第十五届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建晋级赛 九年级数学试题（A卷））2026年5月

绝密★启用前 第十五届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建晋级赛 (2026年5月) 选手须知： 百玉商人 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分：第二部分：计算题，共计24分：第三部分： 解答题，共计62分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、考场、入场证号写在规定的位置。 最 3、答题时不能使用计算工具。 4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 如 得分 707 九年级试题(A卷) 邮 得 分 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 评卷人 一、填空题（每题8分，共计64分） 长 1、已知x1,x2是一元二次方程x2-3x+m=0的两个根，若2x好-5x1=5-x2,则m的值为一。 2、若点A(-2,y1、B(1,y2C(2,y3)都在反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象上，且y1>y3>y2, 则k的取值范围是 K 3、已知非零实数a、b情足等式++品=+台则部的值为 4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F是AC边上的点，满足OE=OF, 郑 且AB=BF,AE=2,BC=2+2V3,∠ACB=2∠CBF,则四边形BFDE的面积为 5、我们把M=(1,3,x叫集合M,其中1,3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如 杯 x必然存在)，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）。若集合N={x,1,3}, 我们说M=N。已知集合A={0,lxy,集合B={x,xy,Vx-y,若A=B,则x+2y的值是。 御 D B 第4题 第6题 6、如图，OA=OB,⊙O与AB相切于点C,与0A、OB分别交于点D、E,与AO的延长线交于点F, 连接BF、FE,延长FE交AB于点G,若⊙O的半径为4，BF=BC,则图中阴影部分的面积为 九年级 第1页 7、如图，直线与y轴、x轴交于E、F两点，与双曲线y=(x>O)交于A、B两点，且AE=AB,连 接0A、OB,分别与双曲线y=(x>O)交于D、C两点，则四边形ABCD的面积为 D 0 8、设开始A=0。将一枚硬币掷出，若掷得正面，则A加上1，否则A减去1。当A=3或掷出次 数达到7次时就不再掷了。问当掷币停止时，不同掷币情况有 种。 二、计算题（每题12分，共计24分） 得分 9、计算：28-(-2)2-+(2026° 评卷人 2 10、已知非负整数x1,x2,x3,x4满足 x好+x号+2x号+x导=2(x2+xx4+3),试求出符合条件 x1+x2+x3+x4=2021 的所有x1,x2,x3,x4的值。 九年级 第2页 得分 三、解答题(11题10分，12题12分：13题15分；14题25分，共62分) 评卷人 11、若关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0有实数根。 (1)求k的取值范围：(2)若该方程的两个实数根分别为a,B,且(a+1)(B+1)=20,求k的值。 12、在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE, EF,DE=DC。己知tanC=V5,连结AF。 (I)如图1，如果点D,E关于直线AF对称，求SAADF:SABCD的值： 2如图2，如果AF=V5DF,APB=∠BDC,求需的值。 图2 13、抛物线y=二x2一x一2V2与x轴相交于4B两点(4在B的左侧)，与y轴交于C点，连接AC、BC。 (I)如图1、2，点P是第四象限内抛物线上的一点，作PE垂直于x轴于E,交BC于D点，作PFAC交BC于F, 当△PFD的周长最大时，连接CP,在x轴上任意取一点R将△RCP沿CR翻折，P的对应点为P,连接BP, 取BP的中点G,再连接AG,并求出AG的最小值： (2)如图3，将△OCB沿射线BC方向平移，记平移后的图形为△OCB,当△OCB的0'点恰好落在LOBC的角 平分线上时，将△0CB绕点0顺时针旋转105°，直线CB交x轴于点M,在y轴上取一点W,平面内是否存 在点K,使得以点K,M,W,O为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出K的坐标：若不存在，请说明理由。 y 图1 图2 图3 九年级 第3页 14、己知△ABC的三边长都是整数，∠A=2∠B,∠C>90°。求△ABC的周长的最小值。 九年级 第4页 九年级答案 一、填空题（每题8分，共计64分） 4 5 6 7 P -1 k<0 3 1 6+23 -3 14V3-16 104 二、计算题（每题12分，共计24分） 9解原式-受-高+1 2 =23-213+1, 444+1 23-2-1-5-1+1 4 10、解：由x+x3+2x3+x=2(x2x3+x3x4+3)得， x好+x号+x号+号+x导=2x23+2+x3x4+6, x好+(x3-2x2x3+2x3)+(x3-2x3x4+x好)=6， x+(x3-x2)2+(4-x)2=6,于是0≤x1≤2. (1)当x1=0时，(x2一x3)+(x4-x)2=6,因为没有两个整数的平方和等于6，故不成立； (2)当x1=1时，(x2-x3)2+(x4-x3)2=5,由此得x3-x2=±1，x4-x3=士2或x3-x2=±2，x4-3=±1： ①若x-x2=±1，x4-3=±2，则x3=±1+x2,x4=士2+x3=±2+（仕1+x2),代入方程②得3x2=2020士 2±2，该式右边须是3的倍数，故只有3x2=2020-2-2=2016,解得x2=672,x3=1+x2=673,x4=-2+ x3=675. ②若x3-x2=士2，x4-x3=士1，同理可得x2=675,x3=673,x4=672. (3)当x1=2时，(x2-x3)2+(x4-x3)2=2,由此得x3-x2=±1，x4-x3=±1，代入方程②得3x2=2019士2± 1,只能是3x2=2019-2-1=2016或3x2=2019+2+1=2022,解得x2=672或x2=674,故x1=2,x2= 672,x3=673,x4=674或x1=2,x2=674,x3=673,x4=672: 综上所述，x1=1,x2=672,x3=673,x4=675或x1=1,x2=675,x3=673,x4=672或x1=2,x2=672, x3=673,x4=674或x1=2,X2=674,x3=673,x4=672. 三、解答题(11题10分；12题12分；13题15分；14题25分，共62分) 11.(1)解：关于x的一元二次方程x2-2(化+1)x+k2+2=0有实数根， △=[-2(k+1)-4(k2+2)≥0，÷k≥2 (2)解：(a+1)(B+1)=B+(a+)+1=20,B=k2+2,a+B=2(k+1), ·k2+2+2(k+1)+1=20,整理得k2+2k-15=0,解得k=-5或k=3, :k≥24k=3. 12. (1)解：作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,延长AF交BC延长线于点G. HC=a,HD HC-tanC V5a,DE DC VHD2 HC2 =V6a. 点D,E关于直线AF对称，∴AD=AE.LADE=∠AED. ,DE=DC,∴.∠DEC=∠DCE. :∠ADE=∠DEC,∠ADE=∠AED=∠DEC=∠DCE,△ADE-△DEC.小e=0 B E H OC DE=DC,DH1BC,六EC=2HC=2a.六2==AD=3a.∴AD=AE=30. D,E关于直线AF对称，∴∠DAF=∠EAF, 'AD II BC.∴.∠DAF=∠G.∠G=∠EAF.∴.AE=EG=3a..CG=a. ADC,AMDP-aGCF,△DPF-ac0P.咒=岩=3=器器=3.5= SAADE=AD:PF,SOABCD AD PQ,AD D EP0=8 (2)过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P. 设DP=m. B :AD l BC,.∠PDF=∠C.∴PF=DP-tan-PDF=V5m,sin-DFP=ξDP=VDp2+PF=V6m, :AF=V5DF,AF=V30m.∴AP=VaF-D严=5m.AD=4m.E=s△DPF-△FPA. .LDFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=.∴.∠PDF=90°-a..∠C=∠DEC=∠ADE=90°-a.∴.∠FAP+∠ADE=90°. ∠A0D=90.∠F0D=90..0D=AD-sin∠PAF=4m-sin∠DFp=25m. 3 ∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=90°，∴.∠EFD=∠AFE+∠DFO=90°.∴.∠EFD=∠FOD. 又z0DE=∠FDE,ADEF-AFOD.÷8S=8器∴DE=V6m.DC=6m.CF=V6m, 9P=26m_1 DF V6m=2 13.