第3章第2节 导数与函数的单调性——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”核心考点，依据新课标要求梳理了导数与单调性的关系、单调区间求解及参数范围确定等考查要点，通过知识要点归纳（如充要条件辨析）和常考题型分类（不含参/含参单调区间、单调性应用），精准对接高考评价体系，明确参数范围问题等高频考点的权重分布，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题驱动+方法建模+素养落地”，如以2025年江西南昌模拟题为例，示范含参函数单调性讨论的“定义域—求导—根的比较”三步法，培养学生的数学思维（推理能力）；通过江苏期末题构造函数比较大小，渗透数学语言（模型观念）。特设易错点警示（如单调区间不可用并集连接）和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效开展针对性复习，提升备考实效。

第3章 一元函数的导数及其应用 第2节 导数与函数的单调性 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 1.函数的单调性:在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 3.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 课前自测 6 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在定义域上恒有f'(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (2)若函数f(x)在定义域(a，b)内单调递增，那么一定有f'(x)≥0.(　　) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (4)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间能用并集“∪”及“或”连接.(　　) (5)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则函数f(x)在定义域内的增区间为(a，b).(　　) × × √ × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.[选择性必修2p98T3](多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则(　　) A.在区间(-2，1)上f(x)单调递增 B.在区间(2，3)上f(x)单调递减 C.在区间(4，5)上f(x)单调递增 D.在区间(3，5)上f(x)单调递减 BC 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 [解析] 在区间(-2，1)上，当x∈时，f'(x)<0， 当x∈时，f'(x)>0， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增，A错误; 在区间(3，5)上，当x∈(3，4)时，f'(x)<0， 当x∈(4，5)时，f'(x)>0， 即f(x)在(3，4)上单调递减，在(4，5)上单调递增，C正确，D错误; 在(2，3)上f'(x)<0，∴f(x)单调递减，故B正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.已知f(x)=-x3-x，c<b<a，则(　　) A.f(c)<f(a)<f(b) 　B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(c)<f(b)<f(a) 　D.f(a)<f(b)<f(c) D [解析] ∵f'(x)= -3x2-1<0， ∴函数f(x)= -x3-x是R上的减函数. ∵c<b<a，∴f(c)>f(b)>f(a). 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 4.[选择性必修2p97T2]函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是　　　　　 　　　.  (-∞，-2)， [解析] 由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0，得x<-2或x>， 故f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1，+∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] C.[2，+∞) D.[1，+∞) D [解析] 因为f(x)=kx-ln x，所以f'(x)=k- . 因为f(x)在区间(1，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，f'(x)=k-≥0恒成立， 即k≥ 在区间(1，+∞)上恒成立. 因为x>1，所以0<<1，所以k≥1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考点突破 13 考点1 求不含参数函数的单调区间 例1　(1)若函数f(x)=2ln x+x+，求f(x)的单调区间. [解析] 由函数f(x)=2ln x+x+，可得其定义域为(0，+∞)， 且f'(x)= +1-= = ，x>0. 令f'(x)=0，可得x=1， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减; 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增. 综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 (2)已知函数g(x)=ex-1-1-ln x，求 g(x)的单调区间. [解析] 由函数g(x)=ex-1-1-ln x，可得其定义域为(0，+∞)， 且g'(x)=ex-1-，定义域为(0，+∞). 因为y=ex-1和y= -在(0，+∞)上单调递增，所以g'(x)在(0，+∞)上单调递增，又g'(1)=0，所以当x∈(0，1)时，g'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0. 所以函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 [小结]确定函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f'(x). (3)解不等式f'(x)≥0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f'(x)≤0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 1.已知定义在区间(-π，π)上的函数f(x)=xsin x+cos x，则f(x)的单调递增区 间是　　　　　　　　　　　　　.  [解析] f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 令f'(x)=xcos x≥0，则其在区间(-π，π)上的解集为∪， 即f(x)的单调递增区间为. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 2.(2025·四川达州·一模)函数f(x)=(x+m)ex(m∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线过点(2，2)，则函数y=f(x)的增区间为(　　) A.(-∞，-1) B.(0，+∞) C.(-1，+∞) D.(0，e) C [解析] f'(x)=ex+(x+m)ex，f'(0)=1+m，f(0)=m， 因为函数f(x)=(x+m)ex(m∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线过点(2，2)， 所以1+m= ，解得:m=0，所以f(x)=xex， f'(x)=(x+1)ex， 令f'(x)>0，则x+1>0⇒x>-1， 所以函数y=f(x)的增区间为(-1，+∞).故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 考点2 含参函数的单调性讨论 例2　(2025·江西南昌·模拟预测)已知函数f(x)=2ax+(2-a)ln x+. 当a<0时，讨论f(x)的单调性. [解析] 由题意可知f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a+ - = . 由f'(x)=0可得x=或x= -， 当a= -2时，f'(x)= ≤0，故f(x)在(0，+∞)上单调递减. 当a<-2时，>-，故令f'(x)>0，解集为， 令f'(x)<0，解集为∪， 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 因此f(x)的递增区间为，递减区间为. 当-2<a<0时，<-，令f'(x)>0，解集为， 令f'(x)<0，解集为∪， 因此f(x)的递增区间为，递减区间为. 综上所述，当a=-2时，f(x)在(0，+∞)上单调递减; 当a<-2时，f(x)的递增区间为，递减区间为; 当-2<a<0时，f(x)的递增区间为，递减区间为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [小结]1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以下几种可能:(1)f'(x)=0是否有根;(2)若f'(x)=0有根,求出的根是否在定义域内;(3)若在定义域内有两个根,比较两个根的大小. 2.讨论函数f(x)单调性的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f'(x),并求方程f'(x)=0的根. (3)利用f'(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f'(x)的正负,由符号确定f(x)在该区间上的单调性. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 3.已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R)，讨论函数f(x)的单调性. [解析] 因为f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6[x2+(1+m)x+m]=6(x+1)(x+m)， 若m=1时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增; 若m>1时，-m<-1，当x<-m或x>-1时，f'(x)>0，f(x)为增函数， 当-m<x<-1时，f'(x)<0，f(x)为减函数; 若m<1时，-m>-1，当x<-1或x>-m时，f'(x)>0，f(x)为增函数， 当-1<x<-m时，f'(x)<0，f(x)为减函数. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 综上，m=1时，f(x)在R上单调递增; 当m>1时，f(x)在(-∞，-m)和(-1，+∞)上单调递增，在(-m，-1)上单调递减; 当m<1时，f(x)在(-∞，-1)和(-m，+∞)上单调递增，在(-1，-m)上单调递减. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 考点3 用导数解决函数单调性的应用问题 角度1.比较大小 例3　已知a=ln(2e)，b=ln(3e)，c=，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c B [解析] 设g(x)= ，其中x>0，则g'(x)= - ， 当0<x<时，g'(x)>0，函数g(x)在(0，)上单调递增， 当x>时，g'(x)<0，函数g(x)在(，+∞)上单调递减， 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 因为a= ln(2e)= = =g(2)， b=ln(3e)= = =g(3)，c= = =g(e)， 因为<2<e<3，所以g(2)>g(e)>g(3)， 即>>， 所以a>c>b，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]1.构造函数,应用导数求解函数值的比较大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解. 常构造的辅助函数有:g(x)= xf(x),g(x)= ,g(x)= exf(x),g(x)= , g(x)=ln x·f(x),g(x)= 等. 2.构造函数,应用导数求解不等式解集时,先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)). 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 角度2.利用函数单调性解不等式 例4　定义在R上的函数y=f(x)，其导数为y'=f'(x)，且满足f'(x)<1，则不等式f(x)-f(20)≥x-20的解集是(　　) A.(20，+∞) B.[20，+∞) C.(-∞，20] D.(-∞，20) C [解析] 令g(x)=f(x)-x， 则g'(x)=f'(x)-1<0， 所以g(x)在R上单调递减，所以由f(x)-f(20)≥x-20可得:f(x)-x≥f(20)-20，即g(x)≥g(20)，所以x≤20，故选C. [小结]与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数， 再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 角度3.根据函数的单调性求参数 例5　　函数f(x)=在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.[-3，-2) B.(-3，-2] C.[-3，-2] D.(-3，-2) C [解析] 因为函数f(x)=在R上单调递减， 所以当x≤0时，f'(x)=a-2sin x≤0恒成立，则a≤(2sin x)min=-2; 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 当x>0时，由f(x)=ax2-x-2a-4在(0，+∞)上递减， 若a=0，f(x)=-x-4，合题意， 若a≠0，则⇒a<0，故a≤0， 又分段点处也要满足递减的性质，所以-2a-4≤2，解得a≥-3. 综上所述，a∈[-3，-2]，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [小结]根据函数单调性求参数的取值范围的方法: (1)函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. (2)函数在区间(a,b)上存在单调递增(或递减)区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集(非空). (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 4.若函数f(x)=(ax+1)ex在[1，2]上为增函数，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D.[0，+∞) B [解析] 依题意得f'(x)=(ax+a+1)ex≥0对x∈[1，2]恒成立， 即ax+a+1≥0对x∈[1，2]恒成立. 因为y=ax+a+1的图象为直线， 所以解得a≥-.故选B. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 5.(2025·高三·江苏·期末)已知实数x，y满足yex=xe2y，则下列关系一定正确的是(　　) A.x<y B.2x<y C.x<2y D.x>2y D [解析] 由yex=xe2y可知，=， 设g(x)=，x>1，g'(x)=>0， 所以g(x)在(1，+∞)上单调递增， 因为g(x)==>=g(2y)，x>1，2y>1，所以x>2y. 故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 6.已知函数f(x)=ln x-ax-2在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. B [解析] 由f'(x)= -a= . ①当a≤0时，函数f(x)单调递增，不合题意; ②当a>0时，函数f(x)的极值点为x=， 若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有1<<2，解得<a<1， 综上所述，实数a的取值范围为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 7.(2025·陕西·模拟预测)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-bx是R上的增函数，则(　　) A.a=b B.a= C.a=ln b D.a=eb C [解析] 由f(x)=ex-bx， 得f'(x)=ex-bx+ab=， 因为f(x)是R上的增函数，则f'(x)≥0恒成立，即≥0恒成立， 当b≤0时，ex-b>0，此时x-a≥0不恒成立，不满足题意; 当b>0时，等价于(x-a)(x-ln b)≥0对x∈R恒成立，则a=ln b. 故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 8.(2025·安徽蚌埠·三模)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都是R，若函数f(x)是偶函数，f'(x)+e-x+x也是偶函数，且f(a)>f(3a-1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ C [解析] 因为f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，等式两边求导可得f'(x)=-f'(-x)，① 因为函数f'(x)+e-x+x为偶函数，则f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x，② 联立①②可得f'(x)=-x， 令g(x)=f'(x)，则g'(x)=-1≥-1=0，且g'(x)不恒为零， 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 所以，函数g(x)在R上为增函数，即函数f'(x)在R上为增函数， 故当x>0时，f'(x)>f'(0)=0，所以，函数f(x)在[0，+∞)上为增函数， 由f(a)>f(3a-1)可得f(|a|)>f(|3a-1|)， 所以，|a|>|3a-1|，整理可得8a2-6a+1<0，解得<a<.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 $