广东省江门市紫茶中学2024-2025学年九年级下学期中考考前模拟考试数学试题

**基本信息** 以文化传承（如《九章算术》问题）、社会热点（全运会观众数）及跨学科（物理凸透镜成像）为情境，覆盖初中数学核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式有意义条件、整式运算、反比例函数等|结合杨辉《田亩比类乘除算法》等历史数学名题| |填空题|5/15|三角函数、中位数、分式方程、科学记数法、数列规律|融入爱眼护眼数据、全运会观众数等现实素材| |解答题（一）|3/21|实数运算、中位线作图与计算、解直角三角形应用|地铁出入口步梯与电梯实际问题建模| |解答题（二）|3/27|统计分析、二元一次方程组与不等式、杠杆原理实践|非遗知识测试统计分析，体现数据观念| |解答题（三）|2/27|矩形折叠综合、函数图像与性质探究|矩形折叠中动态几何问题，考查空间观念与推理能力|

广东省江门市紫茶中学2024-2025学年九年级下学期第三次模拟考试数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（2a）3＝6a3 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．2a+2b＝2ab 3．（3分）我国是最早认识和使用负数的国家，在古代数学名著《九章算术》中首次出现负数，后来，数学家刘徽在为《九章算术》作注时明确正负数表示相反意义的量．如果收入100元记作+100元，那么﹣60元表示（　　） A．支出60元 B．收入60元 C．支出40元 D．收入40元 4．（3分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864 5．（3分）若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 6．（3分）若将抛物线y＝x2﹣2x+1先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（　　） A．y＝x2﹣2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2﹣2 7．（3分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣3，0）、B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＞0的解集为（　　） A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＜3 8．（3分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　） A．45° B．50° C．65° D．75° 9．（3分）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰RT△OAB的斜边OA＝10，点B逆时针旋转90°后的坐标是（　　） A．（﹣5，5） B．（5，﹣5） C． D． 10．（3分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，则小蜡烛的像CD的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11．（3分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝ 　 　 ． 12．（3分）一双好眼睛，能更好地探索未来，央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于5.0，特警需要裸眼视力不低于4.8，射箭运动员需要裸眼视力不低于4.8，船长需要裸眼视力不低于5.0．数据5.0，4.8，4.8，5.0的中位数是　 　 ． 13．（3分）方程＝的解是　 　 ． 14．（3分）第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港和澳门联合举办，这是首次由多地区联合承办的全运会．预估赛事期间将累计接待现场观众2560000人次，用科学记数法表示为 　 　 ． 15．（3分）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：0＝，2＝，4＝，，，，…由此规律，可得第12个数和第13个数的和为　 　 ． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16．（7分）计算：． 17．（7分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，其中点D在AB边上，点E在AC边上． （1）用圆规和直尺在△ABC中作出中位线DE．（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若BC＝6，求DE的长． 18．（7分）广州地铁经过多年的发展，地铁出入口更加人性化和便民化．如图1是某地铁出入口，有步梯和电梯两种由地下层通往地面层的出入方式．其截面如图2所示，AB是由地下直通地面的电梯，AC，CD，DE，EF，FB是步梯，AC，DE，BF的倾角相同，CD，EF与地面平行．已知电梯AB全长30米，倾角∠BAH为37°，CD＝EF＝3米． （1）求地面层与地下层的垂直高度BH； （2）求步梯AC的倾角∠CAH的正切值和步梯通道的全长． 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 四、解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分） 19．（9分）中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下： 七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94 八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92 七、八年级选取的学生测试成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 94 c 八年级 92 92.5 b 65% 【解决问题】 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 20．（9分）《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙玩具也火热登场．已知：购买2个哪吒玩具和1个敖丙玩具需要80元，购买1个哪吒玩具和2个敖丙玩具需要70元，问： （1）哪吒玩具和敖丙玩具的单价分别是多少元？ （2）若小军现有200元，他想购买哪吒和敖丙玩具共8个，则小军最多可以购买哪吒玩具多少个？ 21．（9分）综合与实践 【主题】称量一个1元硬币的重量 【素材】 （1）如图所示，一架自制天平，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．AC＝30cm，BC＝76cm，支点O在AC的中点处； （2）一个100g的砝码，若干相同的1元硬币． 【实践操作】 步骤1：左侧托盘放置一个100g砝码； 步骤2：右侧托盘放入10个相同的1元硬币； 步骤3：调整点P的位置，发现当PC＝10cm时，天平平衡； 步骤4：查阅资料，根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量） 【实践探索】 （1）能称出一个1元硬币的重量吗？用你所学的数学知识说明． （2）横梁AB的长度、左侧托盘砝码保持不变的情况下，右侧托盘只放置一个1元硬币，为使天平保持平衡，天平的支点应调整到什么位置？ 五、解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．（13分）综合探究 素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8． 操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D′落在矩形纸片ABCD的内部． （1）如图1，将矩形纸片对折，使DC与AB重合，得折痕MN，当D′落在MN上，求∠DAE的度数； （2）如图2，当D′落在对角线BD上时，求DE的长； （3）连接CD′，矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD′的长度是否有最小值？若有，请描述线段CD′长度最小时点D′的位置，并求出此时DE的长． 23．（14分）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数y＝|ax2﹣2ax+a﹣3|的图象和性质进行了探究． （1）当a＝1时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程|ax2﹣2ax+a﹣3|﹣m＝0有四个解，请直接写出对应m的取值范围． （2）在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点（0，4）平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有10个“整点”时，求a的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $