2026年江苏省苏州市中考数学考前冲刺卷1

**基本信息** 苏州2026中考数学冲刺卷以人工智能、消防救援等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与综合应用，适配三轮冲刺需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|科学记数法、反比例函数、概率|以人工智能大数据中心考科学记数法，体现时代性| |填空题|8/24|因式分解、旋转、垂直平分线|正方形旋转结合垂直平分线，考查空间观念| |解答题|11/82|统计应用、函数综合、几何变换|机器人误差检测考统计分析，消防救援车几何建模，抛物线与旋转综合，培养数据意识与应用能力|

苏州2026年中考考前冲刺卷1 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3.我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4.在反比例函数的图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 0.5 D. 2 5.将一块含的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 6. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 第5题 第6题 7.小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.如图，在△ABC中，BC=3，点D为AC延长线上的一点，AC=3CD，过点D作DHAB，交BC的延长线于点H，若∠CBD=∠A，则AB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 4.2 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10.把多项式因式分解的结果是_______________. 11.若x，y满足，则代数式的值为_____． 12. 点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 13.已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 14.如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______ 第14题 第15题 15. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则__________________． 16. 如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为_____． 三、解答题（共82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 20. 如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 21.如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 22. 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． （2）这组数据的中位数落在________组． （3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 25. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． （1）求证：F是的中点； （2）求证：； （3）若，，求的值． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2026年中考考前冲刺卷1 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算各选项值的绝对值，再通过“负数比较大小，绝对值越小，数越大”的性质即可解题． 【详解】解：先计算各选项数值的绝对值：，，，， 由于负数比较大小，绝对值越小，数越大，且， ∴， ∴比大的数是． 故选：A. 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； B、与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； C、与被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； D、与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意． 故选C． 3.我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：580亿， 故选：B． 4.在反比例函数的图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 0.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，在各个象限内y随x的增大而增大，则1-k<0，求出k的取值范围即可． 【详解】∵y都随x的增大而增大 ∴1-k<0，解得：k>1 故选：D 5.将一块含的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，即，即可得出的度数． 【详解】解：如图，为含有30°角的直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 6. 小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求扎到阴影区域（不包括边界）的概率就是求正三角形面积与圆的面积的比． 【详解】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R， 记圆的圆心为点O，过O作OD⊥BC与D，连接OA，OB，OC， ∵△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA， ∴∠BOC= ， ∵OB=OC， ∴ ∵OB=R， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 7.小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟）， ∴①正确，符合题意； ， ∴②正确，符合题意； 从书店到家的速度为（千米/分钟）， ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍， ∴③不正确，不符合题意； 当小明离家的路程为0.8千米时，得， 解得， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的有3个，分别是①②④． 故选：C． 8.如图，在△ABC中，BC=3，点D为AC延长线上的一点，AC=3CD，过点D作DHAB，交BC的延长线于点H，若∠CBD=∠A，则AB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 4.2 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断出△ABC∽△BHD，推得；然后根据△ABC∽△DHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可． 【详解】解：∵DHAB， ∴∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD， ∴△ABC∽△BHD， ∴， ∵△ABC∽△DHC， ∴， ∴AB=3DH， ∵BC=3， ∴CH=1， ∴BH=3+1=4， ∴， 解得：DH=2， ∴AB=3DH=3×2=6， 即AB的长是6． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 10.把多项式因式分解的结果是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】=m(4x2-y2)=m(2x+y)(2x-y)， 故答案为m(2x+y)(2x-y). 11.若x，y满足，则代数式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式乘法中利用整体代入的方法进行求值，灵活利用添括号的知识是解题的关键．将代数式变形为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 12. 点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 13.已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14.如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况分析：当点E在BC下方时记点E为点，点E在BC上方时记点E为点，连接，，根据垂直平分线的性质得，，由正方形的性质得，，由旋转得，，故，是等边三角形，，是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可． 【详解】 如图，当点E在BC下方时记点E为点，连接， ∵点落在边AD的垂直平分线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵BC绕点C旋转得， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， 当点E在BC上方时记点E为点，连接， ∵点落在边AD的垂直平分线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵BC绕点C旋转得， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，勾股定理，正弦函数，根据作图，得到，是的角平分线，利用等腰三角形三线合一性质，勾股定理计算，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】过点F作于点P，连接，可得四点共圆，则，根据角平分线的性质得到，证明，，那么，故四边形周长为，当最小时，四边形周长，当，即点重合时，最小，即为，再用面积法即可求解． 【详解】解：过点F作于点P，连接 ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∵与互补， ∴与互补， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长， ∴当，即点重合时，最小，即为， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴四边形周长为：， 故答案为：18． 三、解答题（共82分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示略． 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵x2-2x-2=0， ∴x2=2x+2=2（x+1）， ∴原式= ． 20. 如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． （1）结论：______． （2）证明过程： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识； （1）根据题意结合图形得； （2）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21.如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． （2）这组数据的中位数落在________组． （3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 【答案】（1）50，10，22 （2）C （3）116 【解析】 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图可知A组台数为5台，所占百分比为，由此可得抽取的机器人数，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台）， ∴，； 【小问2详解】 解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为， ∴这组数据的中位数落在C组； 【小问3详解】 解：由题意得： （台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可； （3）设直线交x轴于点D，先求出，，再根据，继而求出点M坐标即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把，代入一次函数， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 【小问3详解】 解：如图，设直线交x轴于点D， ∵一次函数，当时，， 解得，则， ， ， ， ∵交反比例函数图象于点C， ∴点关于点O对称， ， ， ， 或 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D， ∴， ∴， ∴； ∵轴，点B在反比例函数的图象上， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴． 25. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 26. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． （1）求证：F是的中点； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵E是的中点， ∴ ， . ， ， ， 是的中点． （2）证明：连接，连接， 是的直径， ， . ， . ∵四边形是的内接四边形， . ， . ， ， ， . . ， （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理，得到，则，由点O是中点，即可得到点F是的中点； （2）由等角的余角相等，得到，由圆内接四边形的性质，得到，则，得到，然后得到结论成立； （3）由题意，先求出的长度，由相似三角形的性质，得到，求出的长度，再由，即可求出答案． 【小问1详解】 同上，略 【小问2详解】 同上，略 【小问3详解】 解：， ， . . 是的直径， ， . ， . ， ， ， ． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $