2.2.4 均值不等式及其应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦均值不等式及其应用，通过“是否有类似乘法公式的重要不等式”设问导入，衔接乘法公式旧知，以矩形周长与面积的正方形边长比较为支架，引导学生从算术与几何平均值定义出发探究数量关系。 其亮点在于结合几何直观（矩形、半圆模型）和逻辑推理（作差法证明），培养数学眼光与思维。例3矩形周长面积最值问题联系实际，体现数学语言应用，课堂练习分层设计，助力学生深化理解，教师可高效突破重难点教学。

人教B版(2019)必修第一册 2.2.4 均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式 1 学习目标 掌握均值不等式，体现数学抽象能力（重点） 掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题，体现逻辑推理能力（重点） 掌握均值不等式的实际应用，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢?下面就来研究这个问题. 3 新课学习 算术平均值与几何平均值的定义 给定两个正数 a，b，数 称为 a，b 的算术平均值； 实质：两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标. 数 称为a，b的几何平均值． 注：a，b，c的算术平均数为 ，几何平均数为 4 新课学习 尝试与发现：(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； 矩形周长：C=2(a+b)；与矩形周长相等的正方形的边长： 矩形面积：S=ab；与矩形面积相等的正方形的边长： 5 新课学习 (2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义． a 1 2 4 6 8 10 b 1 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 1 6 新课学习 (2)如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据(1)说出结论的几何意义． 结论：算术平均值等于几何平均值或算术平均值大于几何平均值. 7 新课学习 均值不等式 如果a，b都是正数，那么 当且仅当a＝b时，等号成立． 8 新课学习 对于均值不等式的证明： 因为a，b都是正数，所以 即 而且，等号成立时，当且仅当　　　　　　　，即a=b． 值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如 一定是正确的. 9 新课学习 思考一下：均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 将均值不等式两边平方可得 ≥ab． 如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积， 因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． 10 新课学习 想一想：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 周长相等的三角形中，正三角形的面积最大. 平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大. 11 新课学习 探索与研究 如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义. 在Rt△ABD 中，由于 DC⊥AB，利用射影定理可得 12 新课学习 因为x>0，所以根据均值不等式有 因此x=1时，y取得最小值2. 13 新课学习 根据均值不等式，得 14 新课学习 例3：(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. 15 新课学习 (1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100. 因为x>0，y>0，所以 所以2(x+y)≥40. 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. 16 新课学习 (2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x+y)=36，即x+y=18. 因为x>0，y>0，所以 因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81． 17 新课学习 思考一下：根据例3中的答案，你可以得到什么结论？ 当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 18 新课学习 例4：已知x∈(-1,3)，求y=(1+x)(3-x)的最大值，以及y取得最大值时x的值. 当x∈(-1,3)时，-1<x<3，因此1+x>0，3-x>0， 由均值不等式可得 从而(1+x)(3-x)≤4，即y≤4， 当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立. 从而当x=1时，y取得最大值4. 19 新课学习 例5：已知a，b是实数，求证：a2+b2≥2ab．并说明等号成立的条件. 因为 a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， 所以a2+b2-2ab≥0，即 a2＋b2≥2ab． 等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b． 例5的结论也是经常要用的. 不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别. 区别在于例5中去掉了 a，b 是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况. 20 新课学习 例6：已知a，b∈R，求证： (1)(a+b)2≥4ab； 因为a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，得 a2+b2+2ab≥4ab， 即 (a+b)2≥4ab； 21 新课学习 例6：已知a，b∈R，求证： (2)2(a2+b2)≥(a+b)2． 因为a2+b2≥2ab，两边同时加上a2+b2，得 2(a2+b2) ≥a2+b2+2ab， 即 2(a2+b2)≥(a+b)2． 22 课堂练习 A 23 课堂练习 24 课堂练习 C 25 课堂练习 26 课堂练习 D 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 B 31 课堂练习 32 课堂练习 [9,+∞) 33 课堂总结 1.算术平均值与几何平均值的定义 2.均值不等式 34 谢 谢 观 看 35 解析：因为 ， ， ，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去），所以 ，当且仅当 ， 即 ， 时，等号成立，所以 的最小值为4.故选：D 解析：由题可知 ， 若 ，则 ，当且仅当“ ”时取“ ”， 则 ； 若取 ，满足 ，但 ， 故“ ”是“ ”必要不充分条件. 解析：由题意 ，当且仅当 时等号成立，解得 ，所以 且等号能取得.故答案为： . $