精品解析：河北正中实验中学2026年普通高中学业水平选择性考试考前自测数学试卷

2026年普通高中学业水平选择性考试冲刺压轴卷（三） 数学学科 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 3. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1i是关于的实系数方程 ∴，即 ∴，解得. 故选：D． 4. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的知识可求得坐标，由向量的坐标运算可构造方程组求得的值，进而得到结果. 【详解】以为坐标原点可建立如图所示的平面直角坐标系，则， ，，， 又，， 又与的夹角为， ， ， 又，， ， ，解得：， . 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的相关问题的求解，解题关键是能够建立起平面直角坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算来进行求解. 5. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ） A. 3 B. C. 3或 D. -3或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】，， ， ， ，， ， ， 故选：A. 6. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图： 由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用和事件与积事件的关系可得，再利用互斥事件与对立事件性质可得A；利用条件概率公式计算可得B；利用全概率公式计算可得C；利用对立事件的性质及概率的乘法公式与和事件与积事件的关系计算可得D. 【详解】对A：由，故， 则、互斥，但不能得到、对立，故A错误； 对B：由，则， 故或，故B错误， 对C：，， 若则，故C正确； 对D：，则， 所以. 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 已知，则的最大值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 14. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】分析函数在上的取值范围即可判断①，对零点在、讨论，即可判断②，③，使得函数在各段单调性，且在断点左侧的函数值不大于断点右侧函数值，即可判断④. 【详解】因为， 当时，则函数在上单调递增， 又函数的对称轴为， 对于①：当时， 当时，所以，即，故①错误； 对于②：当零点位于时，则，解得， 此时， 若，即时在上单调递增， 此时只需，解得或，所以， 若，即时，此时，则在上至少还有个零点，故不符合题意， 所以； 当零点位于，此时在上无零点，则，解得， 此时且， 要使函数只有一个零点，则只需，解得， 又，显然无解，所以此种情况不符合题意； 综上可得当时只有一个零点，故②正确； 对于③：使得有三个不同零点，则必然是在上有一个零点，在上有两个零点， 则，解得， 所以当时有三个不同零点，故③正确； 对于④：若在上是单调递增函数，则，解得， 所以当时在上是单调递增函数，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】关键点点睛：第②问关键是分零点所在区间讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，求出参数的取值范围，第③问关键是分析得到在上有一个零点，在上有两个零点. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； 【小问2详解】 在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【解析】 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 所以． 【小问2详解】 （i）由（1）得， 则， 因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为． （ii）因为， ， 所以， 由（i）可知在上的最大值为， 由， 所以， 所以实数的取值范围为． 18. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【答案】（1） （2）（i）设直线PA的方程为， 直线PB的方程为，由题知， 所以，所以， 同理，， 所以，是方程的两根，所以. （ii）设，，设直线AB的方程为， 将代入得， 所以，① ，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时AB过点P，舍去. 若，则直线，此时AB恒过点， 所以直线AB过定点. 【解析】 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程. (2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 解：由题知，，的面积等于， 所以，解得，，所以，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 【答案】（1）平面，则，， 平面，则，， ，且是平面的法线， 平面， 又平面，平面平面， ， ， ． （2） 平面，且平面， 平面平面，交线为， 在平面内的投影在上，故直线与平面所成角 为 的余角，即， 设平面与平面的交线为，则，且 平面， 平面， 平面， ， 又 ， ， 二面角的平面角， ， ，则， ，为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用线面垂直判定定理证明结论； （2）利用向量投影得出，利用二面角的性质得出 ，结合 得出 为定值，从而证明结论； （3）建立空间直角坐标系，利用已知条件求出各点坐标，进而求出相关向量，求出平面法向量，再利用点到平面距离公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，E为线段 的中点， 则， 设点， ， 设平面的法向量为，则 ，令 ，则， 点到平面的距离， 当时，分母最小， 最大， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中学业水平选择性考试冲刺压轴卷（三） 数学学科 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的图像如图所示，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ） A. 3 B. C. 3或 D. -3或 6. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是______. 13. 已知，则的最大值是__________. 14. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②存在， 使得只有一个零点； ③存在， 使得有三个不同零点； ④，在上是单调递增函数． 其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 18. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 19. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $