素能培优(10)　几何法求线面角、二面角及距离课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“几何法求线面角、二面角及距离”专题，依据高考评价体系梳理了线面角、二面角、空间距离三大核心考点，通过高考真题（如2022全国甲卷理18题）分析，明确线面角、二面角为高频考查内容，归纳证明垂直、求角的正弦值、求空间距离等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题多解法+思维升华+对点训练”策略，如例1通过坐标法、定义法、间接法（等体积法）突破线面角求解，培养学生的空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。特设“思维升华”总结定义法三步骤、间接法公式，配合对点训练巩固技巧，助力学生高效得分，为教师提供精准复习指导。

素能培优(十)　几何法求线面角、二面角及距离 高考总复习 2027 1.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是90°;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°. (2)范围:. 2.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角 若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围:[0,π]. 3.空间距离 (1)点到平面的距离:过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做点到该平面的距离. (2)直线到平面的距离:一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. (3)平面到平面的距离:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离,叫做这两个平行平面的距离. 题型一　求直线与平面所成的角 例1　(2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB, AD=DC=CB=1,AB=2,DP=. (1)证明:BD⊥PA; (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 题型一 题型二 题型三 (1)证明 ∵PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴PD⊥BD.取AB的中点E,连接DE. ∵CD=1,BE=AB=1,CD∥BE, ∴四边形CDEB是平行四边形, ∴DE=CB=1. ∵DE=AB, ∴△ABD为直角三角形,AB为斜边,∴BD⊥AD. ∵PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD. 又PA⊂平面PAD,∴BD⊥PA. 题型一 题型二 题型三 (2)解 (方法1　坐标法)由(1)知,PD,AD,BD两两垂直,以点D为坐标原点,DA,DB,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,其中BD=. 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,), ∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0). 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), 则 题型一 题型二 题型三 取x=,则y=z=1,则n=(,1,1). 设直线PD与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|=, ∴直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 题型一 题型二 题型三 (方法2　定义法)过点D作DE⊥AB于点E,连接PE,过点D作DH⊥PE,垂足为H. ∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AB. 又AB⊥DE,PD∩DE=D,PD,DE⊂平面PDE,∴AB⊥平面PDE. 又DH⊂平面PDE,∴DH⊥AB. 又DH⊥PE,PE∩AB=E,PE,AB⊂平面PAB,∴DH⊥平面PAB. ∴∠DPE为直线PD与平面PAB所成的角. ∵DP=,DE=,∠PDE=90°, ∴PE=, ∴sin∠DPE=,∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为. 题型一 题型二 题型三 (方法3　间接法)在△PAB中,PA==2,AB=2. 由(1)知,BD⊥AD,则BD=. 又PD⊥BD,则PB=. 在△PAB中,PB上的高为. ∴S△PAB=. 题型一 题型二 题型三 设D到平面PAB的距离为h, 则由VD-PAB=VP-ABD得×h=×2×,∴h=. 设直线PD与平面PAB所成角为θ,则sin θ=. ∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为. 题型一 题型二 题型三 教考链接 (人教A版必修第二册复习参考题8第13题)如图,在三棱锥P-ABC中, ∠ACB=90°,PA⊥底面ABC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值. 题型一 题型二 题型三 (1)证明 ∵PA⊥底面ABC,BC⊂底面ABC,∴BC⊥PA. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC. ∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC,∵BC⊂平面PBC, ∴平面PAC⊥平面PBC. (2)解 取PC的中点D,连接AD. ∵AC=PA,∴AD⊥PC. ∵平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC, ∴AD⊥平面PBC. 连接DM,则∠AMD就是AM与平面PBC所成角. 设AC=BC=PA=a,则AD=,AM=,∴DM=, ∴tan∠AMD=,∴AM与平面PBC所成角的正切值是. 题型一 题型二 题型三 思维升华　1.定义法求线面角的三个步骤: 一作(找)角,二证明,三计算,其中作(找)角是关键,先找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,然后把线面角转化到三角形中求解. 2.间接法:利用sin θ=,其中θ是斜线与平面所成的角,h是垂线段的长,l是斜线段的长.此法适用于斜线在平面内射影不容易作出的情况. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2026·湖北孝感高三月考)在正三棱台ABC-A1B1C1中, AB=2A1B1,P,Q分别是AB,AC的中点. (1)求证:四边形B1PQC1是矩形; (2)若A1B1=A1A,求直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值. 题型一 题型二 题型三 (1)证明 ∵P,Q分别是AB,AC的中点,∴PQ∥BC,PQ=BC. ∵正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,∴B1C1=BC,B1C1∥BC, ∴PQ∥B1C1,PQ=B1C1, ∴四边形B1PQC1为平行四边形. 延长AA1,BB1,CC1交于点T,过点T作TO⊥平面ABC,垂足为O,连接OA. ∵ABC-A1B1C1为正三棱台,∴三棱锥T-ABC为正三棱锥. ∵TO⊥平面ABC,∴O为△ABC的中心,∴AO⊥BC. 题型一 题型二 题型三 又BC⊂平面ABC,∴TO⊥BC. ∵AO∩TO=O,AO,TO⊂平面AOT,∴BC⊥平面AOT. ∵AT⊂平面AOT,∴BC⊥AT. ∵B1C1∥BC,B1C1=BC, ∴B1为BT中点. 又P为AB中点,∴B1P∥AT, ∴BC⊥B1P. 又PQ∥BC,∴PQ⊥B1P, ∴四边形B1PQC1为矩形. 题型一 题型二 题型三 (2)解 延长AO交BC于点M,连接TM,作AH⊥TM,垂足为H,连接CH. 由(1)知,BC⊥平面AOT,又AH⊂平面AOT, ∴AH⊥BC. ∵TM∩BC=M,TM,BC⊂平面BCC1B1,∴AH⊥平面BCC1B1, ∴∠ACH即为直线AC与平面BCC1B1所成角. 不妨设AA1=1,则AT=2AA1=2,AM=TM=,AO=AM=, ∴OT=,∴AH=, ∴sin∠ACH=,即直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 题型一 题型二 题型三 题型二　求二面角 例2　(2026·重庆高三入学考试)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,且BC=AD=1,BC∥AD,等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD,BC⊥PD. (1)求证:BC⊥平面PCD; (2)若四棱锥P-ABCD的体积为,求二面角P-AB-D的余弦值. 题型一 题型二 题型三 (1)证明 如图,取CD的中点H,连接PH,∵△PCD是等边三角形,∴PH⊥CD. ∵平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,PH⊂平面PCD,PH⊥CD,∴PH⊥平面ABCD. ∵BC⊂平面ABCD,∴PH⊥BC. 又BC⊥PD,PH∩PD=P,PH,PD⊂平面PCD,∴BC⊥平面PCD. 题型一 题型二 题型三 (2)解 由(1)知,BC⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,得CD⊥BC,故四边形ABCD为直角梯形. 设等边三角形PDC的边长为a,则PH=a,即四棱锥P-ABCD的高为a, 故VP-ABCD=a××a=,故a=2,故PH=. 如图,连接BH,AH,在平面ABCD内过点H作HE⊥AB,垂足为E,连接PE, 题型一 题型二 题型三 ∵PH⊥平面ABCD,而AB⊂平面ABCD, ∴PH⊥AB. ∵HE∩PH=H,HE,PH⊂平面PHE, ∴AB⊥平面PHE. 又PE⊂平面PHE,∴AB⊥PE, ∴∠PEH为二面角P-AB-D的平面角. 在直角梯形ABCD中,AB=,S△AHB=×2×(1+2)-×1×(1+2)=,故×EH=, 故EH=,故PE=,故cos∠PEH=. 题型一 题型二 题型三 思维升华　作二面角的平面角的三种方法 (1)定义法 利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,这是一种最基本的方法.特别适合于棱两侧是以棱上的某条线段为底的等腰三角形. 题型一 题型二 题型三 (2)三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直,来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的一个半平面的垂线.此方法是属于较常用的. 很容易证明以下定理: 三垂线定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直. (3)垂面法 作与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2]在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=,求二面角V-AB-C的大小. 题型一 题型二 题型三 解 取AB的中点D,连接VD,CD. 在△VAB中,VA=VB=AB=2,∴△VAB为等边三角形,∴VD⊥AB且VD=. 同理,CD⊥AB,CD=,∴∠VDC为二面角V-AB-C的平面角. ∵△VDC是等边三角形,∠VDC=60°, ∴二面角V-AB-C的大小为60°. 题型一 题型二 题型三 题型三　求空间距离 例3　如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=3,点M,N分别在PA,BD上,且. 求证:(1)MN⊥AD; (2)MN∥平面PBC,并求直线MN到平面PBC的距离. 题型一 题型二 题型三 证明 (1)连接AN并延长交BC于点E,连接PE. ∵,则. ∵AD∥BC,, ∴,即, ∴,∴MN∥PE. ∴,BC=AD,故E为BC的中点. 在正四棱锥中,PA=AB,则PC=PB, ∴PE⊥BC,即PE⊥AD,∴MN⊥AD. 题型一 题型二 题型三 (2)由(1)得MN∥PE,且MN⊄平面PBC,PE⊂平面PBC,∴MN∥平面PBC,故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离,设点N到平面PBC的距离为h,S△PBC=BC·PE=×3, S△NBC=BC×DC=×3×3=3,点P到平面ABCD的距离h'===3, 由VP-NBC=VN-PBC,得×S△NBC×h'=×S△PBC×h, ∴×3×3=×h,得h=. 题型一 题型二 题型三 思维升华　直线到平面的距离、平面到平面的距离一般都转化到点到平面的距离,求点到平面的距离一是考虑直接法,二是考虑等体积法. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,E是BB1上的一点,且EB1=1,D,F,G分别是CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H. (1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求平面EFG与平面ABD之间的距离. 题型一 题型二 题型三 (1)证明 由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C.又AB⊥BC,平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AB⊂平面ABC,∴AB⊥平面BB1C1C. ∵B1D⊂平面BB1C1C,∴AB⊥B1D. ∵BC=CD=DC1=B1C1=2, ∴在Rt△DCB和Rt△DC1B1中,∠BDC=∠B1DC1=45°, ∴∠BDB1=90°,即B1D⊥BD. 又AB∩BD=B,AB,BD⊂平面ABD, ∴B1D⊥平面ABD. 题型一 题型二 题型三 (2)解 由题意知,EB1=B1F=1, ∴在Rt△EB1F中,∠FEB1=45°. 又∠DBB1=45°,∴EF∥BD. ∵BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD, ∴EF∥平面ABD. ∵G,F分别为A1C1,B1C1的中点, ∴GF∥A1B1. 又A1B1∥AB,∴GF∥AB. ∵AB⊂平面ABD,GF⊄平面ABD, ∴GF∥平面ABD. 题型一 题型二 题型三 ∵EF⊂平面EFG,GF⊂平面EFG,EF∩GF=F,∴平面EFG∥平面ABD. ∵B1D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD, ∴B1D⊥平面EFG,∴HD的长度即为平面EFG与平面ABD之间的距离, ∴HD=B1D-B1H==2,即平面EFG与平面ABD之间的距离为. 题型一 题型二 题型三 $