第3章 第9节函数与导数——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦函数与导数专题，覆盖三角函数性质、导数求最值等核心考点，依据高考评价体系分析近三年真题，明确导数应用、三角恒等变换等高频考点分布，归纳“求导化简”“构造函数”等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题母题引领+分步思维建模”，如2025年全国1卷第19题，通过求导分析单调性、反证法证明存在性等步骤，培养学生数学思维和运算能力。设置“易错点警示”和“答题步骤规范”，帮助学生掌握导数应用技巧，教师可依托真题训练精准突破考点，提升复习效率。

第3章 函数与导数 第9节 真题规范练 2027届高中数学一轮复习 [例题] (17分)(2025·全国1,19)(1)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]的最大值; (2)给定θ∈(0,π)和a∈R,证明:存在y∈[a-θ,a+θ]使得cos y≤cos θ; (3)设b∈R,若存在φ使得5cos x-cos(5x+φ)≤b对x∈R恒成立,求b的最小值. 命题分析本题以三角函数为载体,考查三角函数性质、三角恒等变换、和差化积、三角函数求导、导数求函数单调性、导数求函数最值等知识.试题实现知识融合,体现基础性、思维性、综合性.通过函数求导,对函数解析式的化简、变形,单调区间的求解等,考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养,考查逻辑推理与运算求解能力. 解题分析 题意理解 序号 信息读取 信息加工 1 求f(x)在[0,]的最大值 最值需要端点值和极值点比较,需要求导 2 cos y≤cos θ 借助函数图象,该题型新颖,考虑反证法 3 5cos x-cos(5x+φ)≤b 求双参数的最大值 思路探求 关键步骤 思维要点 思维缘由 (第1问)求导后如何化简 由sin 5x-sin x,可构造5x=3x+2x,x=3x-2x 需要找到条件里面两个角的整体联系 sin 5x-sin x=2sin 2xcos 3x 和差化积公式 (第2问)如何找到y∈[a-θ,a+θ]与cos y ≤cos θ的联系 由cos y≤cos θ,得2kπ+θ≤y≤2kπ+2π-θ 确定了不等式解集 (第3问)如何把第三问条件转接到第二问上 设h(x)=5cos x-cos(5x+φ),求函数的最小值 恒成立、有解问题转化为构造函数的最值问题 书写表达 (2)证明 (方法1)由余弦函数的性质得cos y≤cos θ的解为[2kπ+θ,2kπ+2π-θ], k∈Z. 回顾反思试题以三角函数的极值问题为载体,核心问题是第(3)问,第(1)问和第(2)问都是铺垫.在第(1)问中,考生需要求出给定函数f(x)=5cos x-cos 5x在给定区间[0,]上的最大值.虽然目标函数是三角函数,但如果想直接使用三角函数公式转化,求出5倍角公式的过程会十分复杂,计算量也很大.而如果直接求导,导数的形式较为简捷,且判断导函数的正负也并不困难,这体现了试题“多想少算”的设计理念.虽然第(3)问中实际需要的是f(x)在R上的最大值,但如果第(1)问就如此提问,考生可能会陷入对大量驻点的讨论之中.第(1)问中只提问f(x)在区间[0,]上的最大值,不仅使求导后的过程简化,同时也提示考生第(3)问所需的最大值就是在区间[0,]上的最大值,这体现了对考生的人文关怀,也是以问题驱动,帮助考生自主探究完成困难的问题. 真题练习 D ABC ACD (1)解 (方法1)∵f(x)=5cos x-cos 5x,x∈[0,], ∴f'(x)=-5sin x+5sin 5x=5(sin 5x-sin x)=10cos 3xsin 2x,sin 2x≥0, 2分 令f'(x)=0,则x=. ∴f(x)在区间[0,)上单调递增,在区间(]上单调递减, 4分 ∴f(x)max=f()=3. 5分 (方法2)cos 5x=cos(x+4x)=cos xcos 4x-sin xsin 4x=cos x(2cos22x-1)- sin x·2sin 2xcos 2x=cos x[2-1]-sin x·2·2sin xcos xcos 2x =cos x(8cos4x-8cos2x+1)-4cos xcos 2xsin2x =8cos5x-8cos3x+cos x-4cos x(2cos2x-1)(1-cos2x)=16cos5x-20cos3x+5cos x, 2分 ∴f(x)=5cos x-cos 5x=5cos x-(16cos5x-20cos3x+5cos x)=20cos3x-16cos5x =4cos3x(5-4cos2x)≤4|cos x|3(5-4|cos x|2)=4|cos x|3(-2|cos x|)(+2|cos x|) =[|cos x|·|cos x|·|cos x|·-2|cos x|)·+2|cos x|)]≤[|cos x| +|cos x|+|cos x|+-2|cos x|)++2|cos x|)]5=×()5=3. 4分 这得到f(x)≤3,同时又有f()=5cos-cos=3, 故f(x)在区间(0,)上的最大值为3,在R上的最大值也是3. 5分 若任意[2kπ+θ,2kπ+2π-θ],k∈Z与[a-θ,a+θ]交集为空,则a-θ>2kπ+2π-θ且a+θ<2kπ+2π+θ,此时a无解,∴存在k∈Z,使得[2kπ-θ,2kπ+θ]∩(a-θ,a+θ)≠⌀. 9分 故存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ成立. 10分 (方法2)由余弦函数的性质知cos y≤cos θ的解为[2kπ+θ,2(k+1)π-θ](k∈Z),若每个k∈Z,[2kπ+θ,2(k+1)π-θ]与[a-θ,a+θ]交集都为空,则对每个k∈Z,必有2(k+1)π-θ<a-θ或2kπ+θ>a+θ之一成立. 此即k<-1或k>,但长度为1的闭区间[-1,]上必有一整数k,该整数k不满足条件,矛盾. 9分 故存在y∈[a-θ,a+θ],使得cos y≤cos θ成立. 10分 (3)解 (方法1)∵f(-x)=5cos(-x)-cos(-5x)=f(x),f(x+2π)=f(x), ∴f(x)是以2π为周期的偶函数. 由(1)进一步可得f(x)在区间(0,)上单调递增,在区间()上单调递减,在区间(,π)上单调递增,f(π)=-4<3, 由对称性和周期性可知f(x)≤3. 14分 令h(x)=5cos x-cos(5x+φ), 当φ=0时,h(x)=f(x)≤3,此时bmin=3, 当φ≠0时,由(2)可知∃x∈[-],5x+φ∈[φ-,φ+], 使得cos(5x+φ)≤cos, 此时 即5cos x-cos(5x+φ)≥3,即b≥3. 16分 综上所述,b的最小值为3. 17分 (方法2)由(1)知,当x∈[0,]时,f(x)≤3,当x∈(,π]时,f(x)<5cos-(-1)<3, ∵f(x)是周期为2π的偶函数, ∴f(x)≤3对任意x∈R恒成立, 14分 ∴当b≥3时,存在φ=0,使得5cos x-cos(5x+φ)≤b恒成立. 当b<3时,令θ=,由(2)知,存在y∈[φ-,φ+],使得cos y≤cos=-, 令x=,则x∈[-], 故5cos x-cos(5x+φ)=5cos x-cos y≥-(-)=3>b, ∴当b<3时,不符合题意. 16分 ∴b的最小值是3. 17分 1．[2023年全国高考真题]已知函数 在区间 单调递增，则a的最小值为( ) A. B.e C. D. 解析：法一： ，由 在区间 单调递增可知，当 时， 恒成立.当 时， ，不符合题意.当 时，设 ，则 ，则 在 单调递增，所以只需 ，解得 ，故选C. 法二：由题意可知 在区间 上恒成立，即 ， .设 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， ，所以 ，即 ，故选C. 2．[2024秋高三河南许昌期中联考]若过点 可以作曲线 的两条切线，则( ) A. B. C. D. 解析：解法一：在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，所以曲线在点P处的切线方程为 ，即，由题意可知，点 在直线 EMBED Equation.DSMT4 上，可得 ，令，则 .当时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，所以， ，由题意可知，直线 与曲线 的图像有两个交点，则 ，当时， ，当时， ，作出函数的图像如下图所示： 由图可知，当 时，直线与曲线 的图像有两个交点，故选：D. 解法二：画出函数曲线的图像如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线，由此可知.故选：D. 3．[2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题]（多选）已知函数 的定义域为R， ，则( ) A. B. C. 是偶函数 D. 为 的极小值点 解析：取 ，则 ，故A正确； 取 ，则 ，所以 ，故B正确； 取 ，则 ，所以 ，取 ，则 ，所以 ，所以函数 为偶函数，故C正确； 由于 ，且函数 为偶函数，所以函数 的图象关于y轴对称，所以 可能为函数 的极小值点，也可能为函数 的极大值点，也可能不是函数 的极值点，故D不正确.故选ABC. 4．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]（多选）设函数 ，则( ) A. 是 的极小值点 B.当 时， C.当 时， D.当 时， 解析：对A，因为函数 的定义域为R，而 ，易知当 时， ，当 或 时， ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小值点，A正确； 对B，当 时， ，所以 ，而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，B错误； 对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，C正确； 对D，当 时， ，所以 ，D正确；故选：ACD. 7．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]已知函数 . （1）若 ，且 ，求a的最小值； （2）证明：曲线 是中心对称图形； （3）若 当且仅当 ，求b的取值范围. 解析：（1） 的定义域为 . 当 时， ，所以 ， 因为 ，所以 ，依题意得 ， 所以当 时，a取到最小值 . （2）证明：因为 ， 所以 ，所以 ， 所以曲线 关于 中心对称，即曲线 是中心对称图形. 由（2）知曲线 关于 中心对称，且 在 内连续， 故 ，即 ， ， ，易知 ， 所以当 时， 在 上恒成立， 单调递增，所以 成立. 当 时，存在 ，使得 ，即 . 所以在 上， ， 单调递减， 又 ，所以在 上有 ，不符合题意.综上，可得 . $