四川省双流中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026四川省双流中学高二上期末数学试卷，聚焦空间向量、解析几何、立体几何核心内容，通过基础题巩固概念，综合题提升逻辑推理与空间想象，体现数学眼光观察与思维应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量投影与夹角、直线斜率范围、四点共圆|基础概念辨析，注重数学眼光观察空间形式| |多选题|3/18|正四棱锥外接内切球、圆的方程与位置关系|多角度考查知识关联，培养推理意识| |填空题|3/15|空间向量共面、直线倾斜角、椭圆焦点弦方程|简洁设问，检测数学语言表达准确性| |解答题|5/77|立体几何证明、圆的弦长定值、椭圆轨迹与定点|综合应用知识，通过新定义（如曲线Γ）设计创新问题，发展逻辑推理与创新意识|

2025-2026四川省双流中学高2024级高二上期末考试数学试卷 命题人:李昭 审题人:赵小麟 注意事项: 1. 开考前,请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置。 2. 考试结束后,试卷请自行保管,如果有遗失,请自行打印电子版。电子版在班级群里会提供。 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知空知向量,,则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量,,且,则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 3.如图,在四面体中,,分别为,的中点,,,且向量与向量的夹角为,则线段的长度为 ( ) A. B. C. 或 D. 或 4.已知点,,若直线过点且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 5.若不同的四点,,,共圆,则的值为( ) A. B. C. D. 6.把五个边长为的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中,经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分,则该直线的表达式为( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆方程:内有一定点,过点的两条直线分别与椭圆交于、和、两点,且满足,若变化时,直线的斜率总为,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中,已知椭圆:和:,为上的动点,为上的动点,是的最大值.记在上,在上,且,则中元素个数为( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷个 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。(全选对得6分,选对但不全得部分分,有选错得0分) 9.在正四棱锥中,若侧面与底面所成的角为,底面正方形的边长为,则下列说法正确的是( ) A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 10.下列命题错误的是( ) A. 若方程表示圆,则的取值范围是 B. 若圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是 C. 已知点在圆上,的最大值为 D. 已知圆和,圆和的公共弦长为 11.如图,,是双曲线:与椭圆的公共焦点,点是,在第一象限的公共点,设方程为,则有( ) A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若,则的离心率为 D. 若,则椭圆方程为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知向量,,,若向量,,共面,则实数的值为 . 13.若直线的斜率为,倾斜角为,而,,则的取值范围是 . 14.已知椭圆的右焦点为,直线经过椭圆右焦点,交椭圆于、两点点在第二象限,若点关于轴对称点为,且满足,求直线的方程是 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图,在四棱锥中,平面,底面为菱形,为的中点. 求证:平面 若,求证:平面平面. 16.本小题分 在直角坐标系中,曲线与轴交于,两点,点的坐标为当变化时,解答下列问题: 能否出现的情况说明理由. 证明过,,三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 17.本小题分 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,是棱的中点,是棱上一点. 证明:; 若直线与平面所成角的正弦值为,求点到平面的距离. 18.本小题分 已知点,圆,点在圆上运动,的垂直平分线交于点. 求动点的轨迹的方程 动点的轨迹与轴交于,两点在点左侧,直线交轨迹于,两点不在轴上,直线,的斜率分别为,,且,求证:直线过定点. 19.本小题7分 为坐标原点,为坐标平面上与不重合的点,表示点到轴的距离,表示点到点的距离,若满足均为常数,则称点的轨迹为曲线已知曲线是曲线,直线与曲线交于,两点不与曲线的顶点重合. 求曲线的方程 若点在曲线上,直线斜率为,直线斜率为,且,求证:直线过定点 若直线经过点,点与点关于轴对称,直线与轴交于点,求面积的最大值.