第四章　第28课时　简单的三角恒等变换课件-2027届高考数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“简单的三角恒等变换”专题，依据高考要求覆盖半角、积化和差、和差化积公式的应用及三角式化简求值，通过教材改编题和典例分析明确高频考点分布，构建“公式推导-题型归纳-解题步骤”的复习体系。 课件亮点在于“真题改编+方法提炼+素养提升”，如利用和差化积公式解决“sinα+sinβ”型问题，培养学生数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力），特设“角的范围缩小”技巧指导，帮助学生突破易错点，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第28课时　简单的三角恒等变换 第四章　三角函数与解三角形 [考试要求]能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 第28课时　简单的三角恒等变换 2 以题引理·激活思维 1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝＝(　　) A．2－ C． －2) √ C　[∵sin α＝，∴tan －2．] 第28课时　简单的三角恒等变换 3 2．(人教B版必修第三册P109练习BT4(1)改编)计算：＝ (　　) A． √ D　[原式＝．故选D．] 第28课时　简单的三角恒等变换 4 3．(北师大版必修第二册P161练习T2改编)sin 37.5°·cos 7.5°＝(　　) A． √ C　[sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝．故选C．] 第28课时　简单的三角恒等变换 5 4．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈ ＝____________，cos ＝________． －　[∵θ∈， ∴cos θ＝－， ∴sin ，cos ．] － 第28课时　简单的三角恒等变换 6 5．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：(1)sin(α＋β)cos β－sin(α＋2β)＝________． (2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝________． (1)sin α． (2)原式＝2sin－cos 20° ＝2sin 30°cos 20°－cos 20°＝0．] 第28课时　简单的三角恒等变换 7 1．半角公式(不要求记忆) (1)sin； (2)cos； (3)tan所在象限决定； (4)tan． 第28课时　简单的三角恒等变换 8 2．积化和差公式 (1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； (2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； (3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； (4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 第28课时　简单的三角恒等变换 9 3．和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sin； (2)sin θ－sin φ＝2cos； (3)cos θ＋cos φ＝2cos； (4)cos θ－cos φ＝－2sin． 第28课时　简单的三角恒等变换 10 1．弦切互化——万能公式 (1)sin 2α＝； (2)cos 2α＝． 2．改变次数——升幂降幂公式 (1)sin2α＝；(2)cos2α＝；(3)1＋cos α＝2cos2；(4)1－cos α＝2sin2；(5)1＋sin α＝；(6)1－sin α＝． 第28课时　简单的三角恒等变换 11 考点一　积化和差、和差化积公式的应用 [典例1]　(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50°＝(　　) A．C．　　D．－3 (2)若cos，则sin 2α等于(　　) A． 精研考点·提升素养 √ √ 第28课时　简单的三角恒等变换 12 (1)C　(2)C　[(1)(sin 20°－sin 40°)2＋3sin 20°cos 50° ＝(－2cos 30°sin 10°)2＋(sin 70°－sin 30°) ＝3sin210°＋sin 70°－ ＝sin 70°－ ＝cos 20°＋cos 20°－ ＝．故选C． 13 (2)因为cos× ＝．故选C．] 14 名师点评：利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系． 第28课时　简单的三角恒等变换 15 [巩固迁移] 1．已知α，β∈(0，π)，且满足sin α＋sin β＝(cos α＋cos β)，则 (　　) A．tan(α＋β)＝ C．cos(α＋β)＝ √ 第28课时　简单的三角恒等变换 16 B　[因为sin α＋sin β＝sin ，又因为α，β∈(0，π)， 所以－ ．故选B．] 17 考点二　三角函数式的化简、求值 [典例2]　已知3sin α＝2sin2－1． (1)求sin 2α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tan β－1＝0，求α＋β的值． 第28课时　简单的三角恒等变换 18 [解]　(1)因为3sin α＝2sin2－1， 所以3sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 所以sin 2α＋cos 2α＝ ＝＝＝． 19 (2)因为β∈，所以tan β<0， 因为2tan2β－tan β－1＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，所以tan β＝－， 又因为α∈(0，π)，tan α＝－<α<π． 所以tan(α＋β)＝＝－1， 由得π<α＋β<2π，所以α＋β＝． 20 名师点评：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 第28课时　简单的三角恒等变换 21 (2)常见的缩小角的范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质(如“同向可加性”)求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围． 第28课时　简单的三角恒等变换 22 [巩固迁移] 2．已知cos＝(　　) A．－ √ 第28课时　简单的三角恒等变换 23 C　[法一：因为cos， 所以sin ＝cos－1＝2×． 法二(换元法)：令t＝， 所以sin ＝sin．] 24 3．已知0<θ<π，化简：＝________． －cos θ　[原式＝＝cos ．因为0<θ<π，所以0<>0， 所以原式＝－cos θ．] －cos θ 第28课时　简单的三角恒等变换 25 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，则2α－β的值为________． －　[∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝>0， ∴0<α<． 又∵tan 2α＝>0， － 第28课时　简单的三角恒等变换 26 ∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝1． ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－．] 27 考点三　三角恒等变换的综合应用 [典例3]　已知f (x)＝sin． (1)求f 的值； (2)若锐角α满足f (α)＝，求sin 2α的值． 第28课时　简单的三角恒等变换 28 [解]　(1)由题意得，f (x)＝sin＋2 ＝sin ＝sin ＝sin ＝sin 2xcoscos 2x ＝， 故f ＝0． 29 (2)∵α∈，∴2α＋， 又∵f (α)＝，∴f (α)＝sin， 又∵，∴2α＋， ∴cos， ∴sin 2α＝sin＝sin ＝． 30 名师点评：进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 第28课时　简单的三角恒等变换 31 [巩固迁移] 5．证明三角平方差公式：sin2A－sin2B＝sin(A＋B)·sin(A－B)． [证明]　sin(A＋B)sin(A－B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)(sin Acos B－cos Asin B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2Asin2B－sin2B＋sin2Asin2B＝sin2A－sin2B，即得证． 第28课时　简单的三角恒等变换 32 谢 谢 ！ $