25.2直接开平方法 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的直接开平方法，引导学生掌握形如x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p(m≠0,p≥0)的方程解法。课堂导入从复习平方根定义和完全平方式入手，通过x²=4的求解示例，逐步迁移到(x+3)²=5的探究，搭建旧知到新知的学习支架。 这份导学案突出降次转化思想的渗透，通过例题解析和分层练习强化数学运算能力，教学反思针对性解决漏根、格式不规范等问题。其设计注重培养学生的逻辑推理素养和模型意识，既适合学生自主学习，也便于教师评估教学效果。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第二课时：25.2直接开平方法 学案 一、素养目标 1.理解一元二次方程降次的转化思想. 2.会用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p为常数)类型的方程. 3.通过直接开平方法解一元二次方程，培养数学运算能力，发展逻辑推理素养，增强模型意识，提升用代数方法解决问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p为常数)的方程，领会降次一转化的数学思想. 难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p (m≠0，p≥0，m，n， p为常数)的方程. 三、教学过程 知识预备 1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根. a(a≥0)的平方根记作：±. x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知， x＝±. 2.完全平方式：a2＋2ab＋b2＝( a＋b )2，a2 －2ab＋b2 ＝(a－b)2 3.练一练：若x2＝16，则x＝ ±4 ；x2－6x＋9＝ (x－3)2 . 课堂导入 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x＝m”的形式，与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.本节我们研究如何通过“降次”解一元二次方程. 先来看一个简单的一元二次方程 x2＝4 根据平方根的意义，得 x＝±2，即x1＝2，x2＝－2 一般地，对于方程 x2＝p (1) 当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根：x1＝，x2＝； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝0； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根. 探究 对照前面解方程x2＝4的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？ 在解方程x2＝4时，由方程x2＝4得x＝±2. 由此想到： 由方程 (x＋3)2＝5， ① 得 x＋3＝± 即 x＋3＝，或x＋3＝－ ② 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋，x2＝－3－. 在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转 化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例1 解下列方程： (1) 4x2－3＝0 (2) (x＋2)2－9＝0 解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2＝ 由此可得 x2＝ 即 x1＝，x2＝ 解：(2)移项，得 (x＋2)2＝9 由此可得 x＋2＝±3 x＋2＝3，或x＋2＝－3 即 x1＝1，x2＝－5 知识梳理 ●知识点一 直接开平方法 方程 x2＝p(p≥0)的解为x1＝，x2＝－. 由方程(mx＋n)2＝p(p≥0)，可得mx＋n＝或mx＋n＝－. ●知识点二 降次思想 一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种方法. 练习 解下列方程： (1) x2－9＝0； (2) 2x2－8＝0； (3) 9x2－5＝3； (4) (x＋6)2－9＝0； (5) 3(x－1)2－6＝0； (6) x2－4x＋4＝5. 参考答案：(1) （2）2，-2 （3） （4）0，-6 （5） (6) 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本课从平方根旧知引入直接开平方法，引导学生理解一元二次方程降次求解的思路，多数学生能掌握基础题型解法。但课堂中发现，学生对非负数开平方的双根理解不透彻，整体换元运用生疏，解题常出现漏根、格式不规范问题。今后应多结合实例强化概念，增加易错题型训练，注重规范书写，多给学生思考表达的机会。 6、 课堂检测 一、填空题 （1）、方程()()=6化成一般形式为___________________. （2）、________=（________）2 2、解方程 （1） （2）2x²+1=0 (3)3(x-1)²=12 3先化简，再求值：，其中=. 参考答案： （1）2x²+x-5=0,(2)25,5 2. (1)2，-1 （2）无解 （3）3，-1 3. ， 学科网（北京）股份有限公司 $