(1)解：当x=0时，y=号2-x-2V2=号×02-0-2V2=-2V2, 当y=0时，号x2-x-22=0,2-V2x-4=0,解得x=-V2或2V2, ÷A(-VZ,0),B(2V2,0),C(0,-2V2,0B=0C=2V2,0A=V2, ~PE⊥AB,·PEICO,ACIIPF,∠ACO=∠FPD=定值，∠ACF=∠CFP=定值， “△PFD的三个角都为定值，当PD最大时，△PDF的周长最大， 设P(m,m2-m-2W2), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 将2互0小.c0-2见代入g中后，架料n22:直线c的解折式为=-2a, D(m,m-2v2),PD=m-22-(停m2-m-22)=-号m2+2m=-2(m-回2+V2, -<0,当m=V2时，PD的最大值为V2,此时P(V2,-2W②)， 2 如图2中，连接BC.取BC的中点T,连接AT. ,B(2V2,0),C(0,-2V2),且BC的中点为T,∴T(V2,-V2, 又：CP=CP'=V2,A(-V2,0),AT=(2W22+(②2=V0, :BG=GP,BT=CT,GT是△BPC的中位线，GT=CP= 2 图2 :AG≥AT-GT,AG≥V而-号，AG的最小值为V0-要 (2)解：存在，如图3中，延长CO交x轴于T,过点B作BK⊥AB于K. 由平移可得，0B=0C=2V2=0B, B 又LB0C=90°，∴.△0BC为等腰直角三角形，÷∠0BC=45°， B01I0B,÷∠OB0'=∠B'0B,∠0BK=∠BKB=90°， ,0B平分LABC,·∠0B0=∠0BB,·∠0BB'=∠B0B, BB'=B'0'=2V2, 图3 BK⊥BK,且∠0BC=45°，△BBK为等腰直角三角形，÷BK=BK=2, ∠0BK=∠BKT=∠B'0T=90°，∴四边形TKB0是矩形，TK=B0'=2V2,0T=KB'=2, :OT=TB-OB =2V2+2-2V2 =2, 0(-2,-2), 如图4中，过点0作0E,OF⊥BC于F.作0NIOM交BC于N. M W 图4 .0E=2, :△0BC为等腰直角三角形，.B'C'=√0B'+0C'=4, 0F1BC,0F=2BC'=2=0E, 又，OM=0M,∠0EM=∠0FM=90°，·Rt△0'ME兰Rt△0MF(HL),÷∠0ME=∠0MF, 将△0CB绕点0顺时针旋转105°，∴∠N0B=180°-105°=75°，∠N0℃=90°-75°=15°， ÷∠0NB'=∠N0C'+∠NC0'=60°， .0NI0M,÷∠0NB'=∠0MB'=60°，∠0ME=∠0MF=30°，÷0M=2E0'=4,EM=0'Msin60°=2V3, ∴.0M=0E+ME=23+2,·M(-2-23,0), 当四边形0WKM是菱形时，0W=0M=4,过点0作0X⊥W0于点X,∴.0MIKW,MKI0W, 在Rt△0XW中，XW=V0W2-0X2=2V3,∴.0W=XW-X0=2V3-2,∴.W(0,2V3-2), .0(-2,-2),M(-2-23,0),且0 MIKW,MKII0W,.K(-23,23: 当四边形0WKM是菱形时，同理可得0W'=2V5+2,∴.W(0,-2-2V3),同理可得K(-23,-2√3， 当四边形0W"MK"是菱形时，设K"W“交0M于Q,交x轴于H.则可得点Q为K"W“和0M的中点，且K"W”LOM, 在Rt△MH0中，MQ=2,∠HM0=309,MH=0=9, :g,∠MHQ=60,0H=M0-MH=2+2y3 :∠MH0=60°=∠WH0,∴∠Hw0=90°-60°=30，HW=20H=4+5,0W=HW.sine60°=2V3+2, ÷W“(0,2+23,0(-2,-2),M(-2-23,0),同理可得K(-4-2V3,-4-2V3 满足条件的点K的坐标为(-2V3,2V3)或(-2V3,-2V3)或(-4-2V3,-4-2V3 14、解答： 设△ABC各顶点的对应边长为a、b、c过A作LA的平分线交BC于点D,则CD=架 利用△ACD~△BCA,可知P= b a 即a2=b(b+c) 而∠C>90°，故c2>a2+b2。 由a2=b(b+c),设(b,b+c)=d,则(b,c)=d,并且d1a2,故dao 为求a+b+c的最小值，可设d=1,这时，b与b+c都为完全平方数，设b=m2,b+c=n2,m,n∈N* 则a=mn。利用a+b>c及c2>a2+b2,可知mn+m2>n2-m2 且(n2-m2)2>(mn)2+m4 于是m>n-m 即n<2m 并且n4>3m2n2 即n2>3m2 所以3m2<n2<4m2 从而在3m2与4m2之间有一个完全平方数，这要求m≥4，这时n≥7，故a+b+c≥4×7+7=77 显然(a,b,c)=(28,16,33)满足条件，故所求△ABC周长的最小值为77。