精品解析：甘肃省平凉市第四中学2025-2026学年九年级中考数学模拟试题

平凉四中2026年中考仿真模拟考试题（卷）数学（150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 没有立方根 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 35 8. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 9. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 15. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 16. 用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖______块． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算． 18. 解不等式组： 19. 解方程：； 20. 如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） （2）根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 22. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机调查了100名市民，并将他们的满意度评分（满分100分，评分均为整数），进行分组整理，绘制了如下统计图表．其中，C组数据为：77，77，78，78，79，79，80，80，81，81，82，82，83，83，83． 满意度评分频数分布表 组别 频数 A（） 5 B（） C（） 15 D（） 41 E（） 18 满意度评分统计表如下： 平均数 中位数 众数 方差 84 n 88 180.12 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中，________，________； （2）扇形统计图中C组所对应扇形圆心角的度数为________，C组数据的众数为________； （3）若评分不低于80分视为“满意”，请估计该市680000名市民中，对创建全国文明城市工作感到“满意”的人数． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积． 25. 如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知 （1）求证：是的切线； （2）过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的值． 26. 四边形和四边形都是正方形，连接． （1）如图1，当点E在边上，点G在的延长线上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点D，E，G在同一条直线上时，与交于点O，若，求的长； （3）如图3，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点E在直线左侧时，与交于点H，与交于点O，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉四中2026年中考仿真模拟考试题（卷）数学（150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的立方根是（ ） A. B. C. 2 D. 没有立方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：的立方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，熟知上述性质是解题的关键． 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 已知点的坐标为，则它关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，利用该规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴则它关于轴对称的点的坐标为． 4. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是直角即可得解． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意； B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6. 若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 8. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可知， 年我国粮食产量一直增加，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知， 年我国粮食产量增长率先减少后增加，再减少，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可知，年我国粮食产量相比前一年一直在增加，原说法正确，符合题意； D、由统计图可知，相比 2023 年，2024 年我国粮食产量增长率减少，但是产量还是正增长，原说法错误，不符合题意 ． 9. 《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数日，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”意思是：一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“肉价=哑巴所带钱数，肉价=哑巴所带钱数”可得方程组． 【详解】解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，根据题意， 得， 故选：B． 10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质；根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为16，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为16，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，图形与坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交x轴于点，根据点可求出的度数，代入弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作交x轴于点． ， ，， ， ∴， ， 的长度为：． 故填：． 15. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【详解】解：由函数可得，， 顶点横坐标为， 故当温度为时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：． 16. 用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖______块． 【答案】4n+2 【解析】 【详解】根据第1个图形有6块白色地面瓷砖，第2个图形有10块白色瓷砖，每多1个黑色瓷砖则多4块白色瓷砖，根据此规律即可写出第n个图案中的白色瓷砖的块数． 解：第1个图案白色瓷砖的块数是：6， 第2个图案白色瓷砖的块数是：10=6+4， 第3个图案白色瓷砖的块数是：14=6+4×2， … 以此类推，第n个图案白色瓷砖的块数是：6+4（n-1）=4n+2． 故答案为（4n+2）． 本题考查了图形的变化问题的规律探寻，看出图形变化规律“每多一块黑色瓷砖则白色瓷砖增加4块”是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、特殊角的三角函数值、算术平方根、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 所以不等式组的解集为． 19. 解方程：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． 按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出方程的解，再检验即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 20. 如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） （2）根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 【答案】（1） 如图，点O为所作圆的圆心， （2） 【解析】 【分析】此题考查了确定圆心的位置、解直角三角形、等边三角形的性质等知识，正确作图和熟练掌握等边三角形的性质是关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）设直线交于点D，连接，求出，，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线交于点D，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为： 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 22. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机调查了100名市民，并将他们的满意度评分（满分100分，评分均为整数），进行分组整理，绘制了如下统计图表．其中，C组数据为：77，77，78，78，79，79，80，80，81，81，82，82，83，83，83． 满意度评分频数分布表 组别 频数 A（） 5 B（） C（） 15 D（） 41 E（） 18 满意度评分统计表如下： 平均数 中位数 众数 方差 84 n 88 180.12 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述表格中，________，________； （2）扇形统计图中C组所对应扇形圆心角的度数为________，C组数据的众数为________； （3）若评分不低于80分视为“满意”，请估计该市680000名市民中，对创建全国文明城市工作感到“满意”的人数． 【答案】（1）21；86 （2），83 （3）462400名 【解析】 【分析】（1）根据题意及中位数的定义可直接进行求解； （2）先得出C组数据人数所占百分比，然后根据众数的定义可进行求解； （3）根据题意可直接进行求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， 由D组折线统计图可知：得分85的有6人，得分86的有4人，得分87的有2人，得分88的有18人，得分89的有4人，得分90的有2人，得分91的有1人，得分92的有4人， ∵，， ∴根据中位数的定义可知：该组数据的中位数为第50和第51数据之和的平均数，即为； 【小问2详解】 解：由题意得： C组所对应扇形圆心角的度数为， 根据众数的定义可知：C组数据中出现次数最多的是83，故该组数据的众数是83； 【小问3详解】 解：由题意得： ； 答：该市680000名市民中，对创建全国文明城市工作感到“满意”的人数为462400名． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）若将一次函数的图象向下平移6个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可； 【小问1详解】 解：将点坐标代入得，． 所以反比例函数的表达式为． 将点坐标代入得，． 所以点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ，解得． 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 将一次函数的图象向下平移6个单位长度后， 所以直线的函数解析式为． 将代入得，． 所以点的坐标为． 令直线与轴的交点为． 将代入得，． 所以点的坐标为． 则． 所以，． 所以． 25. 如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，连接，，，已知 （1）求证：是的切线； （2）过点作的切线，与的延长线交于点，若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为，即，再证，从而可证，最后根据切线的判定，即可求证； （2）证明，从而可求，再根据切线的性质和切线长定理，可得，，设，最后利用勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，， ，则， 是的切线，是的切线，与的延长线交于点E， ，， 设，则，， 在中，， ，解得， ． ∴． 26. 四边形和四边形都是正方形，连接． （1）如图1，当点E在边上，点G在的延长线上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点D，E，G在同一条直线上时，与交于点O，若，求的长； （3）如图3，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点E在直线左侧时，与交于点H，与交于点O，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）的长为； （3）解：．理由如下： 如图，在上取点N，使得，连接， 由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连接，利用证明，得到，，再证明，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）在上取点N，使得，连接，证明，推出，，得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，理由略； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得或（舍去）， ∴的长为； 【小问3详解】 解：．理由略． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1） （2）①，②5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $