3.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件围绕一元二次方程根与系数的关系，系统讲解定义、代数式变形、推论及应用前提，通过“感悟新知”衔接旧知，搭建从求根公式到规律总结的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以例题为载体，通过一题多解和中考真题，培养学生运算能力与推理意识，综合应用创新环节通过构造方程等题型发展模型意识与创新意识。学生能提升问题解决能力，教师可利用分层练习实施差异化教学。

*2.4 一元二次方程根与系数的关系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程根与系数的关系 知识点 一元二次方程根与系数的关系 知1－讲 1 1. 一元二次方程根与系数的关系：对于 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根为x1，x2，则x1，x2满足x1＋x2＝－，x1x2＝. 即一元二次方程两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. 感悟新知 一元二次方程根与系数的关系 知1－讲 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形： (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)＋＝. (4)|x1-x2|== ； (5)x1x22+x12x2=x1x2(x2+x1). 感悟新知 一元二次方程根与系数的关系 知1－讲 3. 一元二次方程根与系数的关系的两个重要推论 (1)如果方程x2+mx+n=0 的两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=-m，x1x2=n. (2)以x1，x2 为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 感悟新知 感悟新知 知1－讲 特别提醒 根与系数的关系应用的前提 : 1. 二次项系 数不为 0(a≠ 0)； 2.方程为一般形式； 3.b2 － 4ac ≥ 0. 三者缺一不可. 知1－练 感悟新知 若 x1， x2 是一元二次方程 x2 － 2x － 8 ＝ 0的两个实数根，则 =_________ ． 例1 － 知1－练 感悟新知 解：根据题意得 x1 ＋ x2 ＝ 2， x1x2 ＝ － 8， 则 = = － ． 解题秘方：根据根与系数的关系分别求出两根之和与两根之积，再代入求值 . 知1－练 感悟新知 1-1. [ 中考·岳阳] 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2 m x+m 2－m+2 = 0有两个不相等的实数根x1， x2，且 x1+x2+x1x2=2，则实数 m=_______ ． 3 知1－练 感悟新知 [一题多解]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为－1，求 m 的值和方程的另一个根． 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：根据根与系数的关系，列关于未知根的方程求解. 知1－练 感悟新知 解：方程有两个不相等的实数根．理由如下： 因为 关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0 中， a ＝ 1， b ＝ －2，c ＝ m， 所以 b2－4ac ＝(－2) 2－4× 1× m ＝ 4－4m. 因为m ＜ 0，所以4－4m ＞ 0. 所以方程有两个不相等的实数根． (1)判断方程根的情况，并说明理由 知1－练 感悟新知 解：因为 －1 是方程的一个根， 所以(－1) 2－2×(－1) +m ＝ 0.所以m ＝ －3. 设方程的另一个根为 x2， 因为－1+x2 ＝ 2，所以x2 ＝ 3． 所以m ＝ －3，方程的另一个根为 3． (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根 知1－练 另解： 设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系 可得 －1+x2=2， －1·x2=m，所以 x2＝ 3， m=－3. 感悟新知 知1－练 教你一招：已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略： 求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值. 若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值. 感悟新知 知1－练 感悟新知 2-1. [ 期末·邵阳北塔区] 已知关于 x 的一元二次方程( m－2) x2－x－3=0. (1)若 x=－1 是方程的一个根，求 m 的值及另一个根； 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 (2)若该一元二次方程有两个不同的实数根，求 m 的取值范围． 知1－练 感悟新知 已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( ) A. x2-7x+12=0 B. x2+7x+12=0 C. x2+7x-12=0 D. x2-7x-12=0 例3 知1－练 感悟新知 解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 求解. 解：由题可知所求方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0， 所以所求的一元二次方程是 x2-7x+12=0. 答案：A 知1－练 感悟新知 3-1. 以方程x2+2x-3=0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是(　　) A．y2+5y-6=0 B．y2+5y+6=0 C．y2-5y+6=0 D．y2-5y-6=0 B 一元二次方程根与系数的关系 一元二次 方程根与 系数的 关系 判定两根的符号 已知一根求另一根 及字母的值 求涉根代数式的值 构建以两已知数为 根的一元二次方程 应用 意义 使用条件 两根之和 两根之积 课堂小结 题型 利用根与系数的关系求涉根代数式的值 1 [新考法 整体代入法]已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两个实数根，求： (1)+的值；(2)(x1-x2)2的值 . 例4 解题秘方：紧扣“与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形”解答 . 综合应用创新 解：因为 x1，x2 是方程 x2-4x+2=0 的两个实数根， 所以 x1+x2=4，x1x2=2. (1)+===2. (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×2=8. 综合应用创新 方法点拨 利用根与系数的关系求涉根代数式的值的方法： 一般利用恒等变形将代数式转化成含x1+x2，x1x2 的形式，再结合根与系数的关系进行求解 . 注意求值的前提：方程有两个实数根，即根的判别式大于或等于 0. 综合应用创新 题型 根与系数的关系与根的判别式的综合应用 2 [新视角 存在性探究题]已知关于x的方程 (k-1)x2+2kx+2=0． (1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根． (2)设 x1，x2是方程(k-1)x2+2kx+2=0的两个实数根，记S=++x1+x2，则是否存在k，使 S=2 ？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 例5 综合应用创新 解题秘方：(1)没有指明方程是一元二次方程，则需考虑二次项系数为 0 和不为 0 两种情况；(2)对于存在性问题，先假设存在，得到方程求出字母值，再验证是否是一元二次方程及是否有实数根即可 . 综合应用创新 解：(1)当 k-1=0，即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x+2=0，有 实数根； 当 k-1 ≠ 0，即 k ≠ 1 时，方程为一元二次方程， 因为 Δ=4k2-8(k-1)=4k2-8k+8=4(k-1)2+4>0， 所以此时方程有两个不相等的实数根 . 综上所述，无论 k 为何值，方程总有实数根 . 综合应用创新 (2)存在 k，使 S=2. 因为 x1，x2 是方程(k-1)x2+2kx+2=0 的两个实数根， 所以 x1+x2=-，x1x2=. 假设存在 k，使 S=2，则 ++x1+x2=2. 将要求的代数式转化为含两根之和与两根之积的式子 综合应用创新 所以+x1+x2=+x1+x2=-2- =2. 整理得-=4，即 2k2-2k=4(k-1)， 化简得 k2-3k+2=0，即(k-1)(k-2)=0，解得 k=1 或 k=2. 经检验，k=1 不是分式方程的解，所以 k=2. 由(1)知，当 k=2 时，方程有两个不相等的实数根 . 所以假设成立，即当 k=2 时，S=2. 综合应用创新 解法提醒 1. 对于二次项系数含有字母的方程，当未指明方程是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为 0 和不为 0 两种情况进行分类讨论； 2. 解存在性问题的三个步骤： (1)假设存在 . (2)根据已知条件证明、推理及计算 . (3)若能得出合理的结论，则假设成立；若得出矛盾的结果，则假设不成立 . 综合应用创新 题型 构造一元二次方程求最值 3 [新考法 构造方程模型法]已知m2-2am-2=0，n2-2an-2= 0，且m≠n，求(m-1)2+(n-1)2 的最小值． 例6 思路导引： 综合应用创新 解：因为m2-2am-2=0，n2-2an-2=0，且m≠n， 所以m，n 可以看成关于 x的一元二次方程 x2-2ax-2=0 的两个根.所以m+n=2a，mn=-2. 所以(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2+4-4a+2=(2a-1)2+5. 因为(2a-1)2 ≥ 0，所以(2a-1)2+5 ≥ 5. 所以(m-1)2+(n-1)2 的最小值是 5. 综合应用创新 方法点拨 求代数式的最值 ,先将代数式配方成 a(x+m)2+n 的形式 ,再利用平方式的非负性求最值 . 综合应用创新 易错题 运用根与系数的关系解题时，忽略对判别式的检验而出错 1 已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1，x2.若+=4m，则m的值是(　　) A. 2 B. -1 C. 2 或-1 D. 不存在 例7 综合应用创新 错解：C 正解：因为关于x 的一元二次方程mx2-(m+2)x+ =0 有两个不相等的实数根，所以解得m>-1 且m≠ 0. 综合应用创新 因为x1，x2 是方程mx2-(m+2)x+ =0 的两个实数根， 所以x1+x2= ，x1x2= .因为+=4m， 所以=4m，即=4m， 解得m=2 或m=-1. 经检验，m=2 或m=-1 均是分式方程的解.又m>-1 且m≠ 0，所以m=2． 答案：A 综合应用创新 诊误区： 应用一元二次方程根与系数的关系解题时,要注意已知中的隐含条件,本题易忽视根与系数的关系使用的前提条件Δ ≥ 0,未舍去不合题意的m= －1 而出错. 综合应用创新 考法 1 [中考· 宿迁]方程x2-2 024x-2 025=0 的两个根分别是 m，n，则(m2-2 023m-2 026)(n2-2 023n-2 026)=______. 例6 试题评析：本题主要考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系、代数式求值，正确化简原式并整体代入求值是解题的关键. －4048 利用根与系数的关系求含根的代数式的值 中考风向标 解：因为方程x2-2 024x-2 025=0 的两个根分别是m，n， 所以m2-2 024m-2 025=0，n2-2 024n-2 025=0， m+n=2 024，mn=-2 025． 所以m2=2 024m+2 025，n2=2 024n+2 025. 所以(m2-2 023m-2 026)(n2-2 023n-2 026) =( 2 024m+2 025-2 023m-2 026)(2 024n+ 2 025-2 023n-2 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1 =-2 025-2 024+1=-4 048. 中考风向标 考法 2 [中考·日照]已知实数x1，x2(x1 ≠ x2)是关于x的方程kx2+2kx+1=0(k ≠0)的两个根，若+=2，则k的值为( ) A. 1 B. -1 C. D. - 例9 试题评析：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据已知条件列方程是解题的关键． 利用涉根的式子的值求字母的值 中考风向标 解：因为x1，x2 是关于x 的方程kx2+2kx+1=0(k ≠ 0)的两个根，所以x1+x2=-2，x1x2=.因为+=2，所以=2. 所以=2，解得k=-1．经检验，k=-1 是原分式方程的解． 所以k 的值为-1. 答案：B 中考风向标 1. [中考·湖北]一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A. x1+x2=-4 B. x1+x2=3 C. x1x2=4 D. x1x2=3 D 中考风向标 2. 若关于x 的一元二次方程x2-8x+m=0 的两根为x1，x2，且x1=3x2，则m的值为(　　) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 C 中考风向标 3. [中考·河北]若一元二次方程x(x+2)-3=0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 中考风向标 4. [新趋势学科内综合中考·泸州]若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) A． B．2 C． D．2 C 中考风向标 5. [期中·郴州苏仙区]若方程x2+mx+n=0 的两根满足=2，则在下列关于m，n 的等量关系式中，正确的是( ) A. m=4n B. m=2n C. m2=n D. m2=n D 中考风向标 6. [新考法 数形结合法]如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD ⊥ BC，DE=BE， 设BE=a，AB=b，AE=c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是( ) A. x2-2cx+b2=0 B. x2-cx+b2=0 C. x2-2cx+b=0 D. x2-cx+b=0 A 中考风向标 7.[中考·眉山]已知方程x2-2x-5=0 的两根分别为x1，x2，则(x1+1)(x2+1)=_______． -2 中考风向标 8. 已知关于x 的方程x+ +b=0 的两根均大于1 且小于2，则a+b 的取值范围是_________. -3<a+b<2 中考风向标 9. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 证明：因为Δ=［-(2m+1)］2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1＞0， 所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. 中考风向标 (2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a+b)(a+2b)=20，求m的值. 解：因为该方程的两个实数根为a，b， 所以a+b=2m+1，ab=m2+m.因为(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab= 2(a+b)2+ab，所以2(a+b)2+ab=20.所以2(2m+1)2+m2+m=20.整理，得m2+m-2=0，解得m1=-2，m2=1.因此m的值为-2或1. 中考风向标 10.[中考·南充]设x1，x2 是关于x 的方程(x-1)(x-2)=m2 的 两根． (1)当x1=-1 时，求x2 及m的值； 解：原方程可变形为x2-3x+2-m2=0， 由根与系数的关系得-1+x2=3，所以x2=4. 所以x1x2=-1×4=2-m2，所以m=±. 综上，x2=4，m的值是±. 中考风向标 (2) 求证：(x1-1)(x2-1)≤ 0. 证明：由(1)知原方程为x2-3x+2-m2=0， 则Δ=(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根. 由根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2-m2， 所以(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2， 因为-m2≤0，所以(x1-1)(x2-1)≤0. 中考风向标 11. [新考法阅读类比法期末·邵阳]阅读材料： 材料1：解方程(x2)2-13x2+36=0 时，如果我们把x2 看成一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36= 0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3. 我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法． 中考风向标 材料2：已知实数m，n 满足2m2-m-3=0，2n2-n-3=0，且m≠ n，显然m，n 是方程2x2-x-3=0 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=，mn=-. 中考风向标 根据上述材料，解决以下问题： (1)【 直接应用】解方程：x4-5x2-6=0； 解：令y=x2，则有y2-5y-6=0， 所以(y+1)(y-6)=0，解得y1=-1，y2=6. 所以x2=-1(舍去)，x2=6，解得x1=，x2=-. 中考风向标 (2)【间接应用】已知实数a，b满足：2a4-5a2+1=0，2b4-5b2+1=0， 且a ≠ b， 求a4+b4 的值； 解：因为a≠b，所以a2≠b2或a2=b2(a=-b). ①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n， 则2m2-5m+1=0，2n2-5n+1=0， 所以m，n是方程2x2-5x+1=0的两个不相等的实数根. 中考风向标 所以m+n=，mn=， 此时a4+b4=m2+n2=(m+n)2-2mn=()2-2×=. ②当a2=b2(a=-b)时，a2=b2=5±， 此时a4+b4=2a4=2×() 2=. 综上所述，a4+b4的值为或. 中考风向标 (3)【拓展应用】已知实数m，n满足：+=13，n2-n= 13，且n>0，求+n2的值. 中考风向标 解：令=a，-n=b， 则a2+a-13=0，b2+b-13=0. 因为n>0，所以≠-n，即a≠b. 所以a，b是方程x2+x-13=0的两个不相等的实数根. 所以a+b=-1，ab=-13. 故+n2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-1)2-2×(-13)=27. 中考风向标 解：设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系 得x1＋(－1)＝①，x1×(－1)＝－②， 由①＋②，得－＝－1，解得m＝4. 经检验，m＝4是分式方程的根．把m＝4代入②，得x1＝. 所以m=4，方程的另一个根为x=. 解：因为方程(m－2)x2－x－3＝0有两个不同的实数根， 所以 解得m＞且m≠2， $