探索规律集训（专项练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦数列、图形、算式规律，通过观察—归纳—建模的系统性方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列规律|2题|分子公差4、分母n(n+2)模型|从具体分数到通项公式推导| |图形规律|6题|五边形小棒4n+1、棋子n(n+2)等公式|图形变化→数量关系→代数表达| |算式规律|2题|偶数和=项数×(项数+1)归纳|算式特征→规律提炼→推广应用| |数阵与综合|4题|3×3方框和=9×中间数|数阵结构→对称关系→方程求解|

探索规律集训 一、选择题 1．一列分数按规律排列：根据此规律，第20个分数是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个五边形可以用5根同样的小棒摆出来，要按照下图的方式摆10个这样的五边形需要（    ）根小棒。 A．40 B．41 C．45 D．50 3．下图是小刚用小棒和纽扣摆的图案，照这样摆下去，摆n根小棒共需要纽扣（    ）。 A．n粒 B．6n粒 C．（2n＋4）粒 D．（4n＋2）粒 4．观察下面每个图形中□和个数的变化规律，照这样画下去，第5个图形有（    ）个□。 A．16 B．5 C．17 5．丽丽用小棒摆五边形，如图，摆1个五边形用了5根小棒，摆2个五边形用了9根小棒，摆3个五边形用了13根小棒，……，按此规律摆下去，用85根小棒能摆（    ）个五边形。 A．19 B．21 C．23 D．25 二、填空题 6．观察下列算式，寻找规律填数。 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋…＋40＝( ) ×( )。 7．1张三角形的餐桌可以坐6人，按照如图的方式摆放餐桌和椅子。 (1)9张餐桌可以坐( )人。 (2)有50位参加会议的客人需要用餐，那么需要摆放( )张餐桌。 8．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，则第12个图形需要黑色棋子的枚数是( )个。 9．用同样大小的黑色棋子按下图所示的规律摆放，第10个图案中棋子的总个数为( )个。 10． (1)照这样摆下去，10个蓝色的圆片周围一共摆有( )个白色圆片；n个蓝色的圆片周围一共摆有( )个白色圆片。 (2)按照这样的规律摆下去，一组图形中一共用去了98个白色圆片，那么这组图形中一共有( )个蓝色的圆片。 三、解答题 11．观察下列等式与图形（其中正方形的边长均为1）的关系，找出规律，回答问题。 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… （1）写出第4个等式，并在右边给出的四个正方形上涂出与之对应的图示。 （    ） （2）写出你猜想的第n个等式是（                                ）。 12．找规律，回答问题。 （1）请画出第4个图形。 （2）第10个图形共有多少个小三角形？ （3）第n个图形共有多少个小三角形？ 13．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 14．用48分米长的绳子分别围出1个、2个、3个…正方形（如图）。 （1）把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长 12 6 … 所有正方形的顶点总数 4 7 … 所有正方形的总面积 144 72 … （2）正方形的个数与边长（    ）；正方形的个数与顶点总数（    ）；正方形的边长与总面积（    ）。（填“成正比例关系”、“成反比例关系”或“不成比例”） （3）若正方形的个数是，顶点总数是，试用一个等式表示与的关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《探索规律集训》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B B D A B 1．B 【分析】观察题中的分数，可发现分子部分是后面一个分数的分子比前面一个分子多4，可推断第20个分数的分子；分母部分可以看成两个数相乘的形式，根据乘数的规律，能够推断出第20个分数的分母。这样就可以确定选项。 【详解】观察分子的规律：分子依次为： 可以看出，后一个数比前一个数多4。第1个分子是：，第2个分子是：，第3个分子是：第个分子是： 所以，第20个分子是： 观察分母的规律：分母依次为：将分母拆分为两个数相乘的形式： 第1个分母：，第2个分母：，第3个分母：，第4个分母：可以看出，第个分母等于项数乘。 所以，第20个分母是： 确定第20个分数：分子是77，分母是480，所以第20个分数是。 2．B 【分析】先将最左侧五边形左下方的一根小棒固定，则每增加一个五边形就要增加4根小棒，设要摆n个这样的五边形，则摆n个这样的五边形需要（4n＋1）根小棒。求摆10个这样的五边形需要几根小棒，将n换为10进行计算。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 摆10个这样的五边形需要41根小棒。 3．D 【分析】由图可知，摆一根小棒要6粒纽扣，6＝4＋2＝4×1＋2； 摆两根小棒要6＋4＝10粒，10＝4＋4＋2＝4×2＋2； 摆三根小棒要6＋4＋4＝14粒，14＝4＋4＋4＋2＝4×3＋2； 每增加一根小棒就增加4粒纽扣。 摆n根小棒要（4n＋2）粒纽扣。 【详解】根据规律，每增加一根小棒就增加4粒纽扣，摆n根小棒要（4n＋2）粒纽扣。 