山西省部分校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 3．某校高二年级16个班参加朗诵比赛的得分分别为：85，86，87，88，89，90，91，91，92，93，93，94，95，97，99，100，则这组数据的下四分位数为 A．88 B．88.5 C．89 D．90.5 4．若直线与圆分别交于，两点，则 A． B． C． D．2 5．的展开式中的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 A．84 B．—84 C．15 D．—15 6．曲线上的点到直线的最短距离为 A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点是椭圆上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 8．已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的是 A． B．若是第三象限角，则 C．若角的终边过点，则 D． 10．已知双曲线的离心率为，点为双曲线上一动点，且双曲线的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是 A．双曲线的渐近线方程为 B． C．若，则的面积为 D．若的面积为，则为钝角三角形 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．是的极大值点 B．当时， C．函数的图象是中心对称图形 D．当且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知变量和的经验回归直线方程为，若时的观测值为，此时残差为__________（注：观测值减去预测值称为残差）． 13．的内角、、的对边分别为、、．已知，，则的面积为__________． 14．已知正项数列的前项积为，且，则使得的最小正整数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知数列为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 已知函数（），当时，有极大值4． （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值． 17．（本小题满分15分） 在直三棱柱中，，，，，分别为线段、的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点分别作抛物线的两条切线，，切点分别为、． （i）证明：直线恒过定点； （ii）求面积的最小值． 19．（本小题满分17分） 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，设甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B C A 题号 7 8 9 10 11 答案 A D ABD ACD ACD 12． 13． 14．6 15．解：（1）设等差数列的公差为， 则，（2分） 解得，（5分） ．（6分） （2）由（1）得：，（9分） ．（13分） 16．解：（1），，（2分） 当时，有极大值4，， ，．（5分） ，，（6分） 的解为或，在，上是单调递增函数；（7分） 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极大值，满足题意，故．（8分） （2）由（1）可得，，（9分） 令，可得，可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得函数在，上单调递增，在上单调递减．（11分） 有，，，．（13分） 综上可知，在上的最小值为0，最大值为4．（15分） 17．解：（1）由已知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，正方向所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．（1分） 已知，，，分别为线段，的中点， 则，，所以， 易得为平面的一个法向量．（3分） 因为，所以， 又平面，所以平面．（5分） （2）由（1）知，，， 所以，，（7分） 所以， 则异面直线与所成的角的余弦值为．（10分） （3）设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知，，（11分） 则，令，得． 又平面的一个法向量为，（14分） 所以即平面与平面的夹角的余弦值为．（15分） 18．解：（1）已知焦点到直线的距离为， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则，（2分） 解得，，故抛物线的方程为．（3分） （2） （i）设切点，，抛物线，求导得切线斜率，（4分） 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为，（6分） 所以，， 因为，都满足方程， 所以直线的方程为：，（9分） 当时，，对任意的，直线恒过定点．（10分） （ii）将与联立，消去得：， 判别式，（11分） 则弦长，（13分） 点到直线的距离：．（14分） 因此的面积：，（16分） 由，所以当时，取得最小值． 故面积的最小值为．（17分） 19．解：（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，，（2分） 所以．（4分） （2）可能的取值为，，，，，甲答对某道题的概率，（6分） 则，，，，，，，（9分） 所以的分布列为： 数学期望．（10分） （3）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则，（12分） ， ，，（14分） 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $