4.4 二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程的关系”，系统讲解交点与根的联系、判别式作用、图象法求根及不等式关系，通过“逐点导讲练”衔接方程知识与函数应用，搭建从代数到几何的学习支架。 其亮点在于以一题多解（如例1用代入法与对称性求根）、分类讨论（例3抛物线平移交点问题）深化推理意识，结合图象法（例4估计近似根）培养几何直观，助力学生用数学语言表达数量关系。学生能深化数形结合理解，教师可依托系统例题与练习提升教学效率。

4.4 二次函数与一元二次方程的关系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数与一元二次方程的关系 用图象法求一元二次方程的根 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展点) 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 知1－讲 感悟新知 1 1. 一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1，x=x2. 2. 由二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的交点情况可以判断一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系. 具体如下表： 知1－讲 感悟新知 b2－4ac的取值 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 a>0 a<0 知1－讲 感悟新知 b2－4ac的取值 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根 有两个不相等的实数根 x1，2= 有两个相等的实数根 x1=x2=－ 没有实数根 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 知1－讲 感悟新知 拓宽视野 1. 一元二次方程ax2+bx+c=m 的解是抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=m 的公共点的横坐标. 2. 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m 的交点的坐标是方程组y=ax2+bx+c，y=kx+m的解. 知1－练 感悟新知 [一题多解] 已知二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则一元二次方程x2-2x-m=0 的根为___________. 例1 解题秘方：可以将已知点的横坐标代入方程，求出m的值，然后解方程即可，也可以利用抛物线的对称性求解. x1=3，x2=-1 知1－练 感悟新知 解：方法一 因为二次函数y=-x2+2x+m的图象与x 轴的一个交点为(3，0)，所以x=3 是一元二次方程-x2+2x+m=0，即x2-2x-m=0的一个根. 所以32-2×3-m=0，解得m=3. 解方程x2-2x-3=0，得x1=3，x2=-1. 方法二 因为二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线 x=-=1，且与x 轴的一个交点为(3，0)， 所以该函数的图象与x 轴的另一个交点为(-1，0). 所以一元二次方程x2-2x-m=0 的根为x1=3，x2=-1. 知1－练 感悟新知 1-1.[模拟· 株洲]关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=3，则抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线(　　) A. x=-1 B. x=1 C. x=2 D. x=3 B 知1－练 感悟新知 抛物线y=x2-4x-m2+1(m 是常数)与坐标轴交点的个数为( ) A. 0 B. 1 或2 C. 2 或3 D. 3 例2 思路导引： 知1－练 感悟新知 解： 令y=x2-4x-m2+1=0， 则Δ=(-4)2-4×1×(-m2+1)=4m2+ 12>0，所以抛物线与x 轴有2 个交点.当x=0 时，y=-m2+1，若m=±1，则抛物线与y 轴交于原点，此时抛物线与坐标轴有2 个交点；若m≠±1，则抛物线与y 轴交于点(0， -m2+1)，此时抛物线与坐标轴有3 个交点． 答案：C 知1－练 感悟新知 2-1.已知抛物线y=ax2+bx+c，则当a>0，c<0时，抛物线与x 轴的交点情况是(　　) A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定 2-2.抛物线y=3x2-2x+1与坐标轴的交点个数是__________. C 1 知1－练 感悟新知 [新考法 分类讨论法]若将抛物线y=x2-2x+3 向下平移k 个单位长度后与坐标轴仅有两个交点，则k=__________． 例3 思路导引： 2 或3 知1－练 感悟新知 解：将抛物线y=x2-2x+3 向下平移k 个单位长度后的抛物线的表达式为y=x2-2x+3-k．因为此时抛物线与坐标轴仅有两个交点，所以此时抛物线正好经过原点(非顶点)或抛物线的顶点在x 轴上(非原点).当平移后的抛物线正好经过原点(非顶点)时，把(0，0)的坐标代入y=x2-2x+3-k，得3-k=0，解得k=3；当平移后的抛物线的顶点在x 轴上(非原点)时，Δ=(-2)2-4(3-k)=0，解得k=2.综上可知，k=2 或3. 知1－练 感悟新知 3-1.若抛物线y=kx2-2x-1 与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k>-1 B. k≥ -1 C. k>-1 且k≠ 0 D. k≥ -1 且k≠ 0 3-2. 若抛物线y=x2+xm与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是___________ . C m<- 感悟新知 知2－讲 知识点 用图象法求一元二次方程的根 2 1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的一般步骤 (1)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象； (2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标； (3)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 感悟新知 知2－讲 2. 当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根： 感悟新知 知2－讲 步骤(1) 观察函数图象与x 轴的一个交点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个交点的横坐标的取值范围 步骤(2) 由(1)可确定方程ax2+bx+c=0 的一个根在哪两个连续整数之间，通过观察或测量，得抛物线与x 轴交点的横坐标的近似值，即为一元二次方程的一个根. 也可以用计算器把这两个连续整数间的部分x 值所对应的y 值计算出来，哪个y 值最接近0，则其对应的x 值便是方程的一个根 步骤(3) 按照(1)(2)的方法估计出方程的另一个根 感悟新知 知2－讲 注意 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，但由于作图或观察可能存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 利用图象法求解一元二次方程ax2+bx+c=0的其他方法： 方法一：先将一元二次方程化为ax2+bx=-c,再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx和直线y=-c； 方法二：先将一元二次方程化为ax2=-bx-c(或x2=- x- ),再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=-bx-c(或抛物线y=x2和直线y=- x-). 两图象交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 感悟新知 知2－练 例4 [母题 教材P157 例1]利用二次函数的图象求一元二次方程-x2+2x-3=-8 的根的近似值(结果保留小数点后一位). 解题秘方：先作出相应的二次函数图象，确定一元二次方程的解的个数，找出二次函数的图象与x 轴交点的横坐标的大致范围，然后求近似解. 感悟新知 知2－练 解：整理方程，得-x2+2x+5=0. 作函数y=-x2+2x+5的图象，如图4.4-1所示. 可以发现，抛物线与x轴的一个交点在-2 和-1之间，另一个交点在3和4之间.通过观察 或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约 为-1.4 或3.4，即一元二次方程-x2+2x-3=-8 的 实数根为x1 ≈ -1.4，x2 ≈ 3.4. 知2－练 感悟新知 4-1.已知二次函数y=ax2+bx+c 中x 和y 的部分对应值如表，则下列选项是ax2+bx+c=0的一个根所在范围的是( ) A. 0.10<x<0.11 B. 0.11<x<0.12 C. 0.12<x<0.13 D. 0.13<x<0.14 x y 0.10 -2.9 0.11 -2.3 0.12 -1.3 0.13 0.1 0.14 1.9 C 感悟新知 知3－讲 知识点 3 二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次不等式ax2+bx+c>0 及ax2+bx+c<0 的关系如下表： 二次函数与一元二次不等式的关系(拓展点) 感悟新知 知3－讲 b2-4ac 的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点情况 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0的解集 x<x1或x>x2 x≠x1(或x≠x2) 全体实数 不等式ax2+bx+c<0的解集 x1<x<x2 无解 无解 感悟新知 知3－讲 a<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况 有两个交点 有一个交点 无交点 不等式ax2+bx+c>0的解集 x1<x<x2 无解 无解 不等式ax2+bx+c<0的解集 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2) 全体实数 知3－讲 感悟新知 注意 如果不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 知3－讲 感悟新知 特别解读 二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c>0的解集；在x轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0的解集． 知3－练 感悟新知 已知二次函数y=x2-4x+3. (1)当 x 取什么值时，y=0 ？ (2)当 x 取什么值时，y>0 ？ (3)当 x 取什么值时，y<0 ？ 例5 解题秘方：画出二次函数的图象，确定图象与 x 轴的交点，进而解方程和不等式 . 知3－练 感悟新知 解：如图 4.4-2，画出二次函数 y=x2-4x+3 的图象 . 根据图象可知： (1)当 x=1 或 x=3 时，y=0； (2)当 x<1 或 x>3 时，y>0； (3)当 1<x<3 时，y<0． 图 4.4-2 知3－练 感悟新知 5-1.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： (1)求二次函数的表达式； x -1 0 1 2 y -6 -6 -4 0 知3－练 感悟新知 解:将代入y=ax2+bx+c，得 解得故二次函数的表达式为y=x2+x-6. 知3－练 感悟新知 (2)直接写出不等式ax2+bx+c<0的解集. 解:-3<x<2. 二次函数与一元二次方程的关系 求一元二次方程的根 二次函数图象与x轴的公共点个数 二次函数与一元二次方程 函数值位0时的一元二次方程根的个数 图象 法 等价于 课堂小结 $