2.4.1 圆的标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过回顾两点间距离公式和直线点斜式方程推导思路，类比引导学生从初中圆的定义出发，探究圆的方程化过程，构建知识支架。 其亮点在于以数学思维的推理能力为核心，类比直线方程推导圆的标准方程，结合待定系数法解决三角形外接圆问题体现数学语言的模型观念，练习分层且课堂小结系统梳理，助力学生培养逻辑推理与应用能力，为教师提供清晰教学路径。

第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 相关知识回顾 1.在平面直角坐标系中： 2.直线如何方程化？ ①将直线放入平面直角坐标系 ②用直线上一点（坐标）与直线的倾斜程度（斜率）表示该直线，得其方程为 （以点斜式为例） 新知探究 （2）圆的几何要素： ②在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标及它的半径确定，这个圆也就确定了. （1）初中的圆的定义： （3）圆如何方程化？（类比直线方程的得出思路） ①将圆放入平面直角坐标系 圆心，半径 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。 如图，在平面直角坐标系中，A圆心A的坐标为，半径为， 设M(x, y)是圆A上任意一点, 根据定义, 点M到圆心A的距离等于r, 所以圆A上所有点的集合为： P＝{ M | |MA|＝r }. 两边平方，得 圆的方程推导 由两点间的距离公式可知, 点M(x, y)满足的条件可表示 由上述过程可知，若点M(x, y)在圆A上，点M的坐标就满足方程(1)； 反过来，若点M的坐标(x, y)满足方程(1) ，就说明点M与圆心A间的距离为r ，点M就在圆A上。 　　 圆心 () (1) 半径r 由此得到了圆的标准式方程： 这时我们就把方程(1) 称为圆心为(a, b)，半径为r 的圆的标准方程． 1. 是关于x, y的二元二次方程； 2. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即 a，b，r； 圆的标准式方程的特征: 4. 要注意r 的取值，r>0． 3. 特别地，若圆心在坐标原点，则圆方程为 (1) 概念归纳 1.圆的标准式方程： 练1.判断下列方程是圆的方程吗？ 练2.根据圆的标准方程，求出圆心和半径. (1)圆 的圆心是______，半径是___ (2)圆 的圆心是______，半径是____ (3)圆 的圆心是_____，半径是____ (3, 4) (-3, 1) 练习强化 解：将圆心A(2,-3)，半径为5代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为 例1. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)， M2(-2,-1) 是否在这个圆上． 我们该如何确定点是否在这个圆上呢？ 课例 将点的坐标代入方程的左边，得，此时左右相等，点M的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上． 把点的坐标代人方程的左边,得，此时左右不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 例1. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)， M2(-2,-1) 是否在这个圆上． 在直角坐标系中，已知点M(x0, y0)与圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 如何判断点M与圆A的位置关系？ 2.点与圆的位置关系 练.根据已知条件，写出圆的标准方程 (1)圆心为(-1, 2),半径为1，__________________ (2)圆心为(1, -2),半径为 , ____________________ 练：点 与圆 的位置关系是( @19@ ) A. 点 在圆 内 B. 点 在圆 上 C. 点 在圆 外 D. 不能确定 C 练习强化 1. 写出下列圆的标准方程: (1) 圆心为C(－3, 4), 半径是 (2) 圆心为C(－8, 3), 且经过点M(－5, －1). 练习强化 3. 已知P1(4, 9), P2(6, 3)两点, 求以线段P1P2为直径的圆的标准方程, 并判断点M(6, 9), N(3, 3), Q(5, 3)在圆上, 圆内, 还是在圆外. 练习强化 解: 例2. △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程. （待定系数法） 3.根据已知条件求圆的标准方程 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 设方程 列方程组 解方程组 得方程 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 由已知条件，建立关于a，b，r 解方程组，求出a，b，r 将a，b，r代入所设方程，得所求原方程 4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程. x O(0,0) y A(4,0) • • B(0,3) • • 解：(待定系数法) 练习强化 圆的标准方程 圆心、半径 点与圆的位置关系 圆外: 圆上: 圆内: 圆的基本要素 课堂小结 巩固练习： 2.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是　　　　　 .  （0,10） 3．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝100 A 20 4．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为________． (x＋2)2＋(y＋1)2＝6 (x＋1)2＋y2＝2 或(x＋3)2＋y2＝2 21 6.经过点A(－1,3)，B(4,2)且圆心在y轴上的圆的方程是________________． x2 ＋ (y+5) 2＝13 解: 例2. △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程. 你还有其他方法吗？ 拓展思考 例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程. x O y A(5,1) • C(2,-8) • B(7,-3) • r M • 解2： 1.写出下列各圆的标准方程． (1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为eq \f(1,4). 5．圆心在x轴上，半径长为，且过点(－2,1)的圆的方程为____________． 解：由于圆心在y轴上，故可设圆心为(0，b)， 设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2， 因为圆经过A(－1,3)，B(4,2)两点， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－12＋3－b2＝r2，,42＋2－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－5，,r2＝65.)) 故所求圆的方程为x2＋(y＋5)2＝65. 7．已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解：设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3－a2＋4－b2＝r2，)) 解此方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，,r2＝5.)) 故经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y－3)2＝5. 把点D的坐标(－1,2)代入上面方程的左边， 得(－1－1)2＋(2－3)2＝5. 于是点D在经过A，B，C三点的圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上，这个圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5. $