第十一章　第5讲　专题强化：带电粒子在复合场中的运动 讲义 -2027届高考物理一轮专题复习

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在复合场中的运动核心考点，按组合场、叠加场、交变场题型构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生建立“画轨迹-析受力-用规律”的解题框架，突破运动过程分析难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以科学思维和模型建构为导向，创新设计“考向分类+典例精析+分层练习”教学活动，如组合场中先电场后磁场问题，引导学生用平抛运动和圆周运动规律分阶段求解，培养运动和相互作用观念，助力学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5讲专题强化：带电粒子在复合场中的运动 题型分类 题型一带电粒子在组合场中的运动 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场 交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规 律处理。 3.基本规律 U:=vox=Vol 电 类平抛 ,at gE t,y= 2 运动 171 两种偏转 偏转角tanp=巴=g6 Vo myo 磁 匀速圆 ToB=m 转 周运动 0 r= 9B1- 分7 考向1先电场后磁场 1.先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场 中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ⊕d 50. q,m U+ E,· qU=5mv qEd=imvi 甲 乙 2.先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中 利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 .9E L=,a h=r产-g,4-a v=al,v+ t,ma=号 丙 丁 【典例1】(2026四川绵阳一模)如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的 第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为y=0.5x,虚线上方（包含虚线）存 在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E=1N/C,第三象限内存在垂直于纸面向外的匀 强磁场，磁感应强度大小B,=2T。在抛物线的下方0≤y≤0.5m的区域有大量质量 m=6.0×106kg、电荷量q=+6.0×106C的粒子以相同的初速度Vo平行于x轴射入电场， 最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，求： 0 (1)带电粒子的初速度Vo大小： (2)在磁场中，所有带电粒子能到达离x轴的最远距离y1。 (3)若磁感应强度与v轴的关系为B=(P2-1)y(T' 那么所有粒子在磁场中，能到达 离x轴的最远距离y2。 【典例2】 (2026湖南长沙.一模)如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为 R磁感应强度为B,方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3足够多个等宽 区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为E;偶数区域有垂直于纸面向 里的匀强磁场，磁感应强度为B(未知)。圆上MN两点与圆心O共线，MN与区域1左 边界垂直。有一个带电粒子由M点进入圆形磁场区域，经过N点进入区域1，速度大小为Vo, 方向与左边界夹角为45斜向下，进入区域2时与左边界夹角为60斜向下，该粒子恰好不能 从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： E B E Bo. XX M XX ·N XX 区域1区域2区域3区域4 (1)带电粒子的比荷： (2)每个区域的宽度d: (3)磁感应强度B的大小： 【典例3】(2026四川绵阳模拟预测)如图所示，直角坐标系Oy平面内，绝缘等腰直 角三角形框架ACD底边CD中点位于原点O,CD=3L,AC、AD边上有关于y轴对称的小 孔N、M。三角形框架ACD内有沿y轴正方向的匀强电场，框架外至圆心在O点、半径为 2L的半圆形边界内有垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为m、电量为+q、不计重力的带电 粒子以初速度Vo从O点沿+X方向射入电场，经过小孔M垂直于AD进入磁场区域，与绝缘 框架碰撞后原速返回。调节匀强磁场磁感应强度为某些值时，粒子能绕过A点回到出发点O, 此后重复做周期性运动。求： A+ M (1)粒子经过M点时速度大小VM: (2)0与M两点间的电势差Uow (3)粒子运动周期最长时磁感应强度大小B。 考向2先磁场后电场 1.进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加 速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 2.进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运 动，用平抛运动知识分析。 ·由 甲 【典例4】(2026河南三门峡三模)（多选）如图所示，在平面直角坐标系Oy第一、 二象限x≤L的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第一 象限x>L的区域内存在着匀强电场，电场方向与X轴负方向成5°斜向下。位于坐标原点O 处的粒子源能在xOy平面向第二象限内持续发射质量为m、电荷量为q的相同粒子，速度方 向与y轴正方向的夹角0°≤0≤37°，且各个方向的速度大小与9的关系为v=0 (式中Vo cos 0 为未知定值)。日=0°的粒子恰好通过坐标为L,L的P点，经过直线X=L时距X轴最远的粒 子到达直线x=2L时，速度方向刚好沿y轴负方向，sn37°=0.6，不计粒子重力，及粒子 间的相互影响，下列说法正确的是() 21 A.粒子带负电荷 8.=9BL m C.粒子运动到直线x=L上时与x轴的最远距离为1.6L 252q B2L D.匀强电场的电场强度为二 32m 【典例5】(2026天津红桥.二模)一个带电粒子从x轴上的P(L,0)点以速度v沿与x正 方向成60°的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外的匀强磁场中， 并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E,方向沿 x轴负方向。不计粒子重力，求： E 本y X6G°· (1)带电粒子的比荷9 (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标(x,y)； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【典例6】（2026福建福州二模)如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N竖直固 定，间距为。M板接地，其左侧整个区域存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。 M板上O点左侧P点有一粒子源，可不断地沿纸面内任意方向发射速度大小均相同，质量 为，电荷量为q的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角0=60°时，粒子恰好垂直穿过 M板Q点处的小孔。已知OP=3L,初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收， 电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，带电粒子在板间的运动可视为匀变 速运动，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。求： X 0X (1)粒子源发射粒子的速度大小： (2)粒子从P点出发，第1次到Q的可能时间： (3)粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离。 题型二带电粒子在叠加场中的运动 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存或其中某两场共存。 2.洛伦兹力、重力并存 (1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 (②)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功， 故机械能守恒，由此可求解问题。 3.静电力、洛伦兹力并存（不计重力的微观粒子） (1)若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 (2)若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功， 可用动能定理求解问题。 4.静电力、洛伦兹力、重力并存 (1)若三力平衡，一定做匀速直线运动。 (②)若重力与静电力平衡，且速度与磁场垂直，一定做匀速圆周运动。 (3)若合力不为0且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可 用能量守恒定律或动能定理求解问题。 【典例7】(2026黑龙江哈尔滨.二模)（多选）如图，绝缘粗糙的竖直挡板N固定在 相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，电场和磁场范围足够大。电场方向水平向左，电场强度 大小为E=m ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=9 q Vh 一质量为、电荷 量为q的带电的小滑块从a点由静止开始沿MWN下滑，到达b点时离开MN并立即撤走挡板 MN,小滑块开始做曲线运动，α、b两点间距离为h,不计空气阻力，重力加速度为g,则 下列说法正确的是() M A.小滑块带正电 B.小滑块从a点运动到b点过程中克服摩擦力做的功为mg C.小滑块以后运动过程中最大速度为3gh D。小滑块从b点到第一次达到最大速度经历的时间为3刀 4Vg 【典例8】(2025广东汕头模拟预测)如图所示，水平向左的匀强电场的场强E=4V/m, 垂直纸面向内的匀强磁场的B=2T,质量为=1kg的带电物块A从竖直绝缘墙上的M点由静 止开始下滑，滑行=0.8m到达N点时离开墙面开始做曲线运动，在到达P点开始做匀速直 线运动，此时速度斜向下与水平方向成45°角，P点离开M点的竖直高度为H=1.6m,取 g=10m/s2,求： M 0.8m时 E=4V/m N B=2T 过××××6×× (1)物块A的电性和电量大小： (2)A沿墙下滑克服摩擦力做的功W: (3)P点与M点的水平距离x2。 【典例9】（2026广西模拟预测)如图所示平面直角坐标系xOy中，y轴沿竖直方向，y 轴左侧-12m<x<0的区域内，存在沿y轴正向的匀强电场E1和垂直坐标平面的匀强磁场 (未画出)，y轴右侧0<x<6V3m的区域内有与x轴负方向成60°角，场强为E2的匀强电 场，x>6V3m的区域有与x轴正方向成30°，场强为E3的匀强电场。一质量为 m=6×103kg,电荷量为q=1.0×103C的带电微粒以速度Vo=12m/s沿x轴正向进入电 磁场中，在y轴左侧区域做匀速圆周运动，微粒从原点O进入y轴右侧后，在0<x<63m 的区域内做直线运动，且速度恰好垂直E2方向，已知E3=30N/C,重力加速度g=10m/s2, 求： 个ylm TE↑ E E 60° 309 -12 63 x/m ()y轴左侧电场E,的大小及磁场的大小和方向； (2)微粒刚进入x>6V3m区域时的速度大小： (3)微粒再次经过X轴时的横坐标。 题型三带电粒子在交变场中的运动 1.交变电、磁场的常见类型 (1)交变磁场 (2)交变电场+恒定磁场 交变电、磁场 (3)交变磁场+恒定电场 (4)交变电场+交变磁场 2.带电粒子在交变电、磁场中运动的处理方法 (1)弄清复合场的组成特点及场的变化情况。 (2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。 (3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。 【典例10】(2026湖北恩施.二模)如甲图所示，三维直角坐标系所在的整个空间存在竖 直方向的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示（磁场方向取竖直向上为 正)。一质量为、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以速度v沿y轴正方向射入磁场。 图乙中B已知，T=4πm qB ◆B B B 甲 乙 口若粒子重力可忽略不计，试求粒子在~T内微圆周运动的轨迹半径： (2)若粒子重力可忽略不计，试求t=T时刻粒子的位置坐标： (3)若粒子重力不可忽略，试求粒子出发后经过z轴时的位置坐标（重力加速度为g)。 【典例11】 (2026湖南常德.一模)如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平 平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为 ,电荷量为+q的带电粒子（重力不计)，以初速度Vo从金属板左端中心线沿+X方向进入， T 恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在一时刻粒子第一 2 次经过x轴。已知两金属板间距为d,板长为板间距的3 倍，磁场取垂直纸面向里为正方 向，乙图中B= 2mvo T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用V0、d和常 qd 量表示。 个y B Bo × + × + X × × × × pX × × + + + 甲 (1)求粒子在P点的速度大小v: 粒子在，时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽 (3)若磁场宽度5不确定，但粒子出右边界时速度都是沿+y方向，求粒子在磁场中运动时间t 的可能值。 【典例12】如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化 的电场和磁场，交变电场的场强大小为E,交变磁场的磁感应强度大小为B,取x轴正方 向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在t=0时刻，将一质量为m,带电量 为4，重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放，粒子经过电场加速和磁场偏转后 垂直打在x轴上且恰好能被位于x轴上的粒子收集器接收。求： E B y↑ A 2πm 0.5115 0 qB。 0.5115 9B。 B 甲 (1)粒子第一次在磁场中运动的半径： (2)若粒子经过三次加速并在第三次偏转过程中被粒子收集器接收，此时粒子收集器距坐标 原点O的距离。 02 巩固训练 1。 (2026四川模拟预测)（多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在 着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场， 场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度V0沿x轴正方向开始运动，从x轴上 的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为，且 ,带电粒子的质量为m,电荷量为g,不计带电粒子的重力。求：《) tan=1 B ××××× M A.粒子第一次经过N点的速度大小为2Vo B.粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量3mVo C.电场强度E的大小 2 3π+4m D.粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔为 qB 2.(2026四川成都模拟预测)（多选)圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、 方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上的A点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速 度大小为V的带电粒子。圆的右边为边长是2R的正方形，刚好与圆相切于B,点，切点为 MN的中点，其区域内存在水平向左的匀强电场。当粒子沿AO方向射入时，粒子刚好从B 点离开磁场，进入电场后又恰好从右边界的中点返回。不计粒子重力和粒子间的相互作用。 下列说法正确的是() ◇ A.粒子的比荷为 BR B.粒子从A点进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间与入射方向无关 C.若将电场E方向变为竖直向下，则从电场边界PQ与NQ射出的粒子数之比为2·1 D.若将电场E方向变为竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则电场强度大小至少 为原来的5倍 3.(2026江西·模拟预测)如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀 强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为、电荷量为q的粒子以速度从 A(-L,0)点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成0=45°角射入第四象限，粒子进入电 场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出)垂直x轴回到第二 象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B: (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)A、C两点间的距离d: (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 4.（2026山西太原一模)如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内存在竖直向下的 匀强电场；水平直线边界Qb上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁 感应强度的大小为B。M为圆与ab边界的切点，P为圆的最高点，Q、N为圆上与圆心O等 高的两点。从M点右侧某区域垂直于Qb发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射 入电场区域，离子的比荷为k,不计离子重力及离子间的相互作用力，求： ● ● (1)离子的电性： (2)若从N点射入电场的离子恰好可从P点射出电场，则匀强电场的电场强度E的大小为多少： (3)若将水平直线QON上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整QON上方磁场磁感应强 度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距M点右侧0.8R处发射的离子可依次经过Q 点与N点，则离子在ab上方区域运动的总时间t为多少。 5.(24-25高二下广西柳州·期中)如图所示，一个质量为m、电荷量为+q的微粒，在A点 (0,3m)以初速度V,=120ms平行x轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁 场进入电场，P点(6m,0)和Q点(8m,0)分别是微粒第一、二次经过x轴上的点。已知 该微粒的比荷为9=10Ckg,微粒重力不计，求： m y/m xX Px xO x xx/m B XXXXXX (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小： (2)微粒到达P点时速度方向与X轴正方向的夹角； (3)磁感应强度B的大小及微粒从A运动到Q的时间。 6. (2026山东·三模)如图所示，以O为坐标原点，建立O-yz坐标系。X<0区域存在沿X轴 正方向的匀强电场E(大小未知)，在+x、+y、+z区域内存在一边长为3L的正立方体区 域Obcd-efgh,其中b、d、e分别位于x、y、z轴上，该区域内存在沿z轴正方向的匀强电 场E,(大小可调)以及沿2轴正方向的匀强磁场B〈大小可调)。一带电粒子由坐标为(~ L,0,0)的a点静止释放，粒子经电场加速后到达O点速度大小为Vo,此后进入正立方体 区域。已知该粒子的质量为m、电量为+q(q>0),不计粒子重力和场的边界效应。 e 5 B E E a b ky d (1)求电场强度E的大小： 2若B=m、E,=E,求粒子离开正立方体区域的坐标： 6aL 若B-m心、E:=4mq mv,求粒子第二次离开正立方体区域的坐标。 qL 7. (2026湖南·模拟预测)如图所示，在一直角坐标系y>0的区域有沿y轴正方向的匀强电场， 电场强度大小E=100N/C,在y≤0的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=V30T。在A(0,1m)点处有一个粒子源，向第一象限内各方向发射电量大小 q=1×108C质量m=1×10kg速度v,=1010ms的带负电粒子，不计粒子重力和 空气阻力。 y/m AE x/m B (1)求带电粒子在电场中的加速度大小： (2)若带电粒子射入电场时速度Vo沿x轴正方向，求带电粒子第一次经过x轴的位置到O点的 距离： (3)求带电粒子首次进入磁场时沿x方向的最大位移，以及该条件下在电场的运动时间和末速 度： (4)若带电粒子射入电场时速度Vo沿x轴正方向，设带电粒子第一次经过x轴的位置为C,从 此时开始计时，求带电粒子再次到达C点所需要的时间。 8. (2026广东深圳二模)霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为 一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁 场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为B,电场强度大小为E。电荷量为、质量 为m的电子恰好能够沿半径为R的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是() A.电场力对电子做正功 B.电子沿逆时针方向做圆周运动 C.电子做匀速圆周运动的线速度大小为B, mE D.轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为eRB, 9.(2026黑龙江齐齐哈尔二模)（多选）如图所示，空间中存在范围足够大的水平向右的匀 强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小E=40N/C,磁感应强度大小B=0.5T。 以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。