精品解析：山东东营市实验中学2026年6月九年级中考数学模拟试题

2026年6月中考数学模拟试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 在下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图 4. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　）cm A. B. C. D. 2 6. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 10. 如图，正方形中，点为边上的一动点，点是延长线上一点，且，连接，与分别交于，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当为的中点时，则；其中正确结论的个数为（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 12. 因式分解：________． 13. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 14. 在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是______． 15. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 16. 如图，点，在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点B的坐标为，将沿折叠，点B落在点F处，且O，F，D三点共线．若点E的坐标为，则点D的坐标为______． 18. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a，b是方程的两个根． 20. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．大竹县为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，72，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 75.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）m=______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）欲从甲、乙两校成绩均在的学生中选取两名参加决赛，优胜者将代表大竹县参加达州市国家安全知识竞赛．请用列表法或画树状图的方法求出参加决赛的两名同学恰在同一学校的概率． 21. 如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 23. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若、的面积分别为、，求的最大值． （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标为______． 25. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月中考数学模拟试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 在下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出每个数的绝对值各是多少；然后根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值最小的数是哪个即可． 【详解】解：，，，， 0＜1＜2＜3， ∴绝对值最小的数是0， 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算与算术平方根的基本概念，分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂乘法法则，算术平方根的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 3. 如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图 【答案】B 【解析】 【分析】由题意观察图形先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义进行分析即可求解． 【详解】解：由如图所示的几何体可知： 该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是， 其中左视图是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图以及轴对称图形，解题的关键是得到该几何体的三视图以及掌握轴对称图形的定义． 4. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 5. 如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1cm，则这个圆锥的底面半径为（　　）cm A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：分析，由题意知，该扇形的面积是S=，故为 故选B 考点：扇形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：，注意使用公式时度不带单位., 6. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y， 根据题意可得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 7. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2， CF=BC=，即可得出答案． 【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线， ∵ AB= BC， BE⊥AC， AE= CE=AC = 2， 由勾股定理得， AB= BC=， ∵点F为BC的中点， ∴EF=AB=， CF=BC=， ∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 8. 已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可得，根据二次函数的图象与轴有两个交点可得，继而得到一次函数的图象所在的象限，根据当时，，由函数图象可知，继而得到反比例函数所在的象限，继而得到答案． 【详解】解：∵二次函数的部分函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数的部分函数图象顶点在轴下方，开口向上， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，即， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限， ∵由二次函数的部分函数图象可知，当时，，即点在轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限．故图象正确的是D． 9. 如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据图象得，再根据勾股定理求出对角线，最后根据菱形是面积公式求解． 【详解】解：连接，交于点，则， 由图象得：， ， ， ∴菱形的面积为：， 故选：C． 10. 如图，正方形中，点为边上的一动点，点是延长线上一点，且，连接，与分别交于，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当为的中点时，则；其中正确结论的个数为（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】通过证明，得到对应角相等，继而证明，得证结论①正确；通过证明，得到对应角相等，得证结论②正确；通过证明，得到对应线段成比例，继而得到结论③错误；连接，过点作于点，通过证明是的中位线，得到，，继而得到为等腰直角三角形，得证，故结论④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故结论①正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵正方形对角线平分，故， 在和中，，， ∴， ∴，故结论②正确， ∵是正方形的对角线， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，故结论③错误； 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故结论④正确． 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】将看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键． 13. 剪纸是中国古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称．将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点与点对称，，， ∴对称轴为直线， ∵点与点对称，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 在0，1，2，3，4，5这六个数中，随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分，时，进而求得一元二次方程根的判别式不小于0的情形数量，即可求得概率． 【详解】解：当时，该方程不是一元二次方程， 当时， 解得 时，关于x的一元二次方程有实数解 随机取出一个数记为a，使得关于x的一元二次方程有实数解的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查了利用概率公式计算概率，一元二次方程根的判别式判断根的情况，一元二次方程的定义，掌握以上知识是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 16. 如图，点，在半圆上，是直径上一点．若，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接，先根据垂径定理可得垂直平分，则，，从而可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据圆周角定理可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线，交于点，连接，延长，交于点，连接， ∵为的直径，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵都是的直径，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、解直角三角形等知识，作点的对称点并将的最小值转化为线段，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点B的坐标为，将沿折叠，点B落在点F处，且O，F，D三点共线．若点E的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，进而得出，根据求出即可． 【详解】解：如图标注点． 由题意可知，， 在中，由勾股定理，得． 由折叠，得，． ， ， ∵， ， ． 又，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 点的坐标为． 18. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算与化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a，b是方程的两个根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1） 先计算乘方，绝对值，代入锐角三角函数，负整数指数幂，二次根式的乘法，再进一步求解即可． （2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法，得到化简的结果，结合一元二次方程根与系数的关系可得，，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵a、b是方程的两根， ∴，， 代入得：． 20. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．大竹县为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，72，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 75.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）m=______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是______度；本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是______校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）欲从甲、乙两校成绩均在的学生中选取两名参加决赛，优胜者将代表大竹县参加达州市国家安全知识竞赛．请用列表法或画树状图的方法求出参加决赛的两名同学恰在同一学校的概率． 【答案】（1）；；乙 （2）甲 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体等知识点，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m的值；根据乙校成绩在这一组的频数所占比例乘以即可；根据方差的意义即可解答． （2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数分即可解答． （3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，72，故中位数． 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是． 由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差， 所以本次测试成绩更整齐的是乙校． 故答案为：；；乙． 【小问2详解】 解：甲校的中位数是，乙校的中位数是． 而在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名， 由表中数据可知该学生是甲校的学生． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在范围内， 据题意画出如下树状图 由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4， 所以所选两位选手来自同一学校的概率为． 21. 如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答； （2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）12 【解析】 【分析】（1）把代入可得反比例函数解析式，求解，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）利用数形结合的方法解题即可； （3）设与x轴交于点D，连接，求解，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例解析式：． 将代入：，即． 把、代入： ∴， 解得：， 一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． ∴结合函数图象，的解集：或． 【小问3详解】 解：设与x轴交于点D，连接， 由题意可知，点A与点C关于原点对称， ， 在中，当时，， ， 轴于点D， ． 23. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 【答案】（1） 甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼. （2） 甲至少要销售7小时. 【解析】 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【小问1详解】 解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得．检验： 当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． 【小问2详解】 解：设甲销售小时， 则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若、的面积分别为、，求的最大值． （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标为______． 【答案】（1） （2）2 （3）点或 【解析】 【分析】（1）把点，，的坐标代入，解出，，，即可； （2）由，可得出，设点，然后根据面积公式代入得出关于x的二次函数，再利用二次函数的图象和性质求解即可． （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，；设点，则，，得到点；然后将点Q代入函数解析式，即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∵、、， ∴，， ∴， 设点， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2． 【小问3详解】 解：当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：, 则 解得：， ∴, ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴点或； 25. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】（1），； （2） （3）图见解析，或 【解析】 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $