第九章 统计 期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新教材必修二第九章《统计》高一期末复习 一、简单随机抽样 1.简单随机抽样有如下四个特征： 2.常用方法：①抽签法；②随机数法． 例1.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样和分层抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D．大小不确定 【举一反三1】用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________、________、________. 【举一反三2】一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的简单随机样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________． 例2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 第1行　78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98 第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81 【举一反三】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 二、分层随机抽样 1.分层随机抽样的实施步骤：. 2．分层随机抽样适用于 的情形。 3．在比例分配的分层抽样中需注意：抽样比＝ . 4.分层随机抽样样本平均数：在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，＋＝＋＝. 5.分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为______________． 例3.（多选）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．男生样本量为30 B．每个女生入样的概率均为 C．所有样本的均值为165cm D．所有样本的方差为 三、获取数据的途径 例4：研究下列问题：①某市今年“八一”前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③“四川新闻联播”的收视率；④近年来我国大学生入学人数的相关数据．其中，通过试验获取数据的是__________．（填写问题对应的序号） 四、总体取值规律的估计 1.频率分布直方图 1．1绘制频率分布直方图的步骤： 1.2频率分布直方图的性质： 熟记结论:(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应 ，所有小长方形的面积的和等于1；(2)×组距＝频率； (3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数 易错防范:频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率. 例5：某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（　　） A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大 【举一反三5】在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有　　 ①的值为0.300 ②不及格的考生数为500 ③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替） ④考生竞赛成绩的中位数约为75分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.统计图表数据分析问题 例6（扇形、条形图）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 【举一反三1】（饼状图）(多选）某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是　　 A.产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多； B.产业结构调整后科技研发的收入增幅最大； C.产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低； D.产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入． 【举一反三2】（折线、扇形、条形图）(多选)某保险公司为客户定制了5个健康险种：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是(　　) A．18～29周岁人群的人均参保费用最少 B．30周岁以上人群占参保人群的70% C．51周岁以上人群的参保人数最少 D．丁险种更受参保人青睐 【举一反三3】（多选）在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.右图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是 （ ） A.甲、乙的五项能力指标的均值相同　　　 B.甲、乙的五项能力指标的方差相同 C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力 D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力 五.总体百分位数的估计 百分位数： 1.一组数据的第p百分位数是这样一个值， 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤： 3.四分位数： 例7．若数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是　　　　　.  六、 总体集中趋势的估计 1．众数、中位数、平均数的理解 (1)众数： （2）中位数： 例8.若有一个企业，70%的员工年收入1万元，25%的员工年收入3万元，5%的员工年收入11万元，则该企业员工的年收入的平均数是________万元，中位数是________万元，众数是________万元． 2.总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称______=_____为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了__________． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称_______=______． 众数、中位数、平均数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． 3．用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取 作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为 与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中 例9.（多选）某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ） A. 样本中分数落在的频数为60人　　B. 样本的众数为75分 C. 样本的平均数为73.5分　　D. 样本的80百分位数为85分 【举一反三1】某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？ （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当=3时，估计该市居民该月的人均水费． 【举一反三2】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图： （II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 4.总体离散程度的估计 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称__________为总体方差，_________为总体标准差． （2） 总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为____________． (3)方差(标准差)的意义 标准差刻画了数据的________或_________，标准差越大，数据的离散程度越________；标准差越小，数据的离散程度越____________． (2)标准差、方差的取值范围：_________ ． 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3标准差的单位与样本数据一致． (4)二级结论:如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为 . 例10：已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，， 的均值为 ． 【举一反三1】已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝(x＋x＋x＋x－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为________． 【举一反三2】数据a、b、c的方差为1，对，的最小值为________． 【举一反三3】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：. 七、用统计知识进行决策 例11：某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若=19，求y与x的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值； （III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【举一反三1】2025年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照，，，分成4组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计这100名果农苹果销售量的平均数； （2）根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到0.1）； （3）假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润． 八、统计中的逻辑推理 例12.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　) A．甲地：总体均值为3，中位数为4确 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 【举一反三1】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 【举一反三2】为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 【举一反三3】(多选)甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（    ） A．众数可能为 B．中位数可能为 C．一定不会出现 D．出现的次数不会超过两次 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材必修二第九章《统计》高一期末复习 一、简单随机抽样 1.简单随机抽样有如下四个特征： 2.常用方法：①抽签法；②随机数法． 例1.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样和分层抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】A 【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样和分层抽样两种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是，故，故选A． 【举一反三1】（1）用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________、________、________. 【答案】　　 【解析】从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为. 【举一反三】（2）一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的简单随机样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________． 【答案】. 【解析】因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的概率都相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为. 例2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 第1行　78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98 第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81 【答案】25. 【解析】由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25,因此,选出的第5个个体的编号为25 【举一反三2】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】B 【解析】依题意，这批米内夹谷为（石）． 二、分层随机抽样 1.分层随机抽样的实施步骤：. 2．分层随机抽样适用于 的情形。答:总体中个体之间差异较大 3．在比例分配的分层抽样中需注意：抽样比＝ .答: 4.分层随机抽样样本平均数：在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，＋＝＋＝. 5.分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为______________． 答: 例3.（多选）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（    ） A．男生样本量为30 B．每个女生入样的概率均为 C．所有样本的均值为165cm D．所有样本的方差为 【答案】AD 【解析】对于A：抽样比为，所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人，所有的样本均值为：，故选项C不正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，，女生分别为，，，，平均数，， 总体的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D正确； 故选：AD 三、获取数据的途径 例4：研究下列问题：①某市今年“八一”前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③“四川新闻联播”的收视率；④近年来我国大学生入学人数的相关数据．其中，通过试验获取数据的是__________．（填写问题对应的序号） 【答案】② 【解析】①通过观察获取数据，③通过调查获取数据，④通过查询获得数据，只有②通过试验获取数据．故答案为：②. 四、总体取值规律的估计 1.频率分布直方图 1．1绘制频率分布直方图的步骤： 1.2频率分布直方图的性质： 熟记结论:(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应 ，所有小长方形的面积的和等于1；答：各组的频率 (2)×组距＝频率； (3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数 易错防范:频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率. 例5：某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（　　） A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化 B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高 C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了 D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大 【答案】D 【解析】由频率分布直方图得： 在A中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A正确； 在B中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B正确； 在C中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C正确； 在D中，新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D错误． 故选：D． 【举一反三5】在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有　　 ①的值为0.300 ②不及格的考生数为500 ③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替） ④考生竞赛成绩的中位数约为75分 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由频率分布直方图可得： ，故①错误； 不及格的考生数为：，故②正确； 平均分为：，故③正确； 设中位数为，则， 解得，故④错误． 故选：． 2.统计图表数据分析问题 例6（扇形、条形图）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 【答案】A 【解析】所抽人数为，近视人数分别为小学生，初中生，高中生，∴抽取的高中生近视人数为．选A． 【举一反三1】（饼状图）(多选）某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是　　 A.产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多； B.产业结构调整后科技研发的收入增幅最大； C.产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低； D.产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入． 【答案】ABD 【解析】设产业结构调整前的经济收入为，则调整后的经济收入为． 由饼图知调整前纺织服装收入为，节能环保收入为， 食品加工收入为，科技研发收入为， 调整后的纺织服装收入为，节能环保收入为， 食品加工收入为，科技研发收入为． 由以上数据得产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多，故选项A正确； 产业结构调整后科技研发的收入增幅最大，故选项B正确； 产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所升高，故选项C错误； 产业结构调整后食品加工收入是调整前纺织服装收入的倍，故选项D正确． 故选：AB． 【举一反三2】（折线、扇形、条形图）(多选)某保险公司为客户定制了5个健康险种：甲，一年期短险；乙，长期医疗保险；丙，e生保；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．险种推出一定时间后，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，经数据处理得出统计图如图： 若用该样本估计总体，则以下四个选项正确的是(　　) A．18～29周岁人群的人均参保费用最少 B．30周岁以上人群占参保人群的70% C．51周岁以上人群的参保人数最少 D．丁险种更受参保人青睐 【答案】　ACD 【解析】　A选项中，参保费用问题，由不同年龄人均参保费用图可知，18～29周岁人群的人均参保费用最少，即A正确；B，C选项中，参保人数问题，由参保人数比例图可知，30周岁以上人群占参保人群的79%,51周岁以上人群的参保人数最少，即B错误，C正确；D选项中，由参保险种比例图可知，丁险种参保比例最高，即丁险种更受参保人青睐，即D正确． 【举一反三3】（多选）在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.右图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是 （ ） A.甲、乙的五项能力指标的均值相同　　　 B.甲、乙的五项能力指标的方差相同 C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力 D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力 【答案】AB 【解析】 甲的五项能力指标为6，5，4，5，4，平均值为； 乙的五项能力指标为6，4，5，4，5，平均值为，则A正确； 由于均值相同，各项指标数也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，则B正确； 从控制力，决断力.前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，则C不正确； 从影响力，控制力、感召力考虑，甲.乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，则D不正确.