4．A 【分析】先数出前4个图形里□的数量：第1个图形有8个，第2个有10个，第3个有12个，第4个有14个；观察发现，后一个图形比前一个图形的□数量多2个，按这个规律即可求出第5个图形的□数量。 【详解】第1个图形：8个 第2个图形：8＋2＝10（个） 第3个图形：10＋2＝12（个） 第4个图形：12＋2＝14（个） 第5个图形：14＋2＝16（个） 所以第5个图形有16个□。 5．B 【分析】先观察小棒数量的变化规律：摆1个五边形用5根，摆2个用9根，摆3个用13根。可以发现，每多摆1个五边形，小棒数量就增加4根，因此推导出摆n个五边形的小棒总数公式为（4n＋1）根。已知小棒总数为85根，将其代入公式列方程4n＋1＝85，解方程即可。 【详解】摆1个五边形：5＝1×4＋1 摆2个五边形：9＝2×4＋1 摆3个五边形：13＝3×4＋1 摆n个五边形：（4n＋1）根小棒 令4n＋1＝85 解：4n＋1－1＝85－1 4n＝84 4n÷4＝84÷4 n＝21 用85根小棒能摆21个五边形。 6． 20 21 【分析】等号左边是连续的偶数之和，观察可知：加数的个数＝最大的加数÷2；连续偶数的和＝加数的个数×（加数的个数＋1）。 【详解】40÷2＝20 20＋1＝21 所以2＋4＋6＋…＋40＝20×21 7．(1) 22 (2) 23 【分析】（1）由图知，1张三角形餐桌可坐6人；2张餐桌时，在1张的基础上增加2人，可坐6＋2＝8（人）；3张餐桌时，在2张的基础上再增加2人，可坐8＋2＝10（人）； 由此可得规律：每增加1张餐桌，可坐人数增加2人，张餐桌可坐人数为。 据此解答。 （2）根据规律，可坐人数为（）人，令＝50，通过解方程即可求得需摆放餐桌数。 【详解】（1）根据规律，当＝9时， 2×9＋4 ＝18＋4 ＝22（人） （2）＝50 解： 8．168 【分析】根据图示，第一个图形可以摆1×3＝3个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：2×4＝8个；第三个图形可以摆棋子个数3×5＝15个；……第n个图形可以摆棋子个数n（n＋2）个，据此解答即可。 【详解】第12个图形需要黑色棋子数： 12×（12＋2） ＝12×14 ＝168（个） 9．110 【分析】第1个图案中棋子个数2个，可以写成：1×（1＋1）； 第2个图案中棋子个数6个，可以写成：2×（2＋1）； 第3个图案中棋子个数12个，可以写成：3×（3＋1）； 第4个图案中棋子个数20个，可以写成：4×（4＋1）； …… 由此可知，第n个图案中棋子个数是n×（n＋1）个，据此当n＝10时，求出棋子的总个数。 【详解】根据分析可知，第n个图案中棋子的个数是n×（n＋1）个。 当n＝10时： 10×（10＋1） ＝10×11 ＝110（个） 10．(1) 42 4n＋2 (2)24 【分析】（1）先观察图形：1个蓝色圆片周围有6个白色圆片，2个蓝色圆片周围有10个白色圆片，3个蓝色圆片周围有14个白色圆片……能发现每多1个蓝色圆片，白色圆片就多4个。 所以10个蓝色圆片时，白色圆片数量是（4×10＋2）个；n个蓝色圆片时，白色圆片数量是（4n＋2）个。 （2）已知白色圆片有98个，令4n＋2＝98，解方程即可求出蓝色圆片的数量。 【详解】（1）10×4＋2 ＝40＋2 ＝42（个） n×4＋2＝（4n＋2）个 （2）令4n＋2＝98 解：4n＋2－2＝98－2 4n＝96 4n÷4＝96÷4 n＝24 所以这组图形中一共有24个蓝色的圆片。 11．（1）；图见详解 （2） 【分析】（1）观察前面的三个等式可知第4个等式是；给出的是四个并排的正方形（边长为1），每个正方形被分成5等份，给每个正方形的前4份涂色，最后1份留白即可； （2）观察前面的三个等式可知第n个等式是（n为正整数）。 【详解】（1）第4个等式是； （2）写出你猜想的第n个等式是。 12．（1）图见详解 （2）100个 （3）个 【分析】第1个图形：1个三角形， 第2个图形：4个三角形， 第3个图形：9个三角形， 第4个图形：16个三角形， 第n个图形：个三角形，据此解答。 【详解】（1）第4个图形：16个三角形， （2）（个） 答：第10个图形共有100个小三角形。 （3）答：第n个图形共有个三角形。 13．（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【点睛】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 14． （1）见详解 （2）成反比例关系；不成比例；成正比例关系 （3） 【分析】（1）正方形的边长与正方形的个数的乘积为12。所有正方形的顶点总数是每次增加3个，正方形的面积与正方形的个数的乘积为144，据此可得答案； （2）利用（1）中所得规律，乘积一定是反比例，比值一定是正比例； （3）由所有正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和，可得答案。 【详解】（1）把表格填完整。 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长 12 6 4 3 … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 13 … 所有正方形的总面积 144 72 48 36 … （2）因为正方形的个数与边长的乘积一定，所以成反比例；因为正方形的边长与总面积的比值一定，所以成正比例。 （3）若正方形的个数是，顶点总数是，请用一个等式表示与的关系是。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $