6.4　第1课时　分组转化法、错位相减法求和 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列求和专题，依据课标要求巩固等差等比数列前n项和公式，系统梳理分组转化法、错位相减法等核心方法。通过对接高考评价体系，分析近五年真题考点权重，归纳“通项拆分”“奇偶分组”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如以2023年全国甲卷错位相减真题为例，详解“展开—乘公比—错位相减—求和”四步流程，培养学生数学思维与运算能力。特设规律方法总结和对点训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此实施精准复习，助力高考冲刺。

第4节　第1课时　分组转化法、错位相减法求和 高考总复习 2027 课标解读　1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.2.掌握数列求和的裂项相消法、错位相减法、分组转化法、并项转化法、倒序相加法,能够解决数列的求和问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(北师大版选择性必修第二册复习题一第15(1)题改编)已知数列1,2,3,4,…,则它的前n项和为　　　　　　　　.  解析 数列的通项公式为n+,所以前n项和为(1+2+3+…+n)+(+…+)=+1-. 2.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第6题)数列1,11,111,1 111,…的前n项和为　　　　　　　.  解析 数列的通项公式为an=(10n-1),所以前n项和为Sn=[(10-1)+(102-1) +…+(10n-1)]=[(10+102+…+10n)-n]=-n]=n= . 3.(人教A版选择性必修第二册习题4.3第3(2)题改编)1+2x+3x2+…+nxn-1 =　　　　 　 .(x≠0且x≠1)  解析 设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,① 则xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,② ①-②得(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn, 因为x≠1,所以Sn=. 4.(人教B版选择性必修第三册第57页复习参考题B组第7题)已知数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}前8项和S8=　　　　.  36 解析 由an+1+(-1)nan=2n-1可得a2-a1=1①,a3+a2=3②,a4-a3=5③,a5+a4=7④,a6-a5=9⑤,a7+a6=11⑥,a8-a7=13⑦.②-①得a3+a1=2,同理⑥-⑤得a5+a7=2; ②+③得a2+a4=8,同理⑥+⑦得a6+a8=24,于是S8=(a1+a3+a5+a7)+(a2+a4+a6+a8)=2+2+8+24=36. 知识梳理 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列求和公式:Sn==na1+d. 推导方法:倒序相加法 (2)等比数列求和公式: Sn= 推导方法:乘公比,错位相减法 2.非特殊数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和后再相加减. (2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. (3)并项转化法:若一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则求和时可用并项转化法. (4)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (5)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. 研考点•精准突破 考点一　分组转化法求和 例1　(2026·河南南阳期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n-1,n∈N*. (1)求证:数列{an+n}为等比数列; (2)求数列{an}的前n项和Tn. 考点一 考点二 (1)证明 因为an+1=3an+2n-1,所以an+1+(n+1)=3an+2n-1+(n+1),即an+1+(n+1)=3(an+n), 于是=3, 所以数列{an+n}是公比为3的等比数列. (2)解 因为a1=1,所以a1+1=2,即{an+n}是首项为2,公比为3的等比数列, 所以an+n=2×3n-1,则an=2×3n-1-n. 所以Tn=a1+a2+…+an=(2×1-1)+(2×3-2)+(2×32-3)+…+(2×3n-1-n) =2×(1+3+32+…+3n-1)-(1+2+…+n)=2×=3n-1-. 即数列{an}的前n项和Tn=3n-1-. 考点一 考点二 规律方法　适合分组转化法求和的两种常见类型 考点一 考点二 [对点训练1](2026·山东日照模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且S6,S8,S7成等差数列. (1)求an; (2)设bn=Tn是数列{bn}的前n项和,求T2n. 考点一 考点二 解 (1)由题意得2S8=S6+S7,即S8-S6=S7-S8, 所以a7+a8=-a8,则2a8=-a7,则等比数列{an}的公比q=-. 又a1=1,故an=(-)n-1. (2)由(1)得bn= 则T2n=(2+4+…+2n)+[(-)0+(-)2+(-)4+…+(-)2n-2]= =n2+n+[1-()n]. 考点一 考点二 考点二　错位相减法求和 例2　(12分)(2023·全国甲,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan. (1)求{an}的通项公式; 突破口:已知Sn与an的关系,可利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解答. (2)求数列的前n项和Tn. 关键点:化简数列得通项公式)n,可看作一个等差数列与一个等比数列的积,所以用错位相减法求和. 审题指导:(1)根据an=求解. (2)写出数列的通项公式,并利用错位相减法求和. 考点一 考点二 [规范解答] 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 考点一 考点二 规律方法　错位相减法求数列{an}的前n项和的步骤与注意事项 (1)适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列,求数列{an·bn}的前n项和Sn. 考点一 考点二 (2)基本步骤 (3)注意事项 由于错位相减法过程复杂,为了确保结果的正确性,一般要检验S1=a1b1是否成立. 考点一 考点二 [对点训练2](2026·山东泰安模拟)已知数列{an}中,a1=1, nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (1)求证:数列{}是等差数列; (2)给定正整数m,设函数f(x)=x2+x3+…+xm+1,求f'(3). 考点一 考点二 (1)证明 因为nan+1=(n+1)an+n(n+1), 所以+1,即=1. 所以{}是以=1为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)得=1+(n-1)·1=n,所以an=n2.所以f(x)=x2+x3+…+xm+1, 故f'(x)=x+2x2+…+mxm. 因此f'(3)=3+2·32+…+m·3m,① 所以3f'(3)=1×32+2×33+3×34+…+(m-1)·3m+m·3m+1,② ①-②得,-2f'(3)=31+32+33+…+3m-m·3m+1=-m·3m+1=, 所以f'(3)=. 考点一 考点二 解 (1)由题意可知,2Sn=nan, ① 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1, ② 1分 ①-②得2an=nan-(n-1)an-1, ∴(n-1)an-1=(n-2)an. 2分 (方法1　构造数列)当n≥3时,是从第2项开始的常数数列, 4分 当n=2时,=a2=1, ∴an=n-1(n≥2), 5分 当n=1时,2a1=a1,a1=0,满足上式, ∴an=n-1(n∈N*). 6分 (方法2　累乘法)由2Sn=nan可知,当n=1时,2a1=a1,a1=0,a2=1, 3分 , ∴an=×1=n-1. 5分 显然a1=0满足, ∴an=n-1(n∈N*). 6分 (2)由(1)可知an=n-1(n∈N*), ∴an+1=n, ∴)n, 7分 ∴Tn=1×()n, ③ 8分 )n+1, ④ 9分 ③-④得,)n+1, 11分 ∴Tn=2-(2+n)·()n. 12分 $