北京市第八十中学2026届高三下学期数学保温测试1（2026.5.30）

**基本信息** 本卷为高中数学周测保温卷，涵盖集合、函数、数列等12个核心知识点，通过基础选择、情境填空、综合解答题梯度设计，考查数学抽象、运算推理及应用意识，适配高三复习阶段能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题（约40分）|集合运算、函数性质、数列、向量、解析几何（双曲线、抛物线）|基础概念辨析，如第4题充分不必要条件考查逻辑推理| |填空题|4题（约20分）|函数定义域、放射性核素衰减（指数模型）、不等式恒成立|情境化设计，第13题以锶89衰减为背景，体现数学建模| |解答题|3题（约40分）|立体几何（线面平行、二面角）、概率统计（分布列、期望）、导数（切线、极值、零点）|综合性强，15题电影节短片展播结合数据观念，16题导数综合考查推理与创新意识|

保温测试1（2026.5.30） 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 5．已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 7．已知点M是抛物线上的一点，点F是C的焦点，点为线段的中点，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器的体积为 . A． B． C． D． 10．函数的定义域为__________. 11. 设，则____． 12．若对任意的实数，恒成立，则满足条件的一组，的值为_____，_____. 13．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则，，之间的等量关系为________． 14．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点E是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 15.在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为10分钟，相邻短片播放无时间间隔. （Ⅰ）求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； （Ⅱ）记随机变量为从展播开始计时，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； （Ⅲ）设随机变量为从展播开始计时，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（Ⅱ）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 16.已知函数，. （1）当时， ① 求曲线在处的切线方程； ② 求证：在上有唯一极大值点； （2）若没有零点，求取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保温测试1 参考答案 1．D 【解析】全集，集合，所以. 2．D 【解析】由，则. 3．A 【解析】解：设等差数列的公差为d，由，，构成等比数列，得：，整理得：，即．化简得：，即．． 4．C 【解析】 若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 5．B 【解析】由题意得，，因为，所以，得. 6．A 【解析】由双曲线的离心率，得，所以该双曲线的渐近线方程为． 7．D 【解析】由可得，准线为， 又因点为线段的中点，则点的坐标为， 而等于点到准线的距离，即. 8．C 【解析】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 9．B 【解析】 依题意，正四棱锥的底面正方形边长为6，斜高为，则底面正方形边心距为， 于是正四棱锥的高为， 所以这个容器侧面的体积为.. 10． 【解析】，解得 11. 255 【解析】因为， 所以令，可得，， 令，可得，， （1）式减（2）式可得：． 12． 【解析】由，所以可取， 由诱导公式知，， 所以可取， 故答案为：；. 13． 【解析】由题意可得则 即因为，所以． 故答案为：． 14．【解析】 （1）证明：为平行四边形，连接交于，连接,点E是的中点,,平面,平面,平面. （2）证明：由题意可知：平面平面,,平面建立如图所示的平面直角坐标系：以A为坐标原点，以AC方向为轴，AB方向为轴，AP方向为轴建立直角坐标系O-xyz 设 故，，， ， 设平面的法向量为 因为底面为平行四边形，所以， 故D点坐标为：，点E是的中点，故点 所以 于是,设，故平面的一个法向量为 由题意可知平面的一个法向量为 ，故两法向量的夹角为 故二面角的平面角为. 15. 【解析】 （Ⅰ）设“第个播放的短片为文明出行宣传短片”为事件,中包含的基本事件只有个，基本事件的总数为，所以. -------------（3分） （Ⅱ）随机变量可能的取值为，且，. 20 30 所以，随机变量的分布列为 所以. -------------（10分） （Ⅲ）. -------------（13分） 16.【解析】 （1）若，则，. ①在处，，. 所以曲线在处的切线方程为. ②令，， 在区间上，，则在区间上是减函数. 又， 所以在上有唯一零点. 列表得： + - 极大值 所以在上有唯一极大值点. （2）， 令，则. ①若，则，在上是增函数. 因为，， 所以恰有一个零点. 令，得. 代入，得， 解得. 所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意. ②若，此时的定义域为. 当时，，在区间上是减函数； 当时，，在区间上是增函数. 所以. 又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意. 综上，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $