期末复习：滑块弹簧模型、滑块曲面模型 专项训练 -2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦滑块弹簧与曲面模型，通过多情境问题训练动量守恒与能量守恒综合应用，强化科学思维中的模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |滑块弹簧模型|含例1-3及变式1-3|涉及碰撞粘连、弹簧弹性势能、多体相互作用|以动量守恒为基础，结合机械能守恒分析弹簧形变与能量转化，推导速度与势能关系| |滑块曲面模型|含例1-3及变式1-3|涵盖固定/不固定圆弧、相对位移、传送带多过程|通过水平动量守恒与机械能守恒结合，分析曲面运动中速度、位移及能量损耗，建立运动过程与守恒定律的对应关系|

期末复习：滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 期末复习：滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 考点目录 滑块弹簧模型 滑块曲面模型 考点一 滑块弹簧模型 7．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)vm1或 【详解】（1）（1）假设小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处与A的竖直高度差为h，此时圆弧槽、小球速度相等，设为v，根据水平方向由动量守恒，有 由机械能守恒，有 解得， 说明小球恰能运动到与A等高处，且此时圆弧槽、小球速度均为0。设某一时刻小球水平分速度为，圆弧槽速度为，对圆弧槽、小球，水平方向由动量守恒，有 经过一小段时间，有 设从释放到小球第一次运动到圆弧面右侧到达最高处的过程，小球及圆弧槽对地的位移分别为、，变形可得 又有 解得 可得小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处的位置坐标为。 （2）小球从释放到第一次运动到最低点B的过程，圆弧槽向左加速，圆弧槽和滑块没有分开，小球第一次运动到最低点 B时，圆弧槽与滑块向左的速度达到最大。设此时小球的速度为，圆弧槽与滑块的速度为，水平方向动量守恒，有 系统机械能守恒，有 解得， 之后圆弧槽和滑块分离，不再接触。设小球再运动到最低点B处时小球及圆弧槽速度分别为、，小球与圆弧槽水平方向动量守恒，有 小球与圆弧槽机械能守恒，有 可得vm1或 8．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)0.5 (3)0.5m 【详解】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，则 解得 （2）小物块从滑上平板车到圆弧最高点的过程，根据能量守恒定律可得 解得 （3）设小物块最终与车相对静止时二者的共同速度为，此过程水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律可得 解得 10．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 【答案】(1)4m/s，2m/s (2) (3) 【详解】（1）由水平方向动量守恒，整体的机械能守恒，则， 解得 （2）Q以v1=4m/s的速率反弹，追上P，Q上升至最高点时二者共速，以向左为正，则， 解得 （3）同理有， 解得 故P最终速率为 12．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆弧轨道水平动量守恒 根据机械能守恒定律，有 解得物块在轨道最低点时的速度 （2）由于物块沿传送带运动过程中摩擦力方向会发生改变，需要分段考虑当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，则此过程中物块的加速度为 设物块与传送带达到共速所需时间为，减速运动公式 物块与传送带达到共速后，摩擦力方向变为沿传送带向上，此过程加速度为 设物块从共速到速度减为零所需时间为，减速运动公式 注意到共速前后摩擦力方向会改变，在传送带上滑动过程中，摩擦力的冲量为 计算可得，其方向沿传送带向上。 （3）经足够长时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为。 根据动能定理，摩擦力做的功为 计算得 例1．（25-26高二下·天津静海·阶段检测） 如图所示，物块、的质量，用水平轻弹簧拴接，静止放在光滑的水平地面上，质量的物块以速度向右运动与物块相碰（时间极短）后与物块粘在一起不再分开。求： (1)物块C与物块A碰后瞬间的速度； (2)弹簧的最大弹性势能； 例2．（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 例3．（25-26高二下·浙江·期中）如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 变式1．（25-26高二下·浙江台州·期中）如图所示，在光滑水平地面有一质量为的物块P（未固定），其上表面为光滑的半径为的四分之一圆弧轨道，圆弧顶端点切线竖直，P右端与水平地面相切，右侧某处有一被压缩锁定的轻质弹簧，弹簧右端固定在水平地面上。现有一可视为质点的质量为的小滑块从距圆弧顶端点正上方的点自由下落，恰好沿光滑圆弧轨道滑到光滑水平面上然后碰撞弹簧，碰撞瞬间弹簧解除锁定，将小滑块向左弹回。重力加速度大小，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内且无能量损失。 (1)当小滑块滑到P右端时，求滑块的速度大小和P的速度大小； (2)求小滑块滑到P右端时，P对滑块的支持力的大小和方向； (3)要使小滑块反弹后恰能到达和点相同的高度，求弹簧对小滑块的冲量的大小。 变式2．（25-26高二下·陕西榆林·阶段检测）如图所示，质量为、半径的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑水平地面上，质量为的小球Q右侧与球心等高处连接一轻质弹簧，弹簧的另一端距圆弧槽底有一定距离。现将质量为的小球P从圆弧槽顶端由静止释放，重力加速度g取小球P、Q大小、形状相同、且可视为质点。求： (1)若圆弧槽固定不动，小球P滑离圆弧槽时的速度大小； (2)若圆弧槽不固定，小球P滑离圆弧槽时的速度大小； (3)圆弧槽不固定的情况下，弹簧压缩过程中的最大弹性势能。 变式3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小。 考点二 滑块曲面模型 7．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)vm1或 【详解】（1）（1）假设小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处与A的竖直高度差为h，此时圆弧槽、小球速度相等，设为v，根据水平方向由动量守恒，有 由机械能守恒，有 解得， 说明小球恰能运动到与A等高处，且此时圆弧槽、小球速度均为0。设某一时刻小球水平分速度为，圆弧槽速度为，对圆弧槽、小球，水平方向由动量守恒，有 经过一小段时间，有 设从释放到小球第一次运动到圆弧面右侧到达最高处的过程，小球及圆弧槽对地的位移分别为、，变形可得 又有 解得 可得小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处的位置坐标为。 （2）小球从释放到第一次运动到最低点B的过程，圆弧槽向左加速，圆弧槽和滑块没有分开，小球第一次运动到最低点 B时，圆弧槽与滑块向左的速度达到最大。设此时小球的速度为，圆弧槽与滑块的速度为，水平方向动量守恒，有 系统机械能守恒，有 解得， 之后圆弧槽和滑块分离，不再接触。设小球再运动到最低点B处时小球及圆弧槽速度分别为、，小球与圆弧槽水平方向动量守恒，有 小球与圆弧槽机械能守恒，有 可得vm1或 8．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)0.5 (3)0.5m 【详解】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，则 解得 （2）小物块从滑上平板车到圆弧最高点的过程，根据能量守恒定律可得 解得 （3）设小物块最终与车相对静止时二者的共同速度为，此过程水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律可得 解得 10．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 【答案】(1)4m/s，2m/s (2) (3) 【详解】（1）由水平方向动量守恒，整体的机械能守恒，则， 解得 （2）Q以v1=4m/s的速率反弹，追上P，Q上升至最高点时二者共速，以向左为正，则， 解得 （3）同理有， 解得 故P最终速率为 12．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆弧轨道水平动量守恒 根据机械能守恒定律，有 解得物块在轨道最低点时的速度 （2）由于物块沿传送带运动过程中摩擦力方向会发生改变，需要分段考虑当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，则此过程中物块的加速度为 设物块与传送带达到共速所需时间为，减速运动公式 物块与传送带达到共速后，摩擦力方向变为沿传送带向上，此过程加速度为 设物块从共速到速度减为零所需时间为，减速运动公式 注意到共速前后摩擦力方向会改变，在传送带上滑动过程中，摩擦力的冲量为 计算可得，其方向沿传送带向上。 （3）经足够长时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为。 根据动能定理，摩擦力做的功为 计算得 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 例2．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 例3．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 变式1．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 变式2．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 变式3．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 期末复习：滑块弹簧模型、滑块曲面模型专项训练 考点目录 滑块弹簧模型 滑块曲面模型 考点一 滑块弹簧模型 7．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)vm1或 【详解】（1）（1）假设小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处与A的竖直高度差为h，此时圆弧槽、小球速度相等，设为v，根据水平方向由动量守恒，有 由机械能守恒，有 解得， 说明小球恰能运动到与A等高处，且此时圆弧槽、小球速度均为0。设某一时刻小球水平分速度为，圆弧槽速度为，对圆弧槽、小球，水平方向由动量守恒，有 经过一小段时间，有 设从释放到小球第一次运动到圆弧面右侧到达最高处的过程，小球及圆弧槽对地的位移分别为、，变形可得 又有 解得 可得小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处的位置坐标为。 （2）小球从释放到第一次运动到最低点B的过程，圆弧槽向左加速，圆弧槽和滑块没有分开，小球第一次运动到最低点 B时，圆弧槽与滑块向左的速度达到最大。设此时小球的速度为，圆弧槽与滑块的速度为，水平方向动量守恒，有 系统机械能守恒，有 解得， 之后圆弧槽和滑块分离，不再接触。设小球再运动到最低点B处时小球及圆弧槽速度分别为、，小球与圆弧槽水平方向动量守恒，有 小球与圆弧槽机械能守恒，有 可得vm1或 8．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)0.5 (3)0.5m 【详解】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，则 解得 （2）小物块从滑上平板车到圆弧最高点的过程，根据能量守恒定律可得 解得 （3）设小物块最终与车相对静止时二者的共同速度为，此过程水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律可得 解得 10．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 【答案】(1)4m/s，2m/s (2) (3) 【详解】（1）由水平方向动量守恒，整体的机械能守恒，则， 解得 （2）Q以v1=4m/s的速率反弹，追上P，Q上升至最高点时二者共速，以向左为正，则， 解得 （3）同理有， 解得 故P最终速率为 12．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆弧轨道水平动量守恒 根据机械能守恒定律，有 解得物块在轨道最低点时的速度 （2）由于物块沿传送带运动过程中摩擦力方向会发生改变，需要分段考虑当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，则此过程中物块的加速度为 设物块与传送带达到共速所需时间为，减速运动公式 物块与传送带达到共速后，摩擦力方向变为沿传送带向上，此过程加速度为 设物块从共速到速度减为零所需时间为，减速运动公式 注意到共速前后摩擦力方向会改变，在传送带上滑动过程中，摩擦力的冲量为 计算可得，其方向沿传送带向上。 （3）经足够长时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为。 根据动能定理，摩擦力做的功为 计算得 例1．（25-26高二下·天津静海·阶段检测） 如图所示，物块、的质量，用水平轻弹簧拴接，静止放在光滑的水平地面上，质量的物块以速度向右运动与物块相碰（时间极短）后与物块粘在一起不再分开。求： (1)物块C与物块A碰后瞬间的速度； (2)弹簧的最大弹性势能； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由物块C、A组成系统动量守恒得 代入数据得 （2）当C、A、B共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得 由能量守恒得 代入数据得 例2．（2026·天津南开·二模）如图所示，质量为2m的物块P静止在光滑水平地面上，其右侧表面是半径为R的光滑圆弧轨道，圆弧轨道下端与水平地面相切。物块P右侧静止有质量为m的球b，球b左侧固定有轻弹簧。将质量为m的球a从圆弧轨道最上端静止释放，球a离开物块P后与轻弹簧左侧接触并粘连。已知重力加速度为g，弹簧的形变始终在弹性限度内。求： (1)若物块P固定，整个运动过程中弹簧的最大弹性势能Ep； (2)若物块P不固定，球a离开物块P瞬间速度va的大小，及球b能达到的最大速度vb的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）若物块P固定，球a由静止释放到离开物块P的过程中，由动能定理得 球a与弹簧接触后，球a与球b组成的系统动量守恒，当二者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得整个运动过程中弹簧的最大弹性势能 （2）P不固定时，下滑过程中，和P组成的系统水平方向动量守恒，且系统机械能守恒。 规定向右为正方向，设离开P时P的速度为，由动量守恒 由机械能守恒 整理得 与弹簧粘连后，、和弹簧组成的系统水平面光滑，动量守恒、机械能守恒。当弹簧恢复原长时，的速度达到最大； 设弹簧恢复原长时的速度为，由动量守恒​ 由机械能守恒 联立解得球b能达到的最大速度 例3．（25-26高二下·浙江·期中）如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 【答案】(1)2m/s (2) (3)，方向水平向右 【详解】（1）根据机械能守恒定律可得 解得 （2）当A、B共速时，有 解得 弹簧的最大弹性势能为 解得 （3）以水平向左为正方向，根据动量守恒定律可得 根据机械能守恒定律可得 联立解得 所以弹簧对A的冲量为 则A的冲量大小为，方向水平向右。 变式1．（25-26高二下·浙江台州·期中）如图所示，在光滑水平地面有一质量为的物块P（未固定），其上表面为光滑的半径为的四分之一圆弧轨道，圆弧顶端点切线竖直，P右端与水平地面相切，右侧某处有一被压缩锁定的轻质弹簧，弹簧右端固定在水平地面上。现有一可视为质点的质量为的小滑块从距圆弧顶端点正上方的点自由下落，恰好沿光滑圆弧轨道滑到光滑水平面上然后碰撞弹簧，碰撞瞬间弹簧解除锁定，将小滑块向左弹回。重力加速度大小，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内且无能量损失。 (1)当小滑块滑到P右端时，求滑块的速度大小和P的速度大小； (2)求小滑块滑到P右端时，P对滑块的支持力的大小和方向； (3)要使小滑块反弹后恰能到达和点相同的高度，求弹簧对小滑块的冲量的大小。 【答案】(1)， (2)，方向竖直向上 (3) 【详解】（1）小滑块从释放到P右端，水平方向系统动量守恒     系统机械能守恒     联立解得， （2）小滑块在P右端时 代入解得 方向竖直向上。 （3）小滑块向右以碰到弹簧，向左以反弹离开弹簧，规定向左为正方向，小滑块从向左滑上P到最高点，系统水平方向动量守恒     系统机械能守恒     联立解得 小滑块被弹簧反弹前后，速度方向发生改变水平方向动量定理 解得 变式2．（25-26高二下·陕西榆林·阶段检测）如图所示，质量为、半径的四分之一光滑圆弧槽静置于光滑水平地面上，质量为的小球Q右侧与球心等高处连接一轻质弹簧，弹簧的另一端距圆弧槽底有一定距离。现将质量为的小球P从圆弧槽顶端由静止释放，重力加速度g取小球P、Q大小、形状相同、且可视为质点。求： (1)若圆弧槽固定不动，小球P滑离圆弧槽时的速度大小； (2)若圆弧槽不固定，小球P滑离圆弧槽时的速度大小； (3)圆弧槽不固定的情况下，弹簧压缩过程中的最大弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若圆弧槽固定，小球P机械能守恒，有 解得 （2）若圆弧槽不固定，槽和小球P组成的系统在水平方向动量守恒若以向左为正方向，在水平方向，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 联立解得 （3）当小球P、Q速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，由动量守恒定律有 解得 根据能量守恒定律有 变式3．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求： (1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、； (2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小。 【答案】(1)，方向水平向左，，方向水平向右 (2) 【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有 由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。 （2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的锁定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得， 锁定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得 考点二 滑块曲面模型 7．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)vm1或 【详解】（1）（1）假设小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处与A的竖直高度差为h，此时圆弧槽、小球速度相等，设为v，根据水平方向由动量守恒，有 由机械能守恒，有 解得， 说明小球恰能运动到与A等高处，且此时圆弧槽、小球速度均为0。设某一时刻小球水平分速度为，圆弧槽速度为，对圆弧槽、小球，水平方向由动量守恒，有 经过一小段时间，有 设从释放到小球第一次运动到圆弧面右侧到达最高处的过程，小球及圆弧槽对地的位移分别为、，变形可得 又有 解得 可得小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处的位置坐标为。 （2）小球从释放到第一次运动到最低点B的过程，圆弧槽向左加速，圆弧槽和滑块没有分开，小球第一次运动到最低点 B时，圆弧槽与滑块向左的速度达到最大。设此时小球的速度为，圆弧槽与滑块的速度为，水平方向动量守恒，有 系统机械能守恒，有 解得， 之后圆弧槽和滑块分离，不再接触。设小球再运动到最低点B处时小球及圆弧槽速度分别为、，小球与圆弧槽水平方向动量守恒，有 小球与圆弧槽机械能守恒，有 可得vm1或 8．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)0.5 (3)0.5m 【详解】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，则 解得 （2）小物块从滑上平板车到圆弧最高点的过程，根据能量守恒定律可得 解得 （3）设小物块最终与车相对静止时二者的共同速度为，此过程水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律可得 解得 10．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 11．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 【答案】(1)4m/s，2m/s (2) (3) 【详解】（1）由水平方向动量守恒，整体的机械能守恒，则， 解得 （2）Q以v1=4m/s的速率反弹，追上P，Q上升至最高点时二者共速，以向左为正，则， 解得 （3）同理有， 解得 故P最终速率为 12．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆弧轨道水平动量守恒 根据机械能守恒定律，有 解得物块在轨道最低点时的速度 （2）由于物块沿传送带运动过程中摩擦力方向会发生改变，需要分段考虑当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，则此过程中物块的加速度为 设物块与传送带达到共速所需时间为，减速运动公式 物块与传送带达到共速后，摩擦力方向变为沿传送带向上，此过程加速度为 设物块从共速到速度减为零所需时间为，减速运动公式 注意到共速前后摩擦力方向会改变，在传送带上滑动过程中，摩擦力的冲量为 计算可得，其方向沿传送带向上。 （3）经足够长时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为。 根据动能定理，摩擦力做的功为 计算得 例1．（25-26高二下·山西晋中·期中）如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为、半径为且圆弧面光滑的半圆弧槽。一质量为的小球从圆弧槽左端最高点由静止释放，小球可视为质点，整个过程圆弧槽不翻转，重力加速度为。以点的初始位置为坐标原点，直径方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。 (1)求小球第一次运动到圆弧面右侧时，能够到达的最高处的位置坐标； (2)若小球从点由静止释放前，地面上紧贴半圆弧槽左侧放有质量为的滑块（与槽不粘连），求小球运动到最低点处时速度大小的可能值。 【答案】(1) (2)vm1或 【详解】（1）（1）假设小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处与A的竖直高度差为h，此时圆弧槽、小球速度相等，设为v，根据水平方向由动量守恒，有 由机械能守恒，有 解得， 说明小球恰能运动到与A等高处，且此时圆弧槽、小球速度均为0。设某一时刻小球水平分速度为，圆弧槽速度为，对圆弧槽、小球，水平方向由动量守恒，有 经过一小段时间，有 设从释放到小球第一次运动到圆弧面右侧到达最高处的过程，小球及圆弧槽对地的位移分别为、，变形可得 又有 解得 可得小球第一次运动到圆弧面右侧时能够到达的最高处的位置坐标为。 （2）小球从释放到第一次运动到最低点B的过程，圆弧槽向左加速，圆弧槽和滑块没有分开，小球第一次运动到最低点 B时，圆弧槽与滑块向左的速度达到最大。设此时小球的速度为，圆弧槽与滑块的速度为，水平方向动量守恒，有 系统机械能守恒，有 解得， 之后圆弧槽和滑块分离，不再接触。设小球再运动到最低点B处时小球及圆弧槽速度分别为、，小球与圆弧槽水平方向动量守恒，有 小球与圆弧槽机械能守恒，有 可得vm1或 例2．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 例3．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）如图所示，光滑水平面上有一质量的平板车，车的上表面是一段长的粗糙足够长水平轨道，水平轨道左侧连一半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点处相切。现将一质量的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度滑上平板车，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为，小物块恰能到达圆弧轨道的最高点。取，求： (1)小物块到达圆弧轨道的最高点时小车的速度大小； (2)小物块与水平轨道间的动摩擦因数； (3)小物块与车最终相对静止时，小物块距点的距离。 【答案】(1)1m/s (2)0.5 (3)0.5m 【详解】（1）平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，则 解得 （2）小物块从滑上平板车到圆弧最高点的过程，根据能量守恒定律可得 解得 （3）设小物块最终与车相对静止时二者的共同速度为，此过程水平方向动量守恒，则 根据能量守恒定律可得 解得 变式1．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 变式2．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，质量为的四分之一圆弧形滑块静止于水平面上，其圆弧底端与水平面相切。在滑块右侧较远处有一固定的竖直弹性挡板，将一质量为的小球从滑块顶端正上方距水平面处由静止释放，小球恰能沿切线落入滑块。小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，所有接触面均光滑，重力加速度取。求： (1)、第一次分离时各自的速率； (2)第二次滑上时能上升的最大高度； (3)滑块最终的速率。 【答案】(1)4m/s，2m/s (2) (3) 【详解】（1）由水平方向动量守恒，整体的机械能守恒，则， 解得 （2）Q以v1=4m/s的速率反弹，追上P，Q上升至最高点时二者共速，以向左为正，则， 解得 （3）同理有， 解得 故P最终速率为 变式3．（25-26高二下·浙江·期中）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。半径为R、质量为m的四分之一圆弧轨道放置在光滑水平面上，通过水平短轨道AB与倾角为的传送带平滑连接。传送带以恒定速率顺时针转动。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余轨道均光滑。现有一质量也为m的物块，在圆弧轨道最高P静止下滑，到达水平轨道，再经B点滑上传送带。，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长，求物块： (1)运动到水平轨道时的速度； (2)运动到传送带最高点过程中所受摩擦力的冲量； (3)若在AB轨道左侧加一弹性挡板，物块与挡板相碰后能原速率返回，则经过足够长时间，摩擦力对其做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆弧轨道水平动量守恒 根据机械能守恒定律，有 解得物块在轨道最低点时的速度 （2）由于物块沿传送带运动过程中摩擦力方向会发生改变，需要分段考虑当物块滑上传送带后，在与传送带达到共速前，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，则此过程中物块的加速度为 设物块与传送带达到共速所需时间为，减速运动公式 物块与传送带达到共速后，摩擦力方向变为沿传送带向上，此过程加速度为 设物块从共速到速度减为零所需时间为，减速运动公式 注意到共速前后摩擦力方向会改变，在传送带上滑动过程中，摩擦力的冲量为 计算可得，其方向沿传送带向上。 （3）经足够长时间，物块最终在圆弧轨道与传送带间往复运动，且最大速度为。 根据动能定理，摩擦力做的功为 计算得 2 学科网（北京）股份有限公司 $