23.2 直角三角形的性质 课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，涵盖两锐角互余、勾股定理、斜边上中线等于斜边一半，以及含30°角直角三角形性质及逆命题，通过复习已学性质引入新知，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于结合折叠问题、夏令营方向等实例，以“解题秘方”引导学生构造直角三角形推理，培养抽象能力与推理意识，课堂小结系统梳理边、角、中线关系，助力学生构建知识体系，教师可高效开展分层教学。

23.2 直角三角形的性质 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 直角三角形的性质 学习目标 知识点 直角三角形的性质 知1－讲 1 1. 已学过的直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 感悟新知 知1－讲 2. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半. 符号语言：如图23.2－1，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠ A＝30° ，∴ BC＝AB. 感悟新知 知1－讲 注意 应用性质的前提是在直角三角形中，如果已知图形中没有直角三角形或者未说明是直角三角形，就需要作垂线或者利用勾股定理的逆定理得到直角三角形. 感悟新知 知1－讲 拓宽视野 含30°角的直角三角形的性质的逆命题，是真命题，即在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 感悟新知 知1－练 例 1 [期中·杭州上城区]如图23.2－2，在等腰三角形ABC中，∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点.若AB＝5，则 DE的长为_______. 感悟新知 知1－练 解题秘方：先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解. 解：∵在等腰三角形ABC中，∠ BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC，AC＝AB＝5，∴ ∠ ADC＝90°. ∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝. 感悟新知 知1－练 1-1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝3，CE＝5，则 AC＝______. 8 感悟新知 知1－练 如图23.2－3，在 Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D在线段BC上，且∠B＝30° ，∠ADC＝60°，BC＝3，求 BD的长. 例 2 解题秘方：当直角三角形中有30°角时，一般都要考虑用含30°角的直角三角形的性质找线段之间的关系解答. 感悟新知 知1－练 解：设CD＝x，∵在Rt△ACD中，∠C＝90°， ∠ADC＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴ AD＝2CD＝2x. 又∵∠B＝30°， ∠ ADC＝∠B＋∠BAD， ∴∠BAD＝30°＝∠B，∴BD＝AD＝2x， ∴BC＝BD＋CD＝2x＋x＝3x. 又∵BC＝3，∴3x＝3，解得x＝1.∴BD＝2x＝2. 感悟新知 知1－练 2-1. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为______. 1＋ 感悟新知 知1－练 如图23.2－4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，BC′与 AD交于点E.若AD＝8 cm，AB＝ 4 cm，求 △ BDE的面积. 解题秘方：紧扣折叠的性质将要求的边与已知边都集中在同一个三角形中是解决问题的关键. 例 3 感悟新知 解：如图23.2－4，设DE＝x cm，则AE＝(8－x)cm. 由折叠的性质知△BCD≌△BC′D，则∠1＝∠2. 在矩形ABCD中，∵ AD∥BC，∴ ∠ 1＝∠3. ∴∠2＝∠3. ∴BE＝DE＝x cm. 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2＝AB2＋AE2， 即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5. ∴△BDE的面积为DE·AB＝×5×4＝10(cm2). 知1－练 将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解. 感悟新知 知1－练 3-1.[中考·威海]将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式折叠，使点C落在 AB上的点C′处，折痕为MN，点 D落在点D′处 ， C′D′交 AD于点E. 若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝______ . 感悟新知 直角三角形的性质 直角三角形 的性质 边 勾股定理 角 两个锐角互余 等于斜边的一半 斜边上的 中线 30°角所对 的直角边 课堂小结 应用 利用直角三角形的性质求线段长 1 如图23.2－5，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AC＝ 6 cm，求AD的长. 例 4 综合应用创新 解题秘方：要利用直角三角形的性质解决问题，需要构造直角三角形.本题可连结BD，先判断△CBD为直角三角形，再根据直角三角形的性质求解. 综合应用创新 解：如图23.2－5，连结BD. ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)＝30°. ∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD. ∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝90°. ∴DC＝2BD＝2AD. 又∵AC＝6 cm，∴AD＝AC＝×6＝2(cm). 综合应用创新 方法点拨 在直角三角形中求线段长时，要联想到三个知识点： (1)勾股定理； (2)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 综合应用创新 应用 利用直角三角形的性质求面积 2 如图23.2－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB上的中线CD＝1，△ABC的周长为2＋，求△ABC的面积. 例 5 综合应用创新 解题秘方：紧扣直角三角形的性质，表示出两直角边的和与平方和，运用整体思想求出两直角边之积. 解：∵∠ACB＝90°，斜边AB上的中线CD＝1， ∴AB＝2CD＝2. ∵△ABC的周长为2＋，∴BC＋AC＝. 又∵BC2＋AC2＝AB2＝4，BC2＋AC2＋2BC·AC＝(BC＋AC)2，∴BC·AC＝1.∴△ABC的面积为BC·AC＝. 综合应用创新 技巧点拨 若已知两直角边的平方和及两直角边的和,则运用乘法公式的变形,结合整体思想可求两直角边的乘积,从而直接求出直角三角形的面积. 综合应用创新 应用 利用直角三角形的性质证明边角关系 3 如图23.2－7，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点M为AB边的中点，连结ME，MD，ED. 求证： 例 6 综合应用创新 (1)△MED与△BMD都是等腰三角形； 思路导引： 综合应用创新 证明：∵ AD⊥BC，BE⊥AC， ∴△ABD，△ ABE为直角三角形. ∵点M为AB边的中点， ∴ME＝AB，MD＝AB，BM＝AB， ∴ME＝MD＝BM，∴△ MED与△BMD都是等腰三角形. 综合应用创新 (2)∠EMD＝2∠DAC. 思路导引： 综合应用创新 证明：∵ME＝AB＝MA，∴ ∠ MAE＝∠MEA， ∴∠BME＝2∠MAE. ∵MD＝AB＝MA，∴ ∠ MAD＝∠MDA. ∴∠BMD＝2∠MAD. ∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC. 综合应用创新 解题策略 1. 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个性质. 2. 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边上的中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决问题. 综合应用创新 应用 利用直角三角形的性质解决实际问题 4 如图23.2－8，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏东60°方向走了500 m到达点B，然后沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地点C. 例 7 综合应用创新 (1)求A，C两点之间的距离. 思路导引： 综合应用创新 解：如图23.2－8，过点B作EF//AD，则 ∠ABE＝∠DAB＝60°. 由题意知∠CBF＝30°， ∵∠CBF＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°，即△ABC为直角三角形. 由已知得BC＝500 m，AB＝500 m. ∴AC＝＝＝1 000(m). 故A，C两点之间的距离为1 000 m. 综合应用创新 (2)目的地点C在营地点A的什么方向？ 思路导引： 综合应用创新 解：在Rt△ABC中，∵ BC＝500 m，AC＝1 000 m， ∴ BC＝AC. 如图23.2－8，取AC的中点G，连结BG， ∵∠ABC＝90°，∴ BG＝ AC＝CG， ∴ BG＝CG＝BC，∴△BCG是等边三角形， ∴∠C＝60°，∴ ∠ CAB＝30°. 又∵∠DAB＝60°，∴ ∠ DAC＝30°. 故目的地点C在营地点A的北偏东30°方向上. 综合应用创新 易错警示 根据题中描述的方向在图中找角度时，一定要找准确，如图23.2-9，可在观测点的位置画方向十字找角度. 综合应用创新 易错点 忽略三角形的形状而导致漏解 [期中·上海浦东新区]在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠B＝ 30°， 则 BC＝________________.(结果保留根号) 例 8 3＋3或3－3 综合应用创新 错解：如图23.2－10，过点A作AD⊥BC于点D， 则∠ADB＝ ∠ADC＝90°. ∵∠B＝30°， AB＝6，∴ AD＝AB＝3， ∴BD＝＝＝3. CD＝＝＝3. ∴BC＝BD＋CD＝3＋3. 综合应用创新 正解：当∠ACB是锐角时，同错解. 当∠ACB是钝角时，如图23.2－11，过点A作 AD⊥ BC，交BC的延长线于点D，则 ∠ADB＝90°. 同理可得BD＝3，CD＝3， ∴BC＝BD－CD＝3－3. 综上，BC＝3＋3或3－3. 综合应用创新 诊误区： 当已知条件中没有给出图形时，往往需要分类讨论.本题中三角形的两边和其中一边的对角确定，由全等三角形的判定方法可知，三角形的形状不确定，需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论. 综合应用创新 $