8.2 一元线性回归模型及其应用 同步课时练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 围绕一元线性回归模型，通过基础应用、综合辨析、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|回归直线方程求解与预测（如第1、4题）|直接套用公式，强化样本中心核心考点，培养数学运算能力| |综合辨析|残差分析、相关系数判断（如第3、9题）|结合疫情治愈、5G销量等真实情境，提升数据观念与推理意识| |拓展探究|回归方程构建与检验（如第15题）|融合概率与回归分析，通过“建模-预测-检验”完整流程，发展数学建模与应用意识|

8.2 一元线性回归模型及其应用 1.已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示： 营销费用x/万元 2 3 4 5 销售额y/万元 15 20 30 35 根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为( ) A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元 2.根据如表数据，得到的回归方程为，则( ) x 4 5 6 7 8 y 5 4 3 2 1 A.2 B.1 C.0 D. 3.2020年初，新型冠状病毒（COVID—19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构每周治愈的患者人数如表所示： 第x周 1 2 3 4 5 实际治愈人数y（单位：十人） 3 m 10 14 15 由上表可得y关于x的线性回归方程为，且知第4周治愈人数的残差（实际值减去预报值）为1，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为，则回归直线的方程是( ) A. B. C. D. 5.某实验室研发新冠疫苗，试验中需对x，y两项指标进行对照试验，已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表： x 110 115 120 125 130 y 85 89 90 92 94 已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为.根据该回归方程，预测下一次试验中当时，，则的值为( ) A.0.48 B.0.5 C.0.52 D.0.54 6.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间具有线性相关关系，利用下表中的五组数据求得回归直线方程为.根据该回归方程，预测当时，，则( ) x 2 3 4 5 6 y 25 39 50 56 64 A.9.4 B.9.5 C.9.6 D.9.8 7.某地为了解居民的每日总用电量y（万度）与气温x（℃）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表： 气温x（℃） 19 13 9 每日总用电量y（万度） 24 34 38 64 经分析，可用线性回归.方程拟合y与x的关系.据此预测气温为14℃时，该地当日总用电量y（万度）为( ) A.30 B.31 C.32 D.33 8. （多选）5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示： 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号 1 2 3 4 5 销量/部 52 95 185 227 若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是 A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B. C.与正相关 D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部 9. （多选）下列有关线性回归分析的说法中正确的有( ) A.经验回归直线必过样本数据的中心点 B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C.当相关系数时，两个变量正相关 D.如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1 10. （多选）下面各图中，散点图与相关系数r符合的有( ) A. B. C. D. 11.某城市近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合(单位:亿元),预计今年该城市居民年收入为20亿元,则今年支出估计是__________亿元. 12.某工厂的每月各项开支x与毛利润y(单位：万元)之间的关系如下表，若y与x的线性回归方程为，则__________. x 2 3 5 7 8 y 30 40 50 60 70 13.经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程.若样本点中心为，则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为_________________万元. 14.一机器可以按各种不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的个数随机器运转速度的变化而变化，用x表示转速（单位：转/秒），用y表示每小时生产的有缺点物件的个数，现观测得到的4组观测值为，,,. （1）假定y与x之间有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若实际生产中所容许的每小时生产的有缺点物件不超过10个，则机器的运转速度不得超过多少转/秒（精确到1转/秒）？ 15.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下图资料： 日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程再用被选取的2组数据检验. （1）求选取的2组数据恰好相邻的概率； （2）若选取的是1月与6月的两组数据，请据2、3、4、5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程； （3）若线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据误差的绝对值都不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的.试问该小组由（2）中得到的线性回归方程是否理想？ 附：，. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得， 所以回归直线方程为，将代入，得. 所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元. 故选：C. 2.答案：D 解析：由题意可得，， 回归方程为且回归直线过点， ，解得， 故选D. 3.答案：D 解析：由第4周的残差为1，可知第4周的预报值为13，所以，解得，故.又回归直线必过样本点中心，且，所以，解得，故选D. 4.答案：C 解析：设回归直线方程为，样本点的中心为，，，回归直线方程为. 5.答案：D 解析：由已知表格中的数据，求得：， ，则，① 又因为下一次实验中时，，则，② 联立①②，解得：. 故选D. 6.答案：B 解析：由已知表格中的数据，得，，则，又因为，所以.故选B. 7.答案：C 解析：由题意可知：，，所以，解得.线性回归方程，预测气温为14℃时，可得. 8.答案：BCD 解析：由表中数据可知，代入回归方程知，于是，B正确；将代入回归方程得，D正确，故本题答案是BCD. 9.答案：AC 解析：经验回归直线必过样本数据的中心点，故A正确； 经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错误； 当相关系数时，则两个变量正相关，故C正确； 如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1或-1，故D错误.故选AC. 10.答案：ACD 解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数，A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数，B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，C正确；对于D，散点图中，x,y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数，D正确.故选ACD. 11.答案：18.2 解析：根据题意,由于线性回归直线方程为,那么可知当时，,因此今年支出估计是18.2亿元. 12.答案：15 解析：由题意，根据表中的数据，可得，，即样本中心为，代入y与x的线性回归方程中，解得. 13.答案：70 解析：本题考查线性回归方程.依题意，将代入回归直线方程（提示：回归直线必过样本点中心），得，解得，所以回归直线方程为.令，得. 14.答案：（1）设线性回归方程为. ,,,. 于是, . 所以所求线性回归方程为. （2）由得, 即机器的运转速度不得超过15转/秒. 15.答案：解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A， 因为从6组数据中选取2组数据共有种情况， 每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种， 所以； （2）由数据求得，，由公式求得，由求得， 所以y关于x的线性回归方程为； （3）当时，，， 当时，，， 所以该小组所得线性回归方程是理想的. 学科网（北京）股份有限公司 $