原点O处的粒子源可发 射质量=3×106kg、电荷量g1×106C的带负电的粒子，粒子的发射速度大小和方向可调 整。第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动：第二次实验将匀强电场方向调 整为竖直向下，电场强度大小调整为=30N/C,发射的粒子速度大小调整为第一次实验发 射速度大小的50’ 且方向不变。取重力加速度g=10m/s2,不计粒子间的相互作用， sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是() B E ●●● A.第一次实验中，粒子发射速度大小为100m/s B.第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为37° C.第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为(19.2m,0) D.第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为(0，-14.4m) 10.(2026甘肃酒泉.二模)如图所示，在平面直角坐标系xOy的x<0区域内存在沿y轴负方向、 电场强度大小为E的匀强电场，在y<0区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带 正电的粒子从4点-2L,以沿x轴正方向、大小为v,的初速度射入电场，恰好经过坐标 3E 原点O进入第四象限。己知磁场的磁感应强度大小为4。 不计粒子重力。求： 个y A● -251 ● ● (1)粒子的比荷： (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离： (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的 时间。 第5讲　专题强化：带电粒子在复合场中的运动 题型一　带电粒子在组合场中的运动 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．基本规律 考向1先电场后磁场 1．先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 2．先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 【典例1】　（2026·四川绵阳·一模）如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，第三象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，求： (1)带电粒子的初速度大小； (2)在磁场中，所有带电粒子能到达离x轴的最远距离。 (3)若磁感应强度与y轴的关系为，那么所有粒子在磁场中，能到达离x轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设从坐标为处射入的粒子，在电场中做类平抛运动，则水平方向 竖直方向 加速度 联立解得 （2）粒子从点进入磁场时，水平速度 竖直速度 则速度方向与轴负向夹角为 带电粒子射入电场时，值越大，越大；从坐标射入的粒子，与轴夹角最大为，速度相同的粒子，夹角越大，到达的最低点离轴距离越大；夹角相同的粒子，速度越大，到达的最低点离轴距离越大；所以，从坐标射入的粒子能在磁场中到达最低点，粒子合速度为 轨迹半径 半径大小为到达离轴最大距离为 由以上公式联立可得 在点时， 夹角 则 最远距离 当时， （3）带电粒子在磁场中水平初速度为；到达最低点时，粒子的速度为水平方向，最大速 度为 带电粒子在水平方向受到洛伦兹力 在水平方向上由动量定理得 代入可得 即 代入数值可解得 【典例2】　（2026·湖南长沙·一模）如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在圆形区域做圆周运动，带电粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足 两式联立，解得带电粒子的比荷 （2）设带电粒子进入区域2的速度为，因粒子在区域1运动时竖直方向速度大小不变，故 根据动能定理有 解得每个区域的宽度 （3）设在区域14右边界，速度沿竖直方向且速度大小为，带电粒子由区域1到区域14，根据动能定理有 平行边界方向，根据动量定理有 整理得 解得 【典例3】　（2026·四川绵阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系平面内，绝缘等腰直角三角形框架底边中点位于原点，，、边上有关于轴对称的小孔、。三角形框架内有沿轴正方向的匀强电场，框架外至圆心在点、半径为的半圆形边界内有垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为、电量为、不计重力的带电粒子以初速度从点沿方向射入电场，经过小孔垂直于进入磁场区域，与绝缘框架碰撞后原速返回。调节匀强磁场磁感应强度为某些值时，粒子能绕过点回到出发点，此后重复做周期性运动。求： (1)粒子经过点时速度大小； (2)与两点间的电势差； (3)粒子运动周期最长时磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）题意可知方向与夹角为，可知 （2）粒子从到，根据动能定理有 联立解得 （3）因为， 根据几何关系可得 可得 则 根据三角形相似可得 则 联立解得 粒子能回到点并周期性运动，则粒子与边碰撞次数满足 不出磁场，则在点附近 因为不变，取值越小，粒子运动时间越短，综上，此时 因为 解得 考向2先磁场后电场 1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 【典例4】　（2026·河南三门峡·三模）（多选）如图所示，在平面直角坐标系第一、二象限的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限的区域内存在着匀强电场，电场方向与轴负方向成斜向下。位于坐标原点处的粒子源能在平面向第二象限内持续发射质量为、电荷量为的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角，且各个方向的速度大小与的关系为（式中为未知定值）。的粒子恰好通过坐标为的点，经过直线时距轴最远的粒子到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，，不计粒子重力，及粒子间的相互影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电荷 B． C．粒子运动到直线上时与轴的最远距离为 D．匀强电场的电场强度为 【答案】BD 【详解】A. 因沿y轴正向射出的粒子经过P点，则根据粒子在磁场中的偏转方向，结合左手定则可知，粒子带正电荷，A错误； B. 时，此时粒子恰好通过坐标为的点，可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为r0=L 根据 解得，B正确； C. 时，此时粒子做圆周运动的半径最大，粒子运动到直线上时与轴的距离最远，此时 解得 此时圆心恰好在x=L直线上，与轴的最远距离为，C错误； D. 粒子垂直于直线向右进入匀强电场，到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，则水平方向做匀减速运动，则到达x=2L时水平速度减为零，则 其中 解得匀强电场的电场强度为，D正确。 故选BD。 【典例5】　（2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的竖直距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 其中 解得 故粒子速度第一次为零时的坐标为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的总时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得， 解得 粒子从P点射入到第三次经过y轴的总时间 【典例6】　（2026·福建福州·二模）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N竖直固定，间距为d。M板接地，其左侧整个区域存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。M板上O点左侧P点有一粒子源，可不断地沿纸面内任意方向发射速度大小均相同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，带电粒子在板间的运动可视为匀变速运动，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。求： (1)粒子源发射粒子的速度大小； (2)粒子从P点出发，第1次到Q的可能时间； (3)粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）由几何关系得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期为 若垂直穿过M，则由图1知磁场中 则有 若如图2射入，则有， （3）随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向右的电场强度增加，粒子做减速运动加速度最大时，时间最短，此时满足 因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动如图所示 由几何关系可知此时粒子进入两板间时的速度方向与M板夹角为，则在两板间运动时间 则粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离为 解得 题型二　带电粒子在叠加场中的运动 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存或其中某两场共存。 2．洛伦兹力、重力并存 (1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 (2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。 3．静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) (1)若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。 (2)若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题。 4．静电力、洛伦兹力、重力并存 (1)若三力平衡，一定做匀速直线运动。 (2)若重力与静电力平衡，且速度与磁场垂直，一定做匀速圆周运动。 (3)若合力不为0且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 【典例7】　（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）如图，绝缘粗糙的竖直挡板MN固定在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，电场和磁场范围足够大。电场方向水平向左，电场强度大小为，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带电的小滑块从a点由静止开始沿MN下滑，到达b点时离开MN并立即撤走挡板MN，小滑块开始做曲线运动，a、b两点间距离为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小滑块带正电 B．小滑块从a点运动到b点过程中克服摩擦力做的功为 C．小滑块以后运动过程中最大速度为 D．小滑块从b点到第一次达到最大速度经历的时间为 【答案】ABD 【详解】A．由于带电的小滑块从点由静止开始沿下滑，电场力只能向左，否则在点就直接离开挡板MN，所以小滑块带正电，故A正确； B．小滑块从b点离开挡板MN时（Nb=0）得 从a到b的过程中 联立上式可得：，故B正确； C．对于小滑块在电场、磁场和重力场中做曲线运动的轨迹为摆线，方法为配速法：即配出洛伦兹力去平衡电场力和重力的合力 对应的速度为 做匀速直线运动，则滑块的速度为和合速度 做匀速圆周运动，当匀速圆周运动速度和同向时小滑块速度最大为 故C错误； D．小滑块以速度做匀速圆周运动 联立得周期为 小滑块从b点到第一次达到最大速度，速度偏转角为，所以经历时间为，故D正确； 故选ABD。 【典例8】　（2025·广东汕头·模拟预测）如图所示，水平向左的匀强电场的场强E=4V/m，垂直纸面向内的匀强磁场的B=2T，质量为m=1kg的带电物块A从竖直绝缘墙上的M点由静止开始下滑，滑行h=0.8m到达N点时离开墙面开始做曲线运动，在到达P点开始做匀速直线运动，此时速度斜向下与水平方向成45°角，P点离开M点的竖直高度为H=1.6m，取g=10m/s2，求： (1)物块A的电性和电量大小； (2)A沿墙下滑克服摩擦力做的功Wf； (3)P点与M点的水平距离xp。 【答案】(1)正电，2.5C (2)6J (3)0.6m 【详解】（1）在P点，对A受力分析，如图所示，可知粒子带正电，由 解得q=2.5C （2）在N点，对A受力分析，如图所示，水平方向有 解得vN =2m/s A由M到N，由动能定理有 解得 （3）在P点，根据受力分析有 解得m/s 粒子由N运动到P过程中，由动能定理有 解得xp=0.6m 【典例9】　（2026·广西·模拟预测）如图所示平面直角坐标系中，轴沿竖直方向，轴左侧的区域内，存在沿轴正向的匀强电场和垂直坐标平面的匀强磁场（未画出），轴右侧的区域内有与轴负方向成角，场强为的匀强电场，的区域有与轴正方向成，场强为的匀强电场。一质量为，电荷量为的带电微粒以速度沿轴正向进入电磁场中，在轴左侧区域做匀速圆周运动，微粒从原点进入轴右侧后，在的区域内做直线运动，且速度恰好垂直方向，已知，重力加速度，求： (1)轴左侧电场的大小及磁场的大小和方向； (2)微粒刚进入区域时的速度大小； (3)微粒再次经过轴时的横坐标。 【答案】(1)，方向垂直坐标平面向内 (2) (3) 【详解】（1）微粒在的空间内做匀速圆周运动，可知微粒受到的电场力和重力平衡，有 解得 粒子带正电，则磁场方向垂直纸面向内，由洛伦兹力提供向心力，则 由几何关系可知 解得，方向垂直坐标平面向内 （2）微粒进入的空间内后，做直线运动，则合力必定与速度在一条直线上，微粒受力如图，则有 解得 由题意可知，粒子在的空间内运动的距离 设微粒刚进入区间时速度，有 解得 （3）微粒刚进入区间时速度恰好沿方向，受力如图，微粒做类平抛运动，则合力 解得 微粒运动轨迹如图所示，设沿方向位移为，沿方向位移为由几何关系可知 化简得 由类平抛规律， 联立解得， 故微粒再次经过x轴时的横坐标为 题型三　带电粒子在交变场中的运动 1．交变电、磁场的常见类型 2．带电粒子在交变电、磁场中运动的处理方法 (1)弄清复合场的组成特点及场的变化情况。 (2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。 (3)画出粒子的运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。 【典例10】　（2026·湖北恩施·二模）如甲图所示，三维直角坐标系所在的整个空间存在竖直方向的匀强磁场，其磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示（磁场方向取竖直向上为正）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以速度v沿y轴正方向射入磁场。图乙中B已知，。 (1)若粒子重力可忽略不计，试求粒子在内做圆周运动的轨迹半径； (2)若粒子重力可忽略不计，试求时刻粒子的位置坐标； (3)若粒子重力不可忽略，试求粒子出发后经过z轴时的位置坐标（重力加速度为g）。 【答案】(1) (2)（，0，0） (3)或 【详解】（1）洛伦兹力提供向心力，内磁感应强度大小为 洛伦兹力不做功，粒子速度大小仍为，则： 代入 解得： （2）0∼2T内，磁感应强度，粒子做圆周运动的周期为： 即时间刚好为一个完整周期，粒子转一周后回到原点，速度方向仍沿正方向。 内，磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的周期为： 时间刚好为半个周期；带正电粒子速度沿正方向，磁场向下，洛伦兹力沿负方向，半个周期后粒子位移为沿负方向，方向位移为0，粒子始终在平面运动， 代入 得 因此时刻坐标为： （3）    z轴的坐标满足，重力沿轴负方向，粒子运动可分解：平面仍为原圆周运动，方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度，因此 根据平面运动规律，可得粒子经过轴（）的时刻满足：和（k=1,2,3⋯） 代入 得坐标：当时， 当时， 因此经过z轴的位置坐标为： 或 【典例11】　（2026·湖南常德·一模）如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力不计），以初速度从金属板左端中心线沿方向进入，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在时刻粒子第一次经过x轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的倍，磁场取垂直纸面向里为正方向，乙图中，T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用、d和常量表示。 (1)求粒子在P点的速度大小v； (2)若粒子在时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽度s； (3)若磁场宽度s不确定，但粒子出右边界时速度都是沿方向，求粒子在磁场中运动时间t的可能值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设P点速度与水平方向夹角为，将P点速度反向延长，有 得 可得 （2）若粒子在时刻恰到磁场右边界，在磁场中 将代入得 则圆心恰在x轴上，宽度 （3）第一次经过x轴时速度方向沿方向，时间 之后每经过速度方向均沿方向，故 【典例12】　如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的场强大小为，交变磁场的磁感应强度大小为，取x轴正方向为电场的正方向，取垂直纸面向外为磁场的正方向。在时刻，将一质量为m，带电量为q，重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放，粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上且恰好能被位于x轴上的粒子收集器接收。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)若粒子经过三次加速并在第三次偏转过程中被粒子收集器接收，此时粒子收集器距坐标原点O的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子第一次在电场中运动的时间 根据牛顿第二定律有 根据速度公式有 解得 粒子第一次进入磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 （2）粒子经过3次加速与偏转后垂直打在x轴上于O点的距离如图所示 粒子圆周运动的周期 结合上述解得， 可知，粒子第一次进入磁场后在磁场中运动半个周期。粒子第一次在电场中加速的位移 结合上述解得 粒子第2次进入电场加速的速度 粒子第2次在电场中加速的位移 粒子第2次进入磁场后，在磁场中也运动半个周期，粒子第2次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次在电场中加速后的速度 粒子第3次在电场中加速的位移 粒子第3次出磁场时与y轴的距离 粒子第3次出磁场时，在磁场中圆周运动的轨道半径 所以粒子经过3次加速并在第3次偏转过程中被粒子收集器接收，接收器与坐标原点O的距离 结合上述解得 1. （2026·四川·模拟预测）（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为，且，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：（     ） A．粒子第一次经过N点的速度大小为 B．粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量 C．电场强度E的大小 D．粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔为 【答案】CD 【详解】A．粒子在第四象限的匀强电场中做类平抛运动，设粒子从点运动到点的时间为，根据运动学公式分别有， 其中为粒子在点沿轴正方向的分速度，根据几何关系有 联立解得 代入解得 粒子第一次经过点的速度大小为 解得 由此可知粒子第一次经过点的速度大小与选项不符，故A错误； B．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经点再次进入电场，根据运动的对称性可知，粒子在点的速度大小为，方向与轴正方向成斜向下，即速度的轴分量为，轴分量为。粒子从点运动到点的过程中，在轴方向和轴方向的动量变化量分别有， 根据动量定理可知，洛伦兹力的冲量大小等于动量变化量的大小，即 解得 由此可知洛伦兹力的冲量大小与选项不符，故B错误； C．由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的弦长为，弦与进入磁场时速度方向的夹角为，根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 联立解得 在匀强电场中，根据牛顿第二定律和运动学公式分别有，， 联立解得 由此可知电场强度的大小与选项相符，故C正确； D．粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，所以在磁场中单次运动的时间为 根据周期公式有 联立解得 粒子从点再次进入电场后，在轴方向做匀速直线运动，在轴方向做先减速后反向加速的匀变速直线运动，设粒子再次回到轴上经历的时间为，根据运动学公式有 解得 由前面的分析可知 联立解得 粒子在电场中经过时间后，沿轴方向的位移为 代入数据解得 即粒子在处从电场进入磁场，此时速度大小和方向与在点第一次进入磁场时完全相同。粒子在磁场中再次做圆周运动，经过时间后，沿轴负方向前进，恰好再次回到点。由此可知，粒子连续两次通过点的时间间隔为 解得 同理连续两次通过轴上其他同一点（如处）的时间间隔均为该值，可知与选项相符，故D正确。 故选CD。 2. （2026·四川成都·模拟预测）（多选）圆心为、半径为的圆形区域内存在磁感应强度为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场边缘上的点沿纸面向圆形区域各个方向均匀发射速度大小为的带电粒子。圆的右边为边长是的正方形，刚好与圆相切于点，切点为的中点，其区域内存在水平向左的匀强电场。当粒子沿方向射入时，粒子刚好从点离开磁场，进入电场后又恰好从右边界的中点返回。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．粒子的比荷为 B．粒子从点进入磁场到最终离开磁场的运动过程中的总时间与入射方向无关 C．若将电场方向变为竖直向下，则从电场边界与射出的粒子数之比为 D．若将电场方向变为竖直向下，且粒子要全部从边界射出，则电场强度大小至少为原来的5倍 【答案】AC 【详解】A．根据题意，做出粒子在圆形磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中的轨迹半径为R，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力充当向心力有 则可得粒子的比荷为，故A错误； B．粒子从A点进入磁场到从B点进入电场后再从电场回到B点时，因电场力做功为零，因此再次进入磁场时的速度大小不变，粒子在电场中运动的时间也不变，再次进入磁场做圆周运动的轨迹半径不变，到最终离开磁场的运动过程中，其运动轨迹如图所示 在磁场中运动的总时间 而粒子无论从A点向哪个方向射入磁场，到最终离开磁场时在磁场中偏转的总角度θ=π，因此，粒子在磁场中运动的总时间与入射方向无关，均为 ，但是粒子的入射方向不同时粒子在电场和磁场中间的缝隙中运动的距离不同，则运动时间不同，则总时间不相同，故B错误； C．在A点的粒子源向磁场中的各个方向发射速度大小均为v0的带电粒子，由于粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径与磁场的半径相同，因此所有粒子离开圆形磁场时将平行于电场方向进入电场，根据沿AO方向射入的粒子进入从MN中点B进入电场后，刚好到达边界QP并返回，则由动能定理有 解得电场力 根据牛顿第二定律可得粒子在电场中运动时的加速度大小为 而若将电场E的方向改为竖直向下，则粒子在进入电场后将做类平抛运动，而粒子恰好打到Q处时，则有，2R=v0t 联立解得 由于能进入电场的粒子的总高度为为2R，则可知高度小于的粒子范围均从NQ射出，高度大于而又小于2R范围内的粒子均从PQ射出，分别做出从高度2R、R处进入电场的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，从高度处进入电场的粒子在磁场中A点入射速度方向与水平方向的夹角为60°，则从电场边界QP与NQ射出的粒子数之比为 ，故C正确； D．电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则进入电场范围高度为2R的粒子恰好打在Q处，根据类平抛运动的规律有，2R=v0t 联立解得 由此可得 因此可知，若电场E竖直向下，且粒子要全部从NQ边界射出，则场强大小至少为原来的4倍，故D错误。 故选AC。 3. （2026·江西·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的粒子以速度v0从A（-L，0）点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出）垂直x轴回到第二象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)A、C两点间的距离d； (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系，有 解得 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （2）粒子在电场中沿电场方向有 沿轴方向有 根据牛顿第二定律，有 速度为 联立解得，， （3）A、C两点间的距离 解得。 （4）根据位移关系，有 粒子从A点运动到C点的时间 解得 4. （2026·山西太原·一模）如图所示，以点为圆心、半径为的圆形区域内存在竖直向下的匀强电场；水平直线边界上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。为圆与边界的切点，为圆的最高点，、为圆上与圆心等高的两点。从点右侧某区域垂直于发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射入电场区域，离子的比荷为，不计离子重力及离子间的相互作用力，求： (1)离子的电性； (2)若从点射入电场的离子恰好可从点射出电场，则匀强电场的电场强度的大小为多少； (3)若将水平直线上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整上方磁场磁感应强度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距点右侧处发射的离子可依次经过点与点，则离子在上方区域运动的总时间为多少。 【答案】(1)离子带负电 (2) (3) 【详解】（1）由题意，所有离子在磁场中均向左偏转，进入磁场时所受洛伦兹力向左，由左手定则可知离子带负电； （2）离子从边界进入磁场到点做匀速圆周运动，根据几何条件，离子在磁场中的轨迹半径为，如图所示 由洛伦兹力提供向心力 离子从点到点做类平抛运动 平行电场方向 垂直电场方向 联立解得， 最终解得电场强度 （3）离子从距点右侧处射入磁场，做匀速圆周运动，半径为，如图所示 根据几何关系有， 根据三角函数关系有 解得 离子做匀速圆周运动周期为，运动时间为，洛伦兹力提供向心力，有 解得 周期 运动时间 离子从点进入电场到点做类平抛运动，运动时间为，与的夹角 垂直于电场方向 沿电场方向 根据动能定理有 从点离开电场的速度大小为，方向与夹角为，速度满足 解得，， 离子从点离开电场进入直线上方磁场做匀速圆周运动，运动半径为，周期为，运动时间为，根据几何条件得 周期 时间 解得 离子从点返回电场到点做类斜抛运动，运动时间为，从点垂直电场离开，据运动的对称性 离子第二次离开电场，从点到边界做匀速圆周运动，用时，据运动的对称性 总时间 解得 5. （24-25高二下·广西柳州·期中）如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）微粒平行于轴正方向射入电场区域，在电场中从到的过程做类平抛运动，其在轴方向上做的是匀速直线运动，则有 解得微粒从到的运动时间为 微粒在轴方向做从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则有 解得 由牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）设微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为，沿轴方向的速度为，则有， 联立解得 则有 所以微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为。 （3）根据题意，画出微粒的运动轨迹，如图所示： 微粒进入磁场时的速度为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度的大小为 微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动从P到Q转过的圆心角为，则微粒在磁场中从P到Q的运动时间为 所以微粒从运动到的时间为 6. （2026·山东·三模）如图所示，以O为坐标原点，建立坐标系。区域存在沿轴正方向的匀强电场（大小未知），在、、区域内存在一边长为的正立方体区域，其中、、分别位于、、轴上，该区域内存在沿轴正方向的匀强电场（大小可调）以及沿轴正方向的匀强磁场（大小可调）。一带电粒子由坐标为（-L，0，0）的点静止释放，粒子经电场加速后到达点速度大小为，此后进入正立方体区域。已知该粒子的质量为、电量为（），不计粒子重力和场的边界效应。 (1)求电场强度的大小； (2)若、，求粒子离开正立方体区域的坐标； (3)若、，求粒子第二次离开正立方体区域的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）a→O带电粒子做匀加速直线运动，由动能定理得 解得 （2）在正立方体区域，带电粒子沿z轴正方向做匀加速直线运动，在xOy平面内做匀速圆周运动 解得 假定粒子先到达bcgf平面，而没有达到efgh平面，由几何关系得圆周运动的圆心角 粒子运动时间 在轴方向 解得 该假定成立，根据几何关系可知 故粒子离开立方体区域的坐标为 （3）在正立方体区域，带电粒子沿轴正方向做匀加速直线运动，在 xOy平面内做匀速圆周运动 解得 假定粒子先到达Odhe平面，而没有达到efgh平面，由几何关系得圆周运动的圆心角 粒子运动时间 在轴方向， 解得， 该假定成立。故粒子第一次由Odhe平面离开立方体区域，再次进入区域，粒子在 方向做类竖直上抛运动，在方向做匀速直线运动，粒子在该区域运动时间 粒子在该区域沿轴正方向运动位移 联立方程解得 此后粒子再次进入正立方体区域。假定粒子仍旧先到达Odhe平面，而没有达到efgh平面，由几何关系得圆周运动的圆心角 粒子运动时间 在轴方向 解得 所以 该假定成立。根据几何关系可知，第二次离开立方体区域时 故粒子第二次离开立方体区域的坐标为 。 7. （2026·湖南·模拟预测）如图所示，在一直角坐标系的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，在的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。在点处有一个粒子源，向第一象限内各方向发射电量大小、质量、速度的带负电粒子，不计粒子重力和空气阻力。 (1)求带电粒子在电场中的加速度大小； (2)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，求带电粒子第一次经过x轴的位置到O点的距离； (3)求带电粒子首次进入磁场时沿x方向的最大位移，以及该条件下在电场的运动时间和末速度； (4)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，设带电粒子第一次经过x轴的位置为C，从此时开始计时，求带电粒子再次到达C点所需要的时间。 【答案】(1) (2) (3)；，，方向与x轴正方向夹角为，斜向右下 (4) 【详解】（1）在电场中，由牛顿第二定律可得 解得粒子在电场中的加速度大小为 （2）带电粒子做类平抛运动，则有， 代入数据解得 （3）可将粒子的类斜抛运动分解为沿方向的匀速直线运动与沿y轴负方向的匀加速直线运动，如图1所示 设粒子运动到x轴时水平位移为x，则有 化简得 该方程一定有解，则判别式 即 可求得 即沿x方向的最大位移为 此时 射入粒子的时候粒子速度方向与x轴正方向之间夹角设为，则有即 则粒子的速度大小为 （4）设粒子第一次从C点经过x轴，速度v与x轴夹角为，则有 解得 则 即 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 由图示几何关系可知在磁场中沿x轴负方向的位移为 故带电粒子能经过坐标原点，且经过时与x轴正方向夹角为 在电场中，则有 解得 则， 因此 可知在磁场中运动3次，电场中运动2次刚好经过C点在磁场中粒子运动时间为，， 【点睛】 8. （2026·广东深圳·二模）霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为，电场强度大小为。电荷量为、质量为的电子恰好能够沿半径为的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（     ） A．电场力对电子做正功 B．电子沿逆时针方向做圆周运动 C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为 D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．因电场力垂直圆环平面向外，电子在圆环平面内做圆周运动，电场力对电子不做功，故A错误； B．电子由于带负电，故所受电场力垂直圆环平面向外，与辐射状磁场对粒子的洛伦兹力平衡，电子受垂直圆环平面向里的匀强磁场的洛伦兹力方向指向圆心O，根据左手定则可知，电子在圆环内沿顺时针方向运动，故B错误； CD．电子在圆环内受到磁场Ⅱ的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力 解得： 电子在垂直环平面方向受力平衡 解得：，故C错误，D正确。 故选D。 9. （2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）如图所示，空间中存在范围足够大的水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，电场强度大小E=40 N/C，磁感应强度大小B=0.5 T。以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。原点O处的粒子源可发射质量m=3×10-6 kg、电荷量q=1×10-6 C的带负电的粒子，粒子的发射速度大小和方向可调整。第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动；第二次实验将匀强电场方向调整为竖直向下，电场强度大小调整为E'=30 N/C，发射的粒子速度大小调整为第一次实验发射速度大小的，且方向不变。取重力加速度g=10 m/s2，不计粒子间的相互作用，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（    ） A．第一次实验中，粒子发射速度大小为100 m/s B．第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为37° C．第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为（19.2 m，0） D．第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为（0，-14.4 m） 【答案】AC 【详解】A．第一次实验发射的粒子恰能在xOy平面内做直线运动；粒子所受重力、电场力与洛伦兹力的合力为零，如图 重力大小为 电场力大小为 则洛伦兹力大小为 由，解得第一次实验中，粒子发射速度大小为，故A正确； B．由左手定则可知粒子运动方向如图 则 解得 第一次实验中，粒子发射速度方向与x轴夹角为，故B错误； CD．第二次实验发射速度大小 粒子所受电场力大小为 方向沿y轴正方向，则电场力与重力大小相等，方向相反。粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，如图 由，解得 由几何知识可得， 所以第二次实验中，粒子发射后第一次经过x轴的坐标为（19.2 m，0），第二次实验中，粒子发射后第一次经过y轴的坐标为（0，14.4 m），故C正确，D错误。 故选AC。 10. （2026·甘肃酒泉·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E的匀强电场，在区域内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场。带正电的粒子从A点以沿x轴正方向、大小为的初速度射入电场，恰好经过坐标原点O进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离； (3)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度大小及从A点到第一次获得最大速度时经历的时间。 【答案】(1) (2)16l (3)， 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向，则有 沿y轴方向，则有 根据牛顿第二定律 得 联立解得 （2）粒子在O点的速度大小为 其中 速度方向与x轴正方向的夹角正切值 解得， 粒子在第四象限运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 第二次经过y轴时的位置到坐标原点O的距离 解得 （3）粒子以速度v射入第三象限，根据对称性可知射入第三象限时速度方向与方向的夹角也为，粒子在叠加场中做曲线运动，轨迹为旋轮线。将进入第三象限的初速度v分解为和，粒子以做匀速直线运动，以做匀速圆周运动，如图所示 应用配速法洛伦兹力与电场力平衡，则有 解得 由几何关系可知 方向与方向夹角也为 当两个分运动的速度方向相同时，粒子的合速度最大，则有 粒子在磁场中做圆周运动的周期 解得 说明周期与速度大小无关，粒子在第四象限运动的时间 粒子从进入第三象限到第一次速度最大经历的时间 粒子从A点到第一次获得最大速度时经历的时间 联立解得 学科网（北京）股份有限公司 $