据分式方程的解法求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：3x=3， 解得：x=1， 经检验：x=1是原方程的增根，故无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题时要掌握解法，同时要注意检验． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，解集在数轴上表示： 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来略． 19. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象与反比例函数(k≠0)的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）P是第一象限内直线上方反比例函数图象上一点，过点P作轴于点D，交于点C，连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）的长为1 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式得出答案； （2）设，则，，再根据的面积为 ，求出m的值得出点C，D的坐标，则答案可得． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设，则，， 的面积为 ， 解得（舍去）， ∴， ∴的长为1． 20. “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚．某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛．现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：．；．；．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有500名学生，八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）83；85；30 （2）八年级学生竞赛成绩较好，见解析 （3）220 【解析】 【分析】（1）分别根据众数和中位数的定义可得a、b的值；用“1”分别减去其它部分占比可得的m值； （2）根据平均数和中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：在七年级10名学生的竞赛成绩中83出现的次数最多，故众数83； 把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，86，故中位数 ， 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的有3人，A组占40%，所以C组 ， 故答案为：83；85；30 【小问2详解】 解：七年级学生竞赛成绩较好，理由：七、八年级的平均分均为84分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好．（合理即可） 【小问3详解】 解：七年级：（人） ，八年级：（人）． 估计这次参加科普知识竞赛成绩优秀的学生人数是（人）． 【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 21. 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至现在，重差测量法仍有借鉴意义．如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米，D，B，H三点共线，从点B处退到点F，观测山顶A，发现A，C，F三点共线时，仰角为；从点D处退到点G，观测山顶A，发现A，E，G三点共线时，仰角为 (点F，G都在直线上)，求山峰的高度．(结果保留整数．参考数据： ，，) 【答案】10米 【解析】 【分析】设山峰的高度为x米，求得，，根据，，求得，，， ，根据建立方程求解即可． 【详解】解：设山峰的高度为x米， 根据题意，得，， ，，， ，， ，， 根据题意，得直立两根高1米的标杆和，两杆间距为3米， ， ∴，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：山峰的高度为10米． 22. 如图，已知矩形 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线，交直线于点E； ②过E作，垂足为F； （2）求证四边形是正方形． 【答案】（1）①；② （2）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ∵的平分线交直线于点E， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵矩形，， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）运用尺规作图方法根据题意作图即可； （2）先证四边形是矩形，再根据角平分线的定义证，结合矩形的性质可证，从而证得，即有，由此证得，由“邻边相等的矩形是正方形”证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，内接于，是的直径，与相切于点A，于点M，射线经过点B，连接． （1）求证：是的切线； （2）当，，求的半径． 【答案】（1）证明：，为圆心， 垂直平分， ∵射线经过点B， ． ，， ． ． 与相切， ，． ． ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明可得，再根据切线的性质可得，即，进而证明结论； （2）由题意可得，再由圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，即；再根据正切的定义可得，易得；再根据勾股定理可得，进而完成解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ． 是的直径， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． ． 的半径为． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 25. 如图，和均为等腰直角三角形，，D为的中点，绕点D旋转，连接． （1）如图1，在旋转的过程中，写出和的数量关系是 ； （2）如图2，当点M，N在内且C，M，N三点共线时，写出的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点M，N在外且C，M，N三点共线时，直接写出的数量关系． 【答案】（1） （2），理由如下： ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， 当点C，M，N三点共线时，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再说明，然后根据“边角边”证明，可得； （2）先根据等腰三角形的性质得出，再结合（1）可得 ，进而得出，则此题可证； （3）由（2）知，由（1）知，可得，再根据可得，则此题可证． 【小问1详解】 解：连接， ∵和都是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：理由如下：由（2）知，由（1）知， ∴， 当点C，M，N共线时， ∴， 即． 26. 我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； （2）如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； （3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 【答案】（1）点B，点E （2）如图所示，直线的关系式为； 如图所示，直线的关系式为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂等点的定义解答； （2）分两种情况：当垂等点N在直线右侧时，作于点F，再根据“角角边”证明，可得，然后结合点得出点，接下来根据待定系数法求出直线关系式即可；当垂等点N在直线左侧时，仿照上述解答； （3）先确定当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值，延长交于点C，连接，再求出直线的关系式，当最小时，由进而求出点N的纵坐标为，然后代入关系式得出点N横坐标为，即可求出最小值，同理可求出的最大值，则此题可解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴，于点G，过点E作轴，于点H， ∴ ∴， ∴ ∴为点P的垂等点； 【小问2详解】 解：①如图，当垂等点N在直线右侧时，作于点F， 依题意，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点N在第一象限， ∴点， 则过点的直线关系式为，得 解得， ∴直线的关系式为； ②如图所示，当垂等点N在直线左侧时，依题意，得点， 过点M，N的直线关系式为； 【小问3详解】 如图，当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值， 延长交于点C，连接， ∵点， ∴直线的关系式为． 当最小时，由 ∴， ∴点N的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴, 同理可求出的最大值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $