精品解析：2026年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校九年级6月份中考热身考数学试卷

九年级素养测评数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义、绝对值的定义、根据乘方的定义、负数的定义解决此题． 【详解】解：A．根据相反数的定义，，得是正数，不是负数，故A不符合题意． B．根据绝对值的定义，，得是正数，不是负数，故B不符合题意． C．根据乘方的定义，，得是正数，不是负数，故C不符合题意． D．，是负数，故选项D符合题意， 故选：D 【点睛】本题主要考查乘方、相反数、绝对值、负数，熟练掌握乘方的定义、相反数的定义、绝对值的定义、负数的定义是解决本题的关键． 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方法则判断即可． 【详解】解：A、a2＋a5不能合并，不符合题意； B、a8÷a4＝a4，不符合题意； C、（−2a2）3＝−8a6，不符合题意； D、（−a3）2＝a6，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则． 4. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 5. 小明在某款工具的图像生成中进行描述：主视图与左视图都是三角形的几何体．你认为会生成下方哪种几何体的图片？（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、圆柱的主视图与左视图都是矩形，不符合题意； 、圆锥的主视图与左视图都是三角形，符合题意； 、三棱柱的主视图与左视图都是矩形，不符合题意； 、球的主视图与左视图都是圆，不符合题意． 6. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A. 三条高的交点 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 7. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 8. 已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（ ） A. x1=-，x2= B. x1=，x2= C. x1=2-，x2= D. x1=，x2= 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解． 【详解】点在二次函数的图象上， ，二次函数解析式为， ，纵坐标相等， 二次函数的对称轴为直线， 方程变形得，即求二次函数时的值， 点在二次函数图象上， 是方程的一个解， 设方程的另一个解为，由对称性得， 解得， 方程的解为，． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148 000 000 000元，将数据148 000 000 000用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 10. 二次根式中字母的取值范围是________________． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意，得 x-4≥0， 解得：x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 11. 多项式因式分解的结果为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限判断参数的范围，求不等式组的解集，根据第四象限内点的符号特征，得到一元一次不等式组，进行求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，解得：， 故答案为： 13. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的弧长公式．先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=． 故答案是：10． 14. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 15. 如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，先求出，最后根据tan求解即可． 【详解】解：过作于， 由网格可得：，， ， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在第三象限内把按相似比放大，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似图形，根据点在第一象限，以点为位似中心，在第三象限内把按相似比放大，将点的横纵坐标均乘以，即可得出结果，掌握以原点为位似中心的图形的对应点的坐标乘以或是解答本题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点在第一象限， ∵以点为位似中心，在第三象限内把按相似比放大， ∴点的坐标为，即； 故答案为：． 17. 如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ． 【答案】22 【解析】 【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案. 【详解】解：如图，作GH⊥BC， 则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°, ∴∠HGE=∠MEN， ∵∠GHE=∠EMN=90°， ∴△GHE∽△EMN， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴四个小正方形的面积之和. 故答案为：22. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键. 18. 在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、、根据勾股定理可得，在点与之间总有如图，、、、四点共线，此时等号成立如图可得线段取最大值． 【详解】解：取的中点，连接、、． ， ． 同理． 正方形，为中点，， ． 在点与之间总有如图， 由于的大小为定值，只要，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立如图． 线段取最大值． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】-7＜≤1.数轴见解析. 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得≤1， 解不等式②，得＞-7， ∴不等式组的解集为-7＜≤1． 在数轴上表示不等式组的解集为 故答案为-7＜≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键． 21. 一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同． （1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率； （2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率． 【答案】（1）从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；（2）这个两位数不大于32的概率为． 【解析】 【分析】(1)、根据题意可知：共有两张卡片写有数字1，然后根据概率的计算法则得出答案； (2)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1 ∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是 （2）组成的所有两位数列表为： 十位数 个位数 1 2 3 4 1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 或列树状图为： ∴这个两位数不大于32的概率为． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图与列表可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与可能出现的总结果之比． 22. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础，某校为了解学生参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． ．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： ．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：，，，，，，，； ．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 七年级 ， 八年级 九年级 根据所给信息，回答下列问题： （1）上述表格中： _______， _______， _______； （2）设七，八年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，则_______（填“”或“”）； （3）请估计全校九年级所有学生中，参加体育锻炼的时长不少于小时的人数． 【答案】（1），， （2） （3）名 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据折线统计图得到各数据的波动大小即可解答； （3）先求得全校九年级的学生总人数，再利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据为：，，，，，，，，，； 中位数，众数， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由图可知，七年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动较大，八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动较小， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：全校九年级的学生总人数为（人）， （人）， 答：估计全校九年级所有学生中，共有名学生参加体育锻炼的时长不少于小时． 【点睛】本题考查拆统计图，统计图表的综合，涉及平均数、中位数及众数，方差，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键． 