故选AB 五.总体百分位数的估计 百分位数： 1.一组数据的第p百分位数是这样一个值， 答：它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤： 3.四分位数： 例7．若数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是　　　　　.  【答案】[4.5,+∞) 【解析】因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5, 所以应该有5个数据不大于4.5,则x≥4.5. 六、 总体集中趋势的估计 1．众数、中位数、平均数的理解 (1)众数： （2）中位数： 例8.若有一个企业，70%的员工年收入1万元，25%的员工年收入3万元，5%的员工年收入11万元，则该企业员工的年收入的平均数是________万元，中位数是________万元，众数是________万元． 【答案】2　1　1 【解析】年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万元)．因为70%的员工年收入1万元，其他的只占30%，所以年收入的中位数、众数都为1万元． 2.总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称______=_____为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了__________． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称_______=______． 答： 众数、中位数、平均数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势． 3．用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取 作为众数．答：最高小长方形底边中点的横坐标 (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为 与x轴交点的横坐标称为中位数．答：左右两个面积相等的部分的分界线 (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中 答：每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 例9.（多选）某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ） A. 样本中分数落在的频数为60人　　B. 样本的众数为75分 C. 样本的平均数为73.5分　　D. 样本的80百分位数为85分 【答案】BC 【解析】由直方图，的频率为， 所以分数落在的频数为人，A错； 而的频率为，为各组最大，故样本的众数为75分，B对； 样本平均数为，C对； 由， 所以80百分位数在，设为，则，可得分，D错.故选：BC 【举一反三1】某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？ （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当=3时，估计该市居民该月的人均水费． 【解析】（I）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，． 所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%． 依题意，至少定为． （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： （元）． 【举一反三2】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图： （II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【解析】（I） （II）质量指标值的样本平均数为 80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08 =100. 质量指标值的样本方差为 =104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104． （III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定． 4.总体离散程度的估计 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称__________为总体方差，_________为总体标准差． 答: （2） 总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为____________． 答: (3)方差(标准差)的意义 标准差刻画了数据的________或_________，标准差越大，数据的离散程度越________；标准差越小，数据的离散程度越____________． 答: 离散程度 波动幅度 大 小 (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． (3标准差的单位与样本数据一致． (4)二级结论:如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为s2a2. 例10：已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，， 的均值为 ． 【答案】11 【解析】由得 ． 【举一反三1】已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝(x＋x＋x＋x－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为________． 【答案】4 【解析】设正数x1，x2，x3，x4的平均数为，则s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2]，得s2＝(x＋x＋x＋x)－2，又已知s2＝(x＋x＋x＋x－16)＝(x＋x＋x＋x)－4，所以2＝4，所以＝2，故[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝＋2＝4. 【举一反三2】数据a、b、c的方差为1，对，的最小值为________． 【答案】3 【解析】设，依题意，， 而， 当且仅当时，取最小值为3. 【举一反三3】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：. 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为. 产值负增长的企业频率为. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. （2）， ， ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%. 七、用统计知识进行决策 例11：某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若=19，求y与x的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值； （III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【解析】（Ⅰ）当时，； 当时，，所以与的函数解析式为. （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故的最小值为19. （Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【举一反三1】2025年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得当地果农积压的许多苹果有了销路．为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据按照，，，分成4组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计这100名果农苹果销售量的平均数； （2）根据题中的频率分布直方图，估计销售量样本数据的80%分位数（结果精确到0.1）； （3）假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润． 【答案】（1）平均数为1.4万千克；（2）156.7；（3）62万元. 【解析】（1）设这100名果农苹果销售量的平均数为百千克， 则， 故这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克． （2）因为，， 所以80%分位数在第4组内，且80%分位数为． （3）销售量在的每位果农的利润为万元；销售量在的每位果农的利润为 万元； 销售量在的每位果农的利润为 万元； 销售量在的每位果农的利润为 万元． 因为，，，这4组的人数分别为5，20，45，30， 所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为万元． 八、统计中的逻辑推理 例12.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　) A．甲地：总体均值为3，中位数为4确 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D 【解析】根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D. 【举一反三1】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 【答案】B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，，60，63，l的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B． 【举一反三2】为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 【答案】10 【解析】设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得 ，，显然各个括号为整数。设分别为，， 则． 设= =，因为数据互不相同，分析的构成，得恒成立，因此判别式，得，所以，即。 【举一反三3】(多选)甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（    ） A．众数可能为 B．中位数可能为 C．一定不会出现 D．出现的次数不会超过两次 【答案】ACD 【解析】，众数为，平均数为，方差，A对． 若中位数为，设五次数据为， 即，，，，矛盾，B错． 若出现了，则其它四次和为，即数据为，矛盾，C对． 若出现次，则其它2次和为4，这2次为， ，D对． 故选：ACD 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $