云南保山智源天成高级中学2026届高三下学期第8周数学作业考试化试题

**基本信息** 高三统计与概率周测，以电商交易额分析、设备保护决策等现实情境为载体，覆盖二项分布、正态分布、线性回归等核心知识，注重数据观念与模型意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |判断题|1题4分|二项分布、超几何分布辨析|结合“猜选择题”“产品抽样”情境，考查概念理解| |填空题|2题10分|正态分布参数计算、合格率估计|以“食盐误差”为背景，强化数学眼光观察现实| |解答题|6题65分|相关系数与线性回归（电商数据）、分布列（课文背诵）、概率决策（设备保护/象棋比赛）|通过多情境综合题，体现数学思维与语言表达，贴合真题应用导向|

不到收卷不停笔，不到最后不言弃！加油，高三的战士。 高三年级春季学期 数学 第8周 作业考试化 姓名：______ 班级：_______ 得分：__________ 时间：50min 范围：统计与概率 总分：79分 1.(4分）判断下列表述正确与否，并说明理由： （1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数； ( )理由： （2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数. ( )理由： 2.(5分）已知设随机变量X的密度函数为 且X~N(μ,1)，则μ=_______，________，________，________，________．（精确到0.0001．） 3.(5分）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率_______． 3.(13分）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额(取近似值)进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码(t) 1 2 3 4 5 交易额y(单位：百亿) 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算y与t的相关系数r(精确到0.01)，并说明y与t的线性相关性的强弱；(若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；若0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t线性相关性一般；若|r|≤0.3，则认为y与t线性相关性较弱．) (2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．参考数据： (ti－)(yi－)＝33， (yi－)2＝127.5，≈7.14. 参考公式：相关系数r＝；线性回归方程＝＋t中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 5.(13分）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 6.(13分）根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 7.(13分）甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？ 8.(13分）已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． （1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）； （2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？ 9.（附加题）某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级春季学期第8周 数学学科作业考试化 姓名：______ 班级：_______ 得分：__________ 时间：50min 范围：统计与概率 总分：87分 1.(4分）判断下列表述正确与否，并说明理由： （1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数； （2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数. 【答案】(1)表述正确，理由见解析; (2)表述错误，理由见解析. 【分析】（1）每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故符合二项分布的概念；（2）不放回的随机抽取，概率不同，不符合二项分布的概念. 【详解】(1)该表述正确，理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X ~ B (12, 0.25). (2)该表述错误，理由如下:因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布. 2.(4分）设随机变量，则X的密度函数为，μ=_______________，________，________，________．（精确到0.0001．） 【答案】 ①.0 ②. ③. ④. ⑤. 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性和原则，即可求解. 【详解】由题意，机变量，则的密度函数为， 因为， 根据正态分布曲线的对称性，可得，， ， 3. 袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 【答案】95.45% 【解析】 【分析】根据正态分布的计算公式求解即可. 【详解】由题意可知，可设误差为，则的，, 故合格率约为95.45%. 4．随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额(取近似值)进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码(t) 1 2 3 4 5 交易额y(单位：百亿) 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算y与t的相关系数r(精确到0.01)，并说明y与t的线性相关性的强弱；(若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；若0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t线性相关性一般；若|r|≤0.3，则认为y与t线性相关性较弱．) (2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据： (ti－)(yi－)＝33， (yi－)2＝127.5，≈7.14. 参考公式：相关系数r＝； 线性回归方程＝＋t中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 【解析】　(1)由已知得，＝＝3， (ti－)(yi－)＝33， (yi－)2＝127.5， (ti－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10， 故r＝＝，＝≈≈0.92＞0.75， 由题意可知若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强， 所以y与t的线性相关性程度很强． (2)＝＝6，＝＝3.3， 则＝－＝6－3.3×3＝－3.9， 所以y关于t的线性回归方程为y＝3.3t－3.9， 当t＝6时，y＝3.3×6－3.9＝15.9， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿． 5. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下： X 0 1 2 3 P 即 X 0 1 2 3 P (2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667. 6 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示． 7.3-5 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案． 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，． 采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，． 采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此， ，． 采用方案3， ，，． 于是，， ， ． 因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2． 7.甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？ 分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率. 解法1：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲､乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为 . 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为 . 解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为 . 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.甲最终获胜的概率为 . 因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利. 8. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次． （1）当时，求恰好击中目标3次的概率（精确到0.001）； （2）如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解. （2）由题意列出，解不等式即可求解. 【详解】（1）门大炮同时对某一目标各射击一次， 设击中目标的次数为， 则， 故恰好击中目标3次的概率为. （2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次， 击中次的概率为， 则至少击中一次的概率为， 则， 即， 解得， 因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要门大炮. 9. 某城市高中数学会考，假设考试成绩服从正念分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩分为A，B，C，D四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1） 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级，根据正态分布的对称性，求得，且满足，把该正态分布转换为标准的正态分布，结合正态分布表，即可求解. 【详解】由题意，考试成绩服从正念分布，其中平均分为，标准差为， 设分数达到及以上的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数达到但小于的就是等级，分数未达到的就是等级， 根据题意，可得，， ，， 又由， 所以分， 又由，所以，即， 把该正态分布转换为标准的正态分布，可得，则， 可得， 查标准正态分布表可知，可得， 所以取， 综上所述，等级分数线的划分为：分数大于或等于83分为A等级； 分数大于或等于75分但小于83分为B等级； 分数大于或等于67分但小于75分为C等级； 分数小于67分为D等级. 学科网（北京）股份有限公司 $