山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期第四次质量检测数学试题

莱州一中2025级高一第四次质量检测数学试题 命题人：刘新杰审核人：杨丽丽薛秀迟晓丽答题时间：2026.6.11 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1若(，2，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A若1⊥12,2⊥则4I4 B若l⊥12，%，则⊥ C若l42l4,则4,2,4共面 D.若1,2，共点，则，2，共面 2在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与"摸出1个白球1个红球"互斥而 不对立的事件是() A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 3.为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了 一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播+录播”方式进行线上教学的学校占比约为() 学校数 0 其他 15% 直播 直播+录播 录播 录播直播直播+录播其他线上教学方式 A.22.5% B.27.5% C.32.5% D.37.5% 4.已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50，学校计划采用按比例分配的分 层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年 级三个班优秀学生总人数为(·) A.16 B.30 C.24 D.18 5.在空间四边形ABCD中，AD=2,BC=25,E,F分别是AB,CD的中点，EF=√万， 则异面直线AD与BC所成角的大小为() A.150° B.60° ·C.120° D.30°· 6袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球3个白球，从中不放回地依次随机 摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（) A 7.正四棱台ABCD-AB1CD1仲，AB=2,A1B1=1,A41与底面ABCD所成的角为60°，则此四陵台的体积为（) A.2 B.7N6 6 c,5 D.7y6 18 8.四棱锥P-ABCD中，PA=PB=√互，其余各棱的长均为2，则点P到平面ABCD的距离为) A.2 B.3 2 D.39 .到 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。·： 9.已知m,n为空间中两条不同的直线，a，B,Y为空间中三个不同的平面，则(.：)r二“， A.若a1B,m⊥a,则m11B B.若mI1a,mcB,anB=n,则m/1n C.若m⊥a,n1B,mI1n,则a11B D.若a⊥y,B⊥y,anB=m,则m⊥y 10.给定-组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则() A平均数为3 B标准差为 C.众数为2和3 D.第85百分位数为4.5 11如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形ABCD是边长为2的正方形，M是DE 中点，N在正方形ABCD(含边界)内运动，点P,2分别在线段AE和CF上运动，则下列结 论正确的是() E A点D到平面EB的距离为2y6 3 B.二面确￡-AB-C的余弦值为 3 C.当MW/平面BCE时，点N的轨迹长度为2W2 D.线段PQ长度的最小值为2 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，在正三棱柱ABC-AB1C中，AB=1,若二面角C-AB-C的大小为60° 则此三棱柱的体积为 13.某单位对全体职工的某项指标进行调查，先按照性别进行分层抽样，得到男职工样本 20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和 1,以此估计总体方差为 14.如图，在直三棱柱ABC-B,C中，点D为棱4C上的点.且BC∥平面ARD, 则光-一已知B=5C=4-=1,4C-反，以D为球心，以9为半径的 球面与侧面4B,B的交线长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。· 15(13分) 已知正四棱锥P4ABCD,M,N分别是BC,PD的中点， (1)证明：CN//平面PAM: (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CW与AM所成角的余弦值. 16.(15分)一个袋中有4个大小、质地都相同的小球，其中红球1个、白球2个、黑 球1个，现从袋中又放回地取球，每次随机取一个。 (1)求连续两次都取到白球的概率。 (2)若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次取球所得分 数之和大于2分的概率。 17.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩猜况，分别从物理方向的学生中随 机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取八人的成绩得到样本乙，根据两个样本数 据分别得到如下直方图： 频率组距 ◆频率/组距 0.045 0.040 0.020 0.020 0.016 s::EsEEsE 0.010 0607080901004数 0.005 .006“ 0 5060708090100骄数 甲样本数据直方图 乙样本数据直方图 已知乙样本中数据在70,80)的有10个. (1)求n和乙样本直方图中a的值： (2)试估计该校物理方向的学生本次棋拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次棋拟测试数学成 绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）， (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任 取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率 18(17分)如图，在四棱锥P-ABCD,底面ABCD为梯形，且BC=二AD,BC11AD,等边三 角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD,BC⊥PD. (1)求证：BC⊥平面PCD; (2)若直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 求二面角 P-AB-D的余弦值· 19.(本小题17分) 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与 BD的交点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形 ()求证：AC⊥PD: (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线锻AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与 平面PBC所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大 值时线段DE的长， D2025级高一第四次质量检测答案 -.1-8 BCBCD ABB 9.BCD 10.AC 11.ABD 二.12.33 13.35614.1,月 三.15 解析：(1)取AP的中点为Q,连接QM,QN, 由于N是PD中点，故QN1/AD,且QN=4D, 2 又CM/IAD且CM=}AD, 2 故CM/QN,CM=QN,则四边形NQMC为平行四边形， 故CNI/OM,CN丈平面PAM,OMc平面PAM, 故CN//平面PAM p (2)由(1)知：CN/1QM,故∠AMQ或其补角即为直线CN 由于△PCD为边长为2的等边三角形，故QM=CN=5 2 2 AM=NAB+B证=2：+F=V5,4Q-PA=L, 故cos∠AM0=4M+0M-A0=5+3-17V5 2AM.OM 2×V5×5301 故直线CN与AM所成角的余弦值为7N西 30 与AM所成角， V5, 16.(1)连续取两次所包含的基本事件有： (红，红)，（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2) (白1，黑)，（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1）， (黑，白2)，（黑，黑），所以基本事件的总数为16. 设事生A:连续取两次都是白球，A所包含的基本事件有： (白1，白1)，（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个， 所以，P4)-高号 (2)设事件B:连续取两次分数之和为3分，设事住C:连续取两次分数之和为4分，设 事住D:连续取两次分数之和大于2分，则D=B+C,且事件B与事件C互斥， 因为事件B所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以 P(B)=4 16 因为事件C所包含的基本事件有：（红，红），所以P(C)=G 故P(D)=P(B)+P(C)=G 即连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为6 17.1)由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020×10=0.20， 则10=0,20，解得n=50: 由乙样本数据直方图可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)×10=1,解得a=0.018; (2)甲样本数据的平均值估计值为 (55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020)×10=81.5, 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.006+0.016+0.02)×10=0.42<0.5， 前4组的颜率之和为(0.006+0.016+0.02+0.04)×10=0.82>0.5， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x, (x-80)×0.04+0.42=0.5,解得x=82,所以乙样本数据的中位数为82 (3)由频率分布直方图可知从分数在60,70)和70,80)的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为4,4，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记 么，，b,5,则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 (a.a),(ab)(a.b),(a,b3).(a,b,),(a,b).(a,b),(a,b3).(a2,b) (6,b)）(bb）(b,b)(b6)(b,b)(b,b),共15个， 所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，所以所求概率为6- 155 18.解：(1)如图：过P作PH⊥CD于H,因为平面 ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD, PHc平面PCD,PH⊥CD,所以PH⊥平面 ABCD,而BCC平面ABCD,所以PH⊥BC,又 因为BC⊥PD,PH∩PD=P,所以BC⊥平面 PCD. (2)连接BH、AH,作HE⊥AB于E,连接PE 由(1)可知PH⊥平面ABCD,所以直线PB在底面ABCD上的射影为直线BH,从而 可得∠PBH为直线PB与平面ABCD所成角.不妨设PC=2a(a>0),则PH=√3a, sim∠PBH=PH-a,5 ,所以PB=5a,BH=W5a2-(3a}=V2a PB PB 5 从而BC=√BH2-HC2=a,AD=2a,AH=V5a=AB 因为PH⊥平面ABCD,而ABC平面ABCD,所以PH⊥AB,又因为HE∩PH=H, 所以AB⊥平面PHE,而PEC平面PHE,所以AB⊥PE,所以∠PEH为二面角 P-AB-D的平面角. 在A4BH中，求得HE=3a=35。 a 5 在△PHE中，求得PE= Sa,所以os∠PEH-E.V6 26230 所以二面角 PE 4 P-AB-D的余弦值为6 4 法二(2)如图所示，连接OB,BD,过点D,P作DM⊥AB,PN⊥AB,分别与AB交于点 M,N,过点M作MQ/NP,交AP于点Q,连接DQ,设AD=2BC=2,CD=2a,a>0, 则OP=√3a,由(1)得OP⊥平面ABCD,.∠OBP即为直线PB与平面ABCD所成角的平面角， BC⊥平面PCD,BCLCP,则PB=V4a2+,in∠OBP=OP=5-压 郎4+5，解得：a 故BD=√5，AB=√5，且VBD2-BM=VDA2-AM2, 即5-r--,解w-5M-2 ，DM=45 又BCI/AD,所以AD⊥平面PCD,AD⊥PD, PA=2√2，且VPB2-BN2=VPA2-AN2,即 5w6-5,约N=誓N-SN2 所以点M为线段AN的中 5 点，故点Q电为线段AP中点，所以OWPN-0-万，所以∠Dwe即为二面角 r-AnD9平布.m00.wm-2g.5-.5 2DM·QM 4W5V30 2× 5 5 19. (1):点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, ∴PO⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,∴.PO⊥AC, :四边形ABCD为菱形， BD⊥AC,PO∩BD=O,PO、BDc平面PBD, :AC⊥平面PBD,,BDC平面PBD,AC⊥PD. (2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形， PO-40-CO=MPC=O+CO6 _5 设点D到平面PBC的距离为h,由'n-xc=-c得Saxh=SO, 3 即5h=5×5,解得h=2西 2 5 故点D到平面PBC的距离为2W下 (3)设直线PE与平面PBC所成的角为O,,:AD‖BC三ADI平面PBC, E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h 过E作垂线EFL平面PBC交于点F,则O=∠EPF, 此时sm0=E=2,要使9最大，则需使PE最小，此时PE1AD PE 5PE 由题意可知：OD=1,OA=√5，PO⊥平面ABCD,且PO=√5， .PA=JOP+OA=6,PD=VOP2+OD2=2, 在aPAD中，由余弦定理可得：c0s∠PAD=4P+AD-PD=6+4-4.6 2AP.AD 2×V6×24 ÷sin∠PAD=V-cos2ZPAD=i 4 由面积相等S.o=PADsin∠PAD=AD-PE, 2 即5x22,解得：雪，DEm-e-臣安m0-号 42 即点E在线段AD上靠近点D的4分点处，此时sm0=号，DE=)