第8章 第11节 圆锥曲线中的证明、探索性问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的证明与探索性问题，依据高考评价体系梳理了轨迹方程求解、几何量证明、定点存在性探究等核心考查点，通过近三年高考真题分析明确两类问题占解答题20%的权重，归纳出直接法、转化法等常考题型的解题框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养提升”的备考模式，如以2023新高考Ⅰ卷矩形周长证明题为例，示范用抛物线定义转化轨迹方程、结合基本不等式放缩的数学思维路径，培养学生逻辑推理与数学表达能力。提供“规律方法库”和“易错点警示”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实施精准复习指导。

第11节　圆锥曲线中的证明、探索性问题 高考总复习 2027 研考点•精准突破 考点一　证明问题 例1　(12分)(2023·新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程; 突破口:抛物线的定义.轨迹是以(0,)为焦点,以x轴为准线的抛物线. (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3. 关键点:将矩形的周长用相邻两边长的和的两倍表示,用基本不等式转化为正方形面积. 审题指导:(1)直接利用抛物线的定义写出方程(也可以用直接法列关系式求轨迹方程); (2)设各个顶点坐标及直线AB的斜率,利用基本不等式将矩形周长范围问题转化为相应正方形面积的范围,用放缩法证明. [规范解答] (2)证明:设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示, 将x2=k-x1,x3=- x1x1- x3x2- x1 x1=k(k-2x1), 即k2-=(2k+2)x1. ∵x1≥0,∴k2-≥0. ∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1. 教考链接 (人教A版选择性必修第一册3.3.2节例5)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴. 证明 如题图,以抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系Oxy. 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),① 点A的坐标为(,y0)(y0≠0),则直线OA的方程为y=x,② 抛物线的准线方程是x=-.③ 联立②③,可得点D的纵坐标为-. 因为焦点F的坐标是(,0),当≠p2时,直线AF的方程为y=(x-).④ 联立①④,消去x,可得y0y2-(-p2)y-y0p2=0,即(y-y0)(y0y+p2)=0,可得点B的纵坐标为-,与点D的纵坐标相等,于是DB平行于x轴. 当=p2时,易知结论成立. 所以,直线DB平行于抛物线的对称轴. 规律方法　圆锥曲线中的证明问题的解题方法 (1)直接法:即根据已知条件,运用所涉及的知识,通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可. (2)转化法:利用转化法证明圆锥曲线问题有三个策略. [对点训练1](2024·全国甲,理20)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,)在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴. (1)解 设椭圆C的左焦点为F1,则|F1F|=2,|MF|=, 又MF⊥x轴,所以|MF1|=,2a=|MF1|+|MF|=4,则a2=4,b2=a2-1=3. 故椭圆C的方程为=1. (2)证明 (方法1)设点A(x1,y1),B(x2,y2),=λ,则 (*) 即又 则3[-(λx2)2]+4[-(λy2)2]=12(1-λ2),所以3+4=12. 综合(*)式可得5λ-2λx2+3=0. 又点P(4,0),F(1,0),N(,0),则yQ==-λy2=y1,故AQ⊥y轴. (方法2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则, 即x1y2-x2y1=4(y2-y1), 所以(x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1) = =(4--(4- =4(y2-y1)(y2+y1) =4(y2-y1)(x1y2+x2y1), 所以x1y2+x2y1=y1+y2,2x2y1=5y1-3y2,又点P(4,0),F(1,0),N(,0), 则yQ==y1,故AQ⊥y轴. 考点二　探究性问题 例2　(2025·山西大同模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A是椭圆C上一动点,且|AF1|·|AF2|的最大值为6. (1)求椭圆C的方程. (2)已知直线x=my+3与椭圆C交于P,Q两点. ①若PQ中点的横坐标为,求实数m的值. ②已知点D(2,1),直线DP,DQ与直线x=3分别交于点M,N,平面内是否存在一点H,使得四边形DMHN为平行四边形?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为离心率为,所以. 由椭圆的定义知|AF1|+|AF2|=2a, 由基本不等式得|AF1|·|AF2|≤=a2=6,当且仅当|AF1|=|AF2|=a时,等号成立,故a=,所以c=,所以b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为=1. (2)①设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由得(m2+2)y2+6my+3=0, 由Δ=36m2-12(m2+2)>0,得m2>1,y1+y2=,y1y2=. 设PQ的中点坐标为(,y0),则y0==-. 因为点(,y0)在直线PQ上,所以=my0+3,即y0=-. 所以-=-,解得m=±. ②存在.假设存在点H(xH,yH)使得四边形DMHN为平行四边形, 因为点D(2,1)在椭圆上,所以易知x1≠2,x2≠2. 设直线DM的方程为y-1=(x-2), 令x=3,得yM=+1=+1=,同理yN=. 又由①知y1y2=-(y1+y2),所以yM+yN===0. 所以线段MN的中点坐标为(3,0). 连接DH,则线段DH的中点坐标也为(3,0). 由于D(2,1),可得所以点H的坐标为(4,-1). 规律方法　存在性的问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.书写步骤时,可以先直接写出探求的结论,然后说明理由(证明). (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时,可先确定,再证明结论符合题意. [对点训练2]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,且过点(). (1)求双曲线C的标准方程. (2)设Q为双曲线C的右支上的一个动点且该点位于第一象限,F为双曲线C的右焦点,在x轴的负半轴上是否存在定点M,使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)依题意结合c2=a2+b2,解得a=1,b=,c=2. 所以双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)存在.假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件. 由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0). 设Q(x0,y0)(x0>1,y0>0). 当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°, 所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,所以t=-1,即M(-1,0). 当x0≠2时,tan∠QFM=-kQF=-,tan∠QMF=kQM=. 因为∠QFM=2∠QMF,所以-. 将=3-3代入并整理得-2+(4+2t)x0-4t=-2-2tx0+t2+3, 所以解得t=-1,即M(-1,0). 综上,满足条件的点M存在,其坐标为(-1,0). (1)解:(方法1)由题意,点P的轨迹是以(0,)为焦点,以x轴为准线的抛物线, 1分 其顶点坐标是, 相当于把抛物线y=x2向上平移了个单位长度, 2分 故W的方程为y=x2+. 3分 (方法2)设点P坐标为(x,y), 由题意得x2+ y2=y2, 2分 于是y=x2+,经验证成立. 故W的方程为y=x2+. 3分 设直线AB的斜率为k(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧. 4分 A,B坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐标满足y3-y1=-(x3-x1). 又A,B,D在抛物线上,即y1= y2 y3, 代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=--x1. 5分 矩形ABCD的周长为2|AB|+2|AD|≥4,当且仅当|AB|=|AD|时,等号成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题) 6分 要证矩形ABCD的周长大于3. 7分 ∵|AB|=x2- x1·(x1-x3), ∴x2- x1·(x1-x3), 得x1-x3=k(x2-x1). 8分 则|AB|=x2- x1x1. 9分 正方形面积S=|AB|2=. 10分 ∵k2+1≥2k,∴≥4(当k=1时“=”成立). ∵k2+1≥2k,∴2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2,则(当k=1时“=”成立). 11分 则S=≥2(当k=1时“=”成立). 显然S=. 即矩形ABCD的周长大于3. 12分 $