云南保山智源天成高级中学2026届高三下学期第2周数学作业考试化试题

**基本信息** 高三圆锥曲线专题周测，以教材典题重温为主线，设11道必答题（79分）与13道补充题，覆盖曲线性质、轨迹方程、直线与圆位置关系等，通过触礁问题等情境培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|2题/10分|椭圆与双曲线性质、圆与圆位置关系|如第2题结合圆外切条件判断轨迹，考查数学思维中的逻辑推理| |填空|6题/30分|直线方向向量、公共弦长、双曲线焦点三角形|第6题通过焦距与焦点三角形面积计算，强化数学语言表达| |解答|3题/39分|中线与高求顶点坐标、触礁问题、直线过定点证明|第10题联系航海情境分析触礁风险，体现数学应用意识；第11题证明直线过定点并求最短弦长，呼应新高考逻辑推理要求|

将来的你一定会感谢现在努力的自己，高三加油 高三年级春季学期第2周 数学学科作业考试化(圆锥曲线专题教材典题重温) 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 本次周考50min要求完成1-11题，总分79分。12-24为补充练习 1.（5分）曲线与曲线的　　 A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2.（5分）与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 3.（5分）经过，两点的直线的方向向量为，求k的值为 4.（5分）过，两点的直线l的倾斜角为，求的值 5.（5分） 圆与圆的公共弦的长为 ． 6.（5分）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值 ． 7.（5分） 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 8.（5分）已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程. 9（13分）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求： （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程． 10（13分） 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 11（13分）圆，直线． （1）求证：直线l恒过定点． （2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长． 12（5分）已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 13（5分） 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 14 （5分）如图，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 15.（5分）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 16.（10分） m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？ 17（6分）.(多选)(2020·新高考全国 Ⅰ卷)已知曲线 C：mx2＋ny2 ＝1.( ) A.若 m＞n＞0 ，则 C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B.若 m ＝n＞0 ，则 C 是圆，其半径为 C.若 mn＜0 ，则 C 是双曲线，其渐近线方程为y= x D.若 m ＝0 ，n＞0 ，则 C 是两条直线 18（10分）.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 19.（8分）斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段的长． 20.（8分）经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 21.（8分）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求． 22．（5分）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 23.（5分）如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 24.（5分）在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级春季学期第2周 数学学科作业考试化 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 教材典题重温 重温典题、追本溯源 1 经过，两点的直线的方向向量为，求k的值为： 【答案】. 【解析】【分析】根据直线的方向向量得到的含义，结合斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的方向向量为，则为直线的斜率，所以，所以的值为. 2. 过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 【答案】. 【解析】【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 17. 圆与圆的公共弦的长为： ． 【答案】 【解析】 【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理、勾股定理求出公共弦长； 【详解】解：圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦 4. 双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】根据焦距，可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 (多选)(2020·新高考全国 Ⅰ卷)已知曲线 C：mx2＋ny2 ＝1.( ) A.若 m＞n＞0 ，则 C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B.若 m ＝n＞0 ，则 C 是圆，其半径为\ C.若 mn＜0 ，则 C 是双曲线，其渐近线方程为yx D.若 m ＝0 ，n＞0 ，则 C 是两条直线 3 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】的取值范围是：，，理由见解析. 【解析】【分析】根据题意作出图示，根据图示结合临界位置分析直线与线段有交点时倾斜角和斜率的取值范围. 【详解】如下图所示， 当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ； 当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为， 由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意， 旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到， 所以倾斜角的取值范围是：； 旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到， 所以斜率的取值范围是：. 4、已知的三个顶点，，，求边所在直线的方程，以及这条边上的中线所在直线的方程. 解：如图，过，的两点式方程为，整理得.这就是边所在直线的方程. 边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即.过，两点的直线方程为 ，整理可得.这就是边上中线所在直线的方程. 22. 已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求： （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程 【小问1详解】 因为边AC上的高BH所在直线方程为 ∴ ，且 ∴ ∵的顶点 ∴直线AC方程：，即 与联立， ，解得： 所以顶点C的坐标为 【小问2详解】 因为CM所在直线方程为 故设点的坐标为 因为是中点， 所以 因为在BH所在直线上 所以，解得： 所以点坐标为 由第一问知：C的坐标为 故直线BC的方程为，整理得： 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 图2.5-5 解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 ； 轮船航线所在直线l的方程为 ，即． 联立直线l与圆O的方程，得 消去y，得 ． 由，可知方程组无解． 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 7、已知圆，直线． （1）求证：直线l恒过定点． （2）直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长． 【答案】（1）证明见解析；（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长．当直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时，最短弦长为. 【解析】【分析】（1）直线的方程可化为，要使直线恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点； （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短，即得解. 【详解】 （1）证明：直线的方程可化为， 联立解得. 所以直线恒过定点. （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为 由解得 此时直线的方程是 圆心到直线的距离为， ， 所以最短弦长是. 6、已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】，以为圆心2为半径的圆 【解析】 【分析】设出点,根据题意列出等式，化简即为答案. 【详解】设点. 则，化简得： 为以为圆心2为半径的圆. 例2 如图3.1-5，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？ 图3.1-5 分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为，由点M是线段的中点，得 ，． 因为点在圆上，所以 ． ① 把，代入方程①，得 ， 即 ． 所以点M的轨迹是椭圆． 例3 如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为，．直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程． 图3.1-6 分析：设点M的坐标为，那么直线，的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程． 解：设点M的坐标为，因为点A的坐标是，所以直线的斜率． 同理，直线的斜率． 由已知，有， 化简，得点M的轨迹方程为． 点M的轨迹是除去，两点的椭圆． 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得． 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线 18. m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线？ 【答案】（1）；（2），，且；（3） 【解析】【分析】（1）若方程表示圆，则，即可得答案. （2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案； （3）若方程表示双曲线，则，即可得答案. 【详解】（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且， 所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线. 23. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意，可得范围，进而可得的范围，根据椭圆、双曲线离心率的公式，化简整理，即可得答案. 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 典题 13 (人教 A 版选择性必修第一册 P135 例 4)斜率为 1 的直线 l 经过抛物线y2 ＝4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长. 典题 15 (人教 A 版选择性必修第一册 P146T10)如图，已知直线与抛物线y2 ＝2px(p＞0)交于 A ，B 两点，且 OA⊥OB ，OD⊥AB 交于点 D ，点 D 的坐标为(2 ，1) ，求p 的值. 11. 经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 【答案】 【解析】 【分析】 求出椭圆的左焦点，根据点斜式设出方程，联立直线方程与椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦的长． 【详解】椭圆方程为， 焦点分别为，， 直线过左焦点倾斜角为， 直线的方程为， 将方程与椭圆方程消去，得 设，，，，可得 ， 因此，． 故答案为： (2021·新高考 Ⅰ卷节选)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1( －\ ，0)， F2( \ ，0) ，点 M 满足|MF1 |－|MF2 | ＝2.记 M 的轨迹为 C.求 C 的方程. 5、在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 【答案】证明见解析. 【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果. 【详解】由可得，又因为，所以，即，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆. 95 学科网（北京）股份有限公司 $