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）如图，延长，交于点，由正弦函数求得，得四边形是矩形，求得，，再解直角三角形求出，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点， ， ， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ，， ， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 24. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可； （2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可． 【详解】解：（1）与相切．理由如下： 如图，连接． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵为的半径， ∴与相切． （2）设的半径为，则，， 由（1）知，在中，， 即，解得． ∵， ∴． ∴， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键． 25. 如图，矩形的顶点、分别在菱形的边、上，顶点、在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若为中点，菱形的周长是20，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）FH=5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EHFG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到ADBC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，ADBC，求得AE=BG，AEBG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，即可得到FH的长． 【小问1详解】 ∵四边形EFGH是矩形， ∴EH=FG，EHFG， ∴∠GFH=∠EHF， ∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF， ∴∠BFG=∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ADBC， ∴∠GBF=∠EDH， 在△BGF和△DEH中， ， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG=DE， 【小问2详解】 如图，连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC，ADBC， ∵E为AD中点， ∴AE=ED， ∵BG=DE， ∴AE=BG， 又∵AEBG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴EG=AB， ∵菱形ABCD的周长是20， ∴AB=5=EG， ∵四边形EFGH是矩形， ∴FH=EG=5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决问题的关键是连接EG，利用矩形的对角线相等，平行四边形的对边相等得出结论． 26. 如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法） （1）如图1，在边上作点P，使； （2）如图2，在边上作点P，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是∶ （1）延长至点E，使，连接交于点P即可； （2）延长至点E，使，连接，作的垂直平分线交于点P即可． 【小问1详解】 解∶如图，点P即为所求， 理由：由作图知：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求， 理由：由作图知，，点P在的垂直平分线上， ∴， 又，， ∴， ∴． 27. 如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． （1）当n＝4时，菜园面积的最大值为______． （2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）． （3）在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______． 【答案】（1）80 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （2）设矩形养殖场的总面积为y，列出y与x的函数关系式，并求出其最大值． （3）根据（2）中最大值可列方程，求出，然后根据a、b都是正整数且求解即可． 【小问1详解】 解：设菜园的垂直于墙的边为，当时，菜园的平行于墙的边为，菜园面积为，则有： ， ∵， ∴有最大值，最大值为80， 即菜园面积的最大值为， 故答案为：80． 【小问2详解】 解：设菜园的垂直于墙的边为，则平行于墙的边为，菜园面积为，则有： ． ∵， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 即菜园面积的最大值为． 【小问3详解】 解∶当时， 菜园面积的最大值为， 当时， 菜园面积的最大值为， ∵菜园面积的最大值之和为 ∴， 整理得， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是16是因数， ∴，，，，， ∴或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）， 又， ∴或或， 故答案为：或或． 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级素养测评数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 5. 小明在某款工具的图像生成中进行描述：主视图与左视图都是三角形的几何体．你认为会生成下方哪种几何体的图片？（） A. B. C. D. 6. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A. 三条高的交点 B. 重心 C. 内心 D. 外心 7. 如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（ ） A. x1=-，x2= B. x1=，x2= C. x1=2-，x2= D. x1=，x2= 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148 000 000 000元，将数据148 000 000 000用科学记数法表示为____． 10. 二次根式中字母的取值范围是________________． 11. 多项式因式分解的结果为______ ． 12. 平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是______． 13. 用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是______． 14. 如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 15. 如图，在的正方形网格中，是正方形网格的格点，连接，则的值是______． 16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在第三象限内把按相似比放大，得到，则点的坐标为______． 17. 如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ． 18. 在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 21. 一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同． （1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率； （2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率． 22. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础，某校为了解学生参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． ．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： ．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：，，，，，，，； ．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 七年级 ， 八年级 九年级 根据所给信息，回答下列问题： （1）上述表格中： _______， _______， _______； （2）设七，八年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，则_______（填“”或“”）； （3）请估计全校九年级所有学生中，参加体育锻炼的时长不少于小时的人数． 23. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 24. 如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)． 25. 如图，矩形的顶点、分别在菱形的边、上，顶点、在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若为中点，菱形的周长是20，求的长． 26. 如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，不写做法） （1）如图1，在边上作点P，使； （2）如图2，在边上作点P，使． 27. 如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏． （1）当n＝4时，菜园面积的最大值为______． （2）求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）． （3）在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______． 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $