期末培优：动能定理求变力做功、动能定理解决多过程问题、机车启动问题、传送带问题 专项训练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以动能定理为核心，系统构建变力做功、多过程、机车启动、传送带四大模块的解题方法体系，通过原理-步骤-典例三层逻辑实现知识迁移与能力突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动能定理求变力做功|4（例1-2、变式1-2）|规避积分运算，恒力做功与动能变化关联求变力功|从恒力做功局限到动能定理拓展，弹簧/圆弧场景应用| |动能定理解决多过程问题|4（例1-2、变式1-2）|全程整体法累加总功，临界条件辅助求解|分段运动整合，斜面/圆弧/水平轨道组合模型| |动能定理解决机车启动问题|4（例1-2、变式1-2）|恒功率/恒加速模式分类，牵引力功与阻力功关系|功率公式与动能定理结合，最大速度临界分析| |动能定理解决传送带问题|4（例1-2、变式1-2）|滑动摩擦力做功与相对位移关联，摩擦生热补充|摩擦力方向判断，物体与传送带运动关系分析|

期末培优：动能定理求变力做功、动能定理解决多过程问题、机车启动问题、传送带问题专项训练 期末培优：动能定理求变力做功、动能定理解决多过程问题、机车启动问题、传送带问题专项训练 考点目录 动能定理求变力做功 动能定理解决多过程问题 动能定理解决机车启动问题 动能定理解决传送带问题 考点一 动能定理求变力做功 一、解题原理 1. 恒力做功公式只适用于恒力，弹簧弹力、摩擦力、牵引力等变力无法直接套用； 1. 动能定理规避变力复杂积分运算：全程总功等于动能变化 ； 1. 变形直接解变力功：。 二、标准步骤 1. 确定研究物体，锁定运动初、末速度； 1. 受力拆分：区分恒力（重力、支持力、恒摩擦力）、待求变力； 1. 计算所有恒力做功大小与正负； 1. 列动能定理方程，移项单独解出变力做功； 1. 正负号判断：结果正则变力做正功，负则做负功。 例1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）如图所示，挡板P固定在倾角为30°的光滑斜面左下端，斜面右上端M 与半径为R的光滑圆弧轨道MN连接，其圆心O在斜面的延长线上。M点有一光滑轻质小滑轮，，质量均为m的小物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板P处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为4m、大小可忽略的小球A相连，初始时刻小球A锁定在M 点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，B、C处于静止状态。某时刻解除对小球A的锁定，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0，已知重力加速度为g，不计一切摩擦，求： (1)弹簧的劲度系数； (2)小球A到达N点时的速度大小是多少？ (3)在小球A由M运动到N的过程中轻绳对物块B做的功是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设弹簧的劲度系数为k，初始时刻弹簧的压缩量为，B沿斜面方向受力平衡，则有 小球A沿圆弧运动到最低点N时，物块C即将离开挡板，设弹簧的拉伸量为，C沿斜面方向受力平衡，则有 解得 当小球A沿圆弧运动到最低点N时，B沿斜面运动的位移为R，则有 解得， （2）设小球A到达N点时的速度为v，对v进行分解，沿绳子方向的速度 由于沿绳子方向的速度处处相等，所以此时B的速度也为，对A、B、C和弹簧组成的系统，在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，且A在M和N处，弹簧的形变量大小相同，故弹性势能不变，弹簧弹力做功为0，重力对A做正功，对B做负功，A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，则有 解得 （3）弹簧弹力做功总和为0，对B由动能定理有 根据（2）可知 联立解得 例2．（25-26高一下·广东中山·期中）如图所示，水平台面上的轻弹簧一端固定，自然状态下另一端刚好在台面右端的点。点正下方有一点，水平台面与光滑竖直圆弧轨道在点相接。过圆轨道圆心点的竖直线将轨道分为两部分，左边圆心角，右边圆心角是。将可视为质点的小滑块从点开始沿弹簧轴线向左逐渐推至点，再将其由静止释放。小滑块第一次离开点后，刚好从点以与圆轨道相切的速度进入圆轨道，并且刚好没有离开圆轨道。已知小滑块的质量为，、两点间距离为，弹簧第二次被压缩的长度为，小滑块与水平面间的滑动摩擦因数为，重力加速度大小为，空气阻力忽略不计，弹簧始终在弹性限度内，，。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)圆弧轨道的半径； (3)小滑块的最终位置。 【答案】(1) (2) (3)点 【详解】（1）设弹簧劲度系数为，小滑块第一次离开点的速度大小为，由运动的对称性可知，小滑块下一次回到点的速度大小也一定为；由于弹簧弹力随小滑块的位移而均匀变化，所以小滑块第一次从点运动到点的过程中，弹簧弹力对它做功 同理，弹簧第二次被压缩的过程中，小滑块克服弹力做功 小滑块第一次从点运动到点，由动能定理有 小滑块第一次从点返回到点，由动能定理有 联立解得， （2）设小滑块第一次经过点的速度大小为，圆轨道半径为，根据几何关系有 从点运动到点过程中，由动能定理可知 两式联立，解得 （3）设小滑块第二次从点向右飞出时的速度大小为，从被压缩至小滑块飞出，弹力做功大小与之前弹簧被压缩过程小滑块克服弹力做功相等，由动能定理可知 结合， 联立解得 故小滑块的最终停在点。 变式1．（25-26高一下·重庆北碚·期中）如图所示，在倾角为（，）的斜面底端固定有一轻质弹簧，自由放置时其上端位于O点。O点距离斜面最高点B的距离。将质量的小球放于O点，通过外力将小球压缩弹簧至A点后由静止释放（小球与弹簧不相连），距离。小球通过O点后上升过程中位移随时间变化的关系为（x的单位为m，t的单位为s，以O点为起点，沿斜面向上为正方向）。之后小球从B点以切线方向进入竖直放置的光滑圆弧形圆管轨道，圆管轨道竖直放置，B点与斜面相切，C点为圆弧最高点，圆心，圆弧半径，连线与竖直方向夹角也为。小球可视为质点，圆管内径可忽略不计。是一段长度可调的粗糙水平面，其粗糙程度与斜面相同。末端D点正下方有一半径为R的四分之一圆弧轨道（圆弧轨道随D点移动，圆心始终与D点重合），。取重力加速度。求： (1)小球与斜面之间的动摩擦因数和弹簧压缩至A点时具有的弹性势能； (2)小球运动到圆弧最高点C时，小球对轨道弹力的大小； (3)当段水平面长度s为多大时，小球落到圆弧轨道上的速度最小。 【答案】(1)， (2)2N (3) 【详解】（1）小球离开O点后与弹簧分离，之后将沿着斜面向上做匀减速直线运动，则根据运动学公式，结合小球通过O点后上升过程中位移随时间变化的关系式可知，小球过O点时的速度以及之后做匀减速直线运动的加速度分别为， 小球在段运动过程，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律有 解得小球与斜面之间的动摩擦因数为 对小球从A点运动到O点的过程，列动能定理方程有 解得 则根据功能关系可知，弹簧压缩至A点时具有的弹性势能为 （2）对小球从O点到C点过程，列动能定理方程有 解得小球到C点的速度大小为 设在C点时轨道对小球的弹力大小为，方向竖直向下，则根据牛顿第二定律有 解得 所以根据牛顿第三定律可知，小球对轨道弹力的大小为，方向竖直向上。 （3）设小球以的速度从D点水平抛出落到圆弧上的最小速度为v，则根据平抛运动的规律可知，小球下落的高度为 解得小球平抛运动的时间为 又因为小球平抛运动的水平位移为 所以有 根据数学关系可知，当时，有最小值，其最小值为 解得此时 对小球从C到D的运动过程，根据运动学公式有 解得 即当段水平面长度时，小球落到圆弧轨道上的速度最小。 变式2．（25-26高一下·福建福州·期中）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，其装置简化原理如图所示。“抛石机”长臂的长度L=4.8m，短臂的长度l=0.96m。在某次攻城战中，敌人城墙高度H=12m，士兵们为了能将石块投入敌人城中，在城外堆出了高h=8m的小土丘，在小土丘上使用“抛石机”对敌人进行攻击。士兵将质量m=4.8kg的石块装在长臂末端的弹框中，开始时长臂处于静止状态，其与水平底面夹角α=30°。现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出且恰好击中城墙正面与小土丘等高的P点，P点与抛出位置间的水平距离x0=18m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。 (1)求石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v； (2)求石块转到最高点的过程中弹框对石块所做的功； (3)已知城墙上端的水平宽度d=2.4m，若石块要击中敌人城墙顶部，则抛出石块的速度取值范围是多少？ (4)对短臂施加不同作用力，改变石块抛出的速度，求石块击中敌人城墙墙壁的最小动能是多少？ 【答案】(1)3m/s (2)885.6J (3) (4)864J 【详解】（1）石块抛出后做平抛运动，有 则石块抛出时的速度 长臂和短臂的角速度相同，有 代入数据解得， （2）石块转到最高点的过程中，弹框对石块做的功，根据动能定理 得石块转到最高点的过程中弹框对石块所做的功W=885.6J （3）石块击中城墙顶部时，根据公式有 代入数据解得 石块击中城墙顶部的水平位移 抛出时初速度 代入数据解得，抛出石块的速度取值范围是 （4）根据平抛公式有， 根据机械能守恒公式有 可得 当时，有最小值，则 考点二 动能定理解决多过程问题 一、解题原理 1. 物体分段运动（加速、减速、折返、圆弧、斜面衔接），无需分段列牛顿运动方程； 1. 全程整体法：全过程所有外力做功代数和 = 末动能初动能； 1. 分段法作为备选：单段列式再联立，整体法计算量更小。 二、标准步骤 1. 选取完整运动全过程，标注起点、终点速度； 1. 逐个计算每个力在全程内做的总功（往复摩擦力路程而非位移）； 1. 累加全部外力总功； 1. 代入动能定理公式建立方程； 1. 求解速度、位移、高度等未知量；若含临界约束（圆周最高点最小速度）额外联立临界条件。 例1．（25-26高一下·河南信阳·阶段检测）如图甲所示，一质量的物块（可视为质点）放置在水平桌面上，在水平推力的作用下，物块从坐标原点由静止开始沿轴运动，与物块的位置坐标的关系如图乙所示。物块在处的桌面边缘点从桌面飞出，同时撤去，物块恰好从点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，然后从点进入与圆弧轨道相切的水平地面，最后恰好停在点。已知圆弧轨道的半径，圆弧对应的圆心角，物块与间的动摩擦因数，、两点间的距离。取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)物块从点进入圆弧轨道时的速度大小； (2)物块与水平桌面间的动摩擦因数。 【答案】(1)4m/s (2)0.2 【详解】（1）物块从点运动到点，重力做的功 物块从点运动到点，根据动能定理有 解得 （2）根据题中图像可知，推力做的功 将物块到达点时的速度沿水平方向和竖直方向分解，可知物块从点飞出时的速度大小 物块从点运动到点，根据动能定理有 解得 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m=1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M=8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R=2m的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r=0.2m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂，已知A与bc间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长。求： (1)求弹簧的劲度系数； (2)已知在A从a滑到b的过程中，绳子对A和B做的功互为相反数。在物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小； (3)为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件。 【答案】(1)5N/m (2)144N (3)或 【详解】（1）初始时A在a点，绳子无张力，物块B静止，弹簧处于压缩状态，设压缩量为，由平衡条件有 当A滑至b点时，C恰好离开挡板，弹簧处于伸长状态，设伸长量为 同理有，故 A从a到b的过程中，B沿斜面向上移动的距离为，等于绳子缩短的长度，即圆弧轨道a、b两点间的弦长 因圆弧轨道圆心角为，半径为，故弦长等于，即 联立代入，，，解得 代入得： （2）A从a到b的过程中，弹簧初末态形变量相同，弹性势能变化为0，且绳子对A、B做功互为相反数，故系统机械能守恒 A下降的高度 B上升的高度 由机械能守恒定律： 当A到达b点时，A的速度沿水平方向，沿绳方向分速度为 代入数据解得：，得 在b点，对A由牛顿第二定律，轨道支持力与重力的合力提供向心力： 代入数据得 由牛顿第三定律，A对圆轨道的压力大小等于 （3）A不脱轨分两种情况： 1. 能通过光滑圆轨道的最高点：最高点速度满足 设bc间距离为，从b到圆轨道最高点由动能定理： 代入临界条件，解得，结合，得 2. 不能到达圆轨道的圆心等高处，即上升最大高度，最终沿轨道滑回不脱轨。 从b到圆轨道最大高度处由动能定理： 代入临界条件，解得 同时A需能到达圆轨道，即到达c点时速度大于等于0，故，解得，故此情况范围为 综上，bc间距离应满足或 变式1．（25-26高一下·山东日照·期中）如图所示，轨道ABCD固定在水平地面上，其中AB为倾角、长度的光滑倾斜轨道，BC为光滑水平轨道，二者通过平滑圆弧连接，CD为半径、圆心角为的圆弧。右侧有一倾角的斜面PQ固定在水平地面上，圆弧末端D点与斜面顶端P点的水平距离。斜面上P、M点的距离，M、N点的距离，斜面底端固定一劲度系数的轻弹簧。一质量的小物块从AB顶端由静止释放，经轨道ABCD并从D点飞出，恰能从P点沿PQ方向飞入斜面。已知斜面PQ上的MN段粗糙，其余部分光滑，小物块与MN间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，且不与MN重叠。所有装置均处于同一竖直面内，小物块可视为质点，忽略空气阻力，，。 (1)求小物块到达圆弧最低点C时对轨道的压力大小； (2)求小物块经过圆弧CD过程中克服摩擦力做的功； (3)若弹簧上端到N点的距离，求弹簧的最大弹性势能； (4)若小物块与MN之间的动摩擦因数可调，调节范围为，求小物块在MN段运动的总路程S与的关系式。 【答案】(1)5.5N (2)0.1J (3)0.475J (4) 【详解】（1）小物块从A到B过程，由机械能守恒定律得 代入数据解得 小物块从B到C做匀速运动，则 在C点，由牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力大小为。 （2）小物块从D点飞出做斜抛运动，水平方向匀速，竖直方向先减速后加速。设D点速度为，P点速度为，水平分速度为。由几何关系，D点速度方向与水平方向夹角为，P点速度方向与水平方向夹角为。则，。， 从D到P的时间 水平位移 代入解得 则 从C到D过程，由动能定理得 代入数据解得 （3）由(2)可知 设弹簧最大压缩量为，从P点到弹簧压缩至最短的过程，由能量守恒定律得 其中。代入数据解得（负值舍去） 最大弹性势能 （4）由于，小物块无法静止在MN段，最终将在N点下方做往复运动，且向上运动的最高点恰好为N点。对全过程应用能量守恒定律，初状态为P点，末状态为N点，有 代入数据解得 变式2．（25-26高一下·四川南充·期中）如图甲所示为一款轨道车玩具，轨道造型可以自由调节，将轨道简化为图乙所示模型：竖直圆周轨道与水平直轨道AM相切（B、D两切点略微错开），两个半径均为的六分之一圆弧轨道在处平滑连接，它们的圆心、和在一条直线上，现将质量为的小车从点以一定初速度释放，它恰好能通过圆周轨道的最高点，且。轨道MNP段对小车有磁吸力，磁吸力大小为小车重力的0.5倍（磁吸力始终垂直轨道面），忽略一切摩擦阻力，小车可视为质点，重力加速度。求： (1)竖直圆周轨道的半径； (2)小车经过圆周轨道最低点时对轨道的压力； (3)其他条件不变，仅调节MNP段轨道半径，让小车上滑过程不脱离轨道，求应满足的条件；并计算判断该条件下小车是否能够滑到P点。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3)，仅当时小车刚好能到达P点，时小车刚不能到达P点 【详解】（1）小车恰好通过最高点，由牛顿第二定律有     解得 （2）从点到点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有     解得 在点由牛顿第二定律     解得 由牛顿第三定律得     方向竖直向下。 （3）小车在点时恰好不脱轨，则     小车由点到点，由动能定理有     其中 解得 所以小车不脱轨，的范围为     假设小车能从点到点，由动能定理得 因，解得 所以仅当时小车刚好能到达P点，时小车刚不能到达P点。 考点三 动能定理解决机车启动问题 一、解题原理 1. 机车两种启动模型：恒定功率启动、恒定加速度启动；牵引力，牵引力为变力； 1. 阻力全程恒定，机车牵引力为变力，优先动能定理； 1. 关系：（恒定功率下牵引力总功）；阻力恒功； 1. 末态最大速度：匀速时。 二、标准步骤 1. 分清启动模式：恒功率/恒加速度； 1. 写出牵引力做功：恒功率直接；恒加速阶段牵引力恒定用； 1. 阻力做功； 1. 列动能定理：； 1. 结合、辅助联立求解时间、位移、速度。 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图1所示，质量为m=2 kg的玩具小车以恒定功率P=20 W由静止开始从O点到达A点。已知小车在到达A点前已匀速，OA段长度为L0=5 m，动摩擦因数μ0=0.2。随后小车关闭发动机进入AB段，已知轨道AB，B′C段水平，与小车之间的动摩擦因数均为μ1=0.2，AB段长度L1可调，B′C段长度L2= 1 m，光滑竖直圆轨道段BB′半径R=0.4 m，在最低点处稍微错开，斜面CD段由特殊材料制成，CD水平距离x0=1m，高度h可调，小车与CD段间动摩擦因数μ2随其水平距离的关系如图2，CD与B′C平滑连接。忽略其他阻力，小车可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小车在OA段的运动时间t0； (2)若要保证小车能到达竖直圆轨道且运动时不脱轨，求AB长度L1的调节范围； (3)调节长度为L1=1.25 m，若小车能停在斜面CD上，求斜面CD高度h的范围。 【答案】(1)t0=2.25 s (2)或 (3) 【详解】（1）由题可知，小车到达A点时的速度 小车在OA段运动时，由动能定理可得 代入数据解得 （2）①若小车恰能达到B点，由动能定理有 解得 ②若小车恰能运动到圆心等高处，由动能定理有 解得 ③若小车恰能通过圆轨道最高点，在最高点有牛顿第二定律有 由动能定理有 解得 综上或 （3）因为，故能通过圆轨道，从A→C，由动能定理则有 解得 从C冲上斜面，对任意一小段位移，摩擦力在内做的功 将每一段内摩擦力做功求和= ①若当时，小车恰好不会冲出斜面，在D点速度减为0，由机械能守恒有 解得 检验：此时，故甲能在D点停住。 ②如图，若当时，小车在斜面上某处速度减为0，且恰能停在该处 由机械能守恒有 其中， 所以 又因为此位置 其中， 联立解得， 所以 综上可知当时，小车能停在斜面上。 例2．（2025·江西宜春·二模）人类探索宇宙的过程是一个漫长而不断进步的历程，假设2125年人类在大麦哲伦星系A星球上进行太空移民，若已知A星球质量和半径均为地球的0.5倍，地球上重力加速度为（忽略星球自转），有一名质量为50kg的驾驶员驾驶一辆质量为950kg的探险车在A星球上进行探索，若该车靠面积为的光伏板吸收宇宙辐射作为能源，已知此时单位面积单位时间接收辐射能量为，若该车输出功率达接收功率60%时可保持电量不变，已知探险车所受阻力为车和驾驶员在A星球表面总重力的0.1倍。求： (1)A星球表面的重力加速度； (2)这位驾驶员驾驶该车，要保持电量不变，则行驶过程中的最大速度为多少？ (3)若该驾驶员以恒定加速度启动车辆，当电量不再增加时，保持电量行驶，全程行驶675m，则所用总时间为多少？（此前已达最大速度） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据黄金代换可得地球表面重力加速度满足，A星球表面的重力加速度满足 解得 （2）光伏板吸收能量转化后的功率为，解得 该车的阻力为   根据 可得，行驶过程中的最大速度为 （3）在匀加速阶段，根据牛顿第二定律 根据可得，此过程的速度为 所用时间为 匀加速通过的位移大小为 此后开始恒定功率运动，有 解得 则所用总时间为 变式1．（25-26高一下·重庆渝中·阶段检测）电动汽车具有节能环保、低噪声、提速快等优点，随着电池续航能力不断提升，其越来越受到消费者的青睐。质量为m的电动车由于摩擦及空气流动等原因产生的总阻力随车速满足，其中k为已知常数。求： （1）当车以最大速度匀速行驶时，电动车所受的牵引力与车速v应满足的关系； （2）若该电动汽车的最大输出功率为，此功率下最大行驶速度为，求在此功率下，速度为时的加速度（仅用、m表达）； （3）若电动汽车以最大输出功率启动，经过时间后电动汽车的速度大小为，求该过程中电动汽车克服总阻力所做的功。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）当汽车以最大速度匀速前行时，牵引力和阻力等大反向，即 （2）当汽车达到最大速度行驶时，牵引力和阻力等大反向，即 所以汽车的最大输出功率为 解得 速度为时，有 ， 解得 ， 所以加速度 （3）根据动能定理可得 解得 变式2．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）质量为1t的汽车，沿一条平直公路由静止开始运动，汽车在运动过程中受摩擦阻力大小恒为2000N，汽车发动机的额定输出功率为40kW，开始时以的加速度做匀加速运动（g取），求： （1）汽车所能达到的最大速率； （2）汽车做匀加速运动的时间； （3）若汽车达到最大速度后立即关闭发动机，从汽车开始运动到再一次静止共经历了20s时间，那么汽车加速阶段位移是多少。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设发动机的牵引力为，汽车所能达到的最大速率为，则汽车达到最大速率时有 联立解得 （2）设汽车做匀加速运动的时间为，末速度为，根据牛顿第二定律有 根据功率的速度表达式有 根据速度公式有 联立解得 （3）汽车关闭发动机后做匀减速运动，从最大速度减速到静止用时 已知汽车在匀加速阶段用时，则变加速度阶段用时 设汽车在变加速阶段位移为，根据动能定理可得 解得 所以汽车加速阶段的位移为 考点四 动能定理解决传送带问题 一、解题原理 1. 物体与传送带间滑动摩擦力是变加速动力/阻力，位移分物体对地位移、传送带位移； 1. 滑动摩擦力做功改变物体动能，一对滑动摩擦力总功绝对值等于摩擦生热； 1. 全程用动能定理直接关联摩擦力做功、重力做功与物体动能变化。 二、标准步骤 1. 分析物体受力：重力、支持力、摩擦力（判断滑动/静摩擦）； 1. 确定物体初末对地速度，算出动能变化量； 1. 计算重力、摩擦力对地做功大小； 1. 列动能定理方程求解加速度、位移、末速度； 1. 求摩擦热量补充：，为物体与传送带相对位移。 例1．（25-26高一下·天津和平·期中）如图所示，水平传送带顺时针匀速转动，左右两端距离，将一质量为的小铁块（可看作质点）轻轻放在传送带左端，铁块与传送带间的动摩擦因数。铁块从A点飞出后，恰好从竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道，铁块恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知，A、B、C、D四点在同一竖直平面内，水平传送带离B端的竖直高度 ，圆弧轨道半径，C点为圆弧轨道的最低点，不计空气阻力，已知，取重力加速度g，求： (1)铁块运动到圆弧轨道最高点D点时的速度大小； (2)铁块在竖直圆弧轨道上运动的过程中克服摩擦力所做的功； (3)水平传送带的速率v； (4)铁块在传送带上运动的过程中，因摩擦而产生的热量Q以及这个过程中电动机多做的功W。 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【详解】（1）铁块恰好能通过圆弧轨道的最高点D，此时轨道对铁块的支持力为零，重力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得铁块运动到圆弧轨道最高点D点时的速度大小 （2）铁块从A点飞出到B点的平抛运动过程，A、B两点的竖直高度差 根据平抛运动规律有 解得平抛运动的时间 铁块到达B点时的竖直分速度 铁块从B点沿切线进入圆弧轨道，速度方向与水平方向夹角为，可得B点的速度 。 铁块从B点运动到D点的过程，重力做功为 根据动能定理，则有 解得铁块在竖直圆弧轨道上运动过程中克服摩擦力所做的功为 （3）铁块在传送带上运动时，由牛顿第二定律可得 解得加速度大小为 铁块从传送带左端由静止开始运动，设铁块到达A点时的速度为，由B点速度的水平分量等于，可得 假设铁块在传送带上一直加速运动到右端，能达到的最大速度 由于，说明铁块在传送带上一直做匀加速直线运动，未达到传送带的速度，因此传送带的速率 （4）铁块在传送带上匀加速运动的时间 此过程中传送带的位移 铁块的位移等于传送带长度 因此铁块与传送带的相对位移 可得铁块在传送带上运动过程中摩擦产生的热量 电动机多做的功，一部分转化为铁块的动能，另一部分转化为摩擦产生的热量，即 解得电动机多做的功 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图所示，传送带与水平地面的夹角，从A到B的长度为，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度释放一个质量为的黑色煤块（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知，g取。 (1)求煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度； (2)因为传送煤块，电动机对传送带多做多少功？ 【答案】(1)5m (2)10J 【详解】（1）煤块刚放上传送带时，受到沿传送带向下的摩擦力，设煤块的加速度大小为，根据牛顿第二定律则有 解得 煤块从放上传送带到与传送带共速所用时间为 此过程煤块运动的位移为 此过程煤块相对于传送带向上运动，发生的相对位移为 煤块与传送带共速后，受到沿传送带向上的摩擦力，设煤块的加速度大小为，根据牛顿第二定律则有 解得 煤块从与传送带共速到底端B通过的位移为 根据运动学公式则有 解得 此过程煤块相对于传送带向下运动，发生的相对位移为 由于 可知煤块从A运动到B的过程中在传送带上形成的黑色痕迹的长度为。 （2）煤块到达底端B的动能 煤块从A到B的过程中，煤块增加的机械能 煤块从A到B的过程中，因摩擦产生的热量 根据能量守恒定律，因为传送煤块，电动机对传送带多做的功 解得 变式1．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）如图所示，竖直平面内固定的四分之一光滑圆弧轨道AB和水平传送带BC相切于B点，圆弧轨道的半径，传送带以速度沿逆时针方向运行，水平地面上固定一倾角的直角斜面体DEF，直角边EF的高度，C点位于D点的正上方，并与E点等高。一个可视为质点、质量的滑块从圆弧轨道顶端A点由静止开始自由下滑，滑块刚好不从传送带右端C点滑落。已知滑块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。求： (1)滑块第一次滑到B点时对圆弧轨道的压力； (2)滑块从滑上传送带至第一次返回到B点的过程中，滑动摩擦力对滑块做的功； (3)若圆弧轨道半径可调，滑块从C点飞出，落到斜面DE上的最小动能及对应圆弧轨道的半径。 【答案】(1)30N，方向竖直向下。 (2)-13.5J (3)， 【详解】（1）从A到B滑块受到重力和支持力，由动能定理可得 解得 在B点，由牛顿第二定律可得 联立解得 由牛顿第三定律可知，滑块第一次滑到B点时对圆弧轨道的压力大小为30N，方向竖直向下。 （2）滑块从B到C，根据牛顿第二定律有 解得 根据题意，滑块向右运动的位移大小，即传送带BC的长度为 从C到B，滑块先做匀加速运动再做匀速运动，加速运动的时间为 滑块加速运动的位移大小为 滑块从滑上传送带至第一次返回到B点的过程中，滑动摩擦力对滑块做的功为 （3）设滑块从C点平抛的初速度为，从C点抛出到落到斜面上，根据平抛运动规律有 根据几何关系可得 根据动能定理可得 联立可得滑块落到斜面上的动能为 根据数学知识可知，当时动能有最小值，即当y=1m时 从释放滑块到落到斜面上，由动能定理可得 解得对应圆弧轨道的半径为 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·月考）下图是一向上传输防滑缓冲装置，传输装置为一倾角为的倾斜传送带。传输物体时，为防止物体返回到传送带底端滑出传送带时被损坏，故在传送带底端平滑连接一倾角为37°的固定斜面，并在斜面底端固定一轻质弹簧，当物体撞击弹簧时可起到缓冲作用。某次传输物体时，传送带以的速度逆时针匀速转动，一质量物体以与水平方向夹角的初速度从传送带底端A点冲上传送带，经物体与传送带共速。若物体可视为质点，物体与传送带、斜面间的动摩擦因数相同，传送带的长度，弹簧的劲度系数，弹簧处于原长状态时其上端距传送带底端A点的距离，弹簧被压缩时始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度g取，已知，，求： (1)物体与传送带间的动摩擦因数μ； (2)物体在传送带上留下的痕迹长度； (3)弹簧的最大弹力F的大小。 【答案】(1)0.5 (2)2.25m (3)16N 【详解】（1）由题可知，物块减速运动时的加速度大小为 方向沿传送带向下，对物块受力分析，根据牛顿第二定律可得 代入数据解得 （2）时间内，物块的位移 传送带的位移为 相对位移，向上； 共速后，设物块的加速度为大小，对物块受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 则物块速度减为零的时间 在这段时间内，物块的位移 传送带的位移为 相对位移，向下； 物块到达最高点后将匀加速下滑回到A点，加速度仍为，则物块加速的时间 此过程传送带的位移为 相对位移，向下； 很明显向下的相对位移大于向上的相对位移，故物块在传送带上的痕迹长度为 （3）物块滑出A点的速度 下滑至速度为0时弹簧压缩量最大，弹力最大。设弹簧的最大压缩量为，根据胡克定律可知，此时弹簧的最大弹力为 作出图像如图所示 可知弹力所做的功为 根据动能定理可得 代入数据解得 则弹簧的最大弹力 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：动能定理求变力做功、动能定理解决多过程问题、机车启动问题、传送带问题专项训练 期末培优：动能定理求变力做功、动能定理解决多过程问题、机车启动问题、传送带问题专项训练 考点目录 动能定理求变力做功 动能定理解决多过程问题 动能定理解决机车启动问题 动能定理解决传送带问题 考点一 动能定理求变力做功 一、解题原理 1. 恒力做功公式只适用于恒力，弹簧弹力、摩擦力、牵引力等变力无法直接套用； 1. 动能定理规避变力复杂积分运算：全程总功等于动能变化 ； 1. 变形直接解变力功：。 二、标准步骤 1. 确定研究物体，锁定运动初、末速度； 1. 受力拆分：区分恒力（重力、支持力、恒摩擦力）、待求变力； 1. 计算所有恒力做功大小与正负； 1. 列动能定理方程，移项单独解出变力做功； 1. 正负号判断：结果正则变力做正功，负则做负功。 例1．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）如图所示，挡板P固定在倾角为30°的光滑斜面左下端，斜面右上端M 与半径为R的光滑圆弧轨道MN连接，其圆心O在斜面的延长线上。M点有一光滑轻质小滑轮，，质量均为m的小物块B、C由一轻质弹簧拴接（弹簧平行于斜面），其中物块C紧靠在挡板P处，物块B用跨过滑轮的轻质细绳与一质量为4m、大小可忽略的小球A相连，初始时刻小球A锁定在M 点，细绳与斜面平行，且恰好绷直而无张力，B、C处于静止状态。某时刻解除对小球A的锁定，当小球A沿圆弧运动到最低点N时（物块B未到达M点），物块C对挡板的作用力恰好为0，已知重力加速度为g，不计一切摩擦，求： (1)弹簧的劲度系数； (2)小球A到达N点时的速度大小是多少？ (3)在小球A由M运动到N的过程中轻绳对物块B做的功是多少？ 例2．（25-26高一下·广东中山·期中）如图所示，水平台面上的轻弹簧一端固定，自然状态下另一端刚好在台面右端的点。点正下方有一点，水平台面与光滑竖直圆弧轨道在点相接。过圆轨道圆心点的竖直线将轨道分为两部分，左边圆心角，右边圆心角是。将可视为质点的小滑块从点开始沿弹簧轴线向左逐渐推至点，再将其由静止释放。小滑块第一次离开点后，刚好从点以与圆轨道相切的速度进入圆轨道，并且刚好没有离开圆轨道。已知小滑块的质量为，、两点间距离为，弹簧第二次被压缩的长度为，小滑块与水平面间的滑动摩擦因数为，重力加速度大小为，空气阻力忽略不计，弹簧始终在弹性限度内，，。求： (1)弹簧的劲度系数； (2)圆弧轨道的半径； (3)小滑块的最终位置。 变式1．（25-26高一下·重庆北碚·期中）如图所示，在倾角为（，）的斜面底端固定有一轻质弹簧，自由放置时其上端位于O点。O点距离斜面最高点B的距离。将质量的小球放于O点，通过外力将小球压缩弹簧至A点后由静止释放（小球与弹簧不相连），距离。小球通过O点后上升过程中位移随时间变化的关系为（x的单位为m，t的单位为s，以O点为起点，沿斜面向上为正方向）。之后小球从B点以切线方向进入竖直放置的光滑圆弧形圆管轨道，圆管轨道竖直放置，B点与斜面相切，C点为圆弧最高点，圆心，圆弧半径，连线与竖直方向夹角也为。小球可视为质点，圆管内径可忽略不计。是一段长度可调的粗糙水平面，其粗糙程度与斜面相同。末端D点正下方有一半径为R的四分之一圆弧轨道（圆弧轨道随D点移动，圆心始终与D点重合），。取重力加速度。求： (1)小球与斜面之间的动摩擦因数和弹簧压缩至A点时具有的弹性势能； (2)小球运动到圆弧最高点C时，小球对轨道弹力的大小； (3)当段水平面长度s为多大时，小球落到圆弧轨道上的速度最小。 变式2．（25-26高一下·福建福州·期中）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，其装置简化原理如图所示。“抛石机”长臂的长度L=4.8m，短臂的长度l=0.96m。在某次攻城战中，敌人城墙高度H=12m，士兵们为了能将石块投入敌人城中，在城外堆出了高h=8m的小土丘，在小土丘上使用“抛石机”对敌人进行攻击。士兵将质量m=4.8kg的石块装在长臂末端的弹框中，开始时长臂处于静止状态，其与水平底面夹角α=30°。现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出且恰好击中城墙正面与小土丘等高的P点，P点与抛出位置间的水平距离x0=18m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。 (1)求石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v； (2)求石块转到最高点的过程中弹框对石块所做的功； (3)已知城墙上端的水平宽度d=2.4m，若石块要击中敌人城墙顶部，则抛出石块的速度取值范围是多少？ (4)对短臂施加不同作用力，改变石块抛出的速度，求石块击中敌人城墙墙壁的最小动能是多少？ 考点二 动能定理解决多过程问题 一、解题原理 1. 物体分段运动（加速、减速、折返、圆弧、斜面衔接），无需分段列牛顿运动方程； 1. 全程整体法：全过程所有外力做功代数和 = 末动能初动能； 1. 分段法作为备选：单段列式再联立，整体法计算量更小。 二、标准步骤 1. 选取完整运动全过程，标注起点、终点速度； 1. 逐个计算每个力在全程内做的总功（往复摩擦力路程而非位移）； 1. 累加全部外力总功； 1. 代入动能定理公式建立方程； 1. 求解速度、位移、高度等未知量；若含临界约束（圆周最高点最小速度）额外联立临界条件。 例1．（25-26高一下·河南信阳·阶段检测）如图甲所示，一质量的物块（可视为质点）放置在水平桌面上，在水平推力的作用下，物块从坐标原点由静止开始沿轴运动，与物块的位置坐标的关系如图乙所示。物块在处的桌面边缘点从桌面飞出，同时撤去，物块恰好从点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，然后从点进入与圆弧轨道相切的水平地面，最后恰好停在点。已知圆弧轨道的半径，圆弧对应的圆心角，物块与间的动摩擦因数，、两点间的距离。取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)物块从点进入圆弧轨道时的速度大小； (2)物块与水平桌面间的动摩擦因数。 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m=1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M=8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R=2m的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r=0.2m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂，已知A与bc间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长。求： (1)求弹簧的劲度系数； (2)已知在A从a滑到b的过程中，绳子对A和B做的功互为相反数。在物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小； (3)为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件。 变式1．（25-26高一下·山东日照·期中）如图所示，轨道ABCD固定在水平地面上，其中AB为倾角、长度的光滑倾斜轨道，BC为光滑水平轨道，二者通过平滑圆弧连接，CD为半径、圆心角为的圆弧。右侧有一倾角的斜面PQ固定在水平地面上，圆弧末端D点与斜面顶端P点的水平距离。斜面上P、M点的距离，M、N点的距离，斜面底端固定一劲度系数的轻弹簧。一质量的小物块从AB顶端由静止释放，经轨道ABCD并从D点飞出，恰能从P点沿PQ方向飞入斜面。已知斜面PQ上的MN段粗糙，其余部分光滑，小物块与MN间的动摩擦因数，弹簧弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，且不与MN重叠。所有装置均处于同一竖直面内，小物块可视为质点，忽略空气阻力，，。 (1)求小物块到达圆弧最低点C时对轨道的压力大小； (2)求小物块经过圆弧CD过程中克服摩擦力做的功； (3)若弹簧上端到N点的距离，求弹簧的最大弹性势能； (4)若小物块与MN之间的动摩擦因数可调，调节范围为，求小物块在MN段运动的总路程S与的关系式。 变式2．（25-26高一下·四川南充·期中）如图甲所示为一款轨道车玩具，轨道造型可以自由调节，将轨道简化为图乙所示模型：竖直圆周轨道与水平直轨道AM相切（B、D两切点略微错开），两个半径均为的六分之一圆弧轨道在处平滑连接，它们的圆心、和在一条直线上，现将质量为的小车从点以一定初速度释放，它恰好能通过圆周轨道的最高点，且。轨道MNP段对小车有磁吸力，磁吸力大小为小车重力的0.5倍（磁吸力始终垂直轨道面），忽略一切摩擦阻力，小车可视为质点，重力加速度。求： (1)竖直圆周轨道的半径； (2)小车经过圆周轨道最低点时对轨道的压力； (3)其他条件不变，仅调节MNP段轨道半径，让小车上滑过程不脱离轨道，求应满足的条件；并计算判断该条件下小车是否能够滑到P点。 考点三 动能定理解决机车启动问题 一、解题原理 1. 机车两种启动模型：恒定功率启动、恒定加速度启动；牵引力，牵引力为变力； 1. 阻力全程恒定，机车牵引力为变力，优先动能定理； 1. 关系：（恒定功率下牵引力总功）；阻力恒功； 1. 末态最大速度：匀速时。 二、标准步骤 1. 分清启动模式：恒功率/恒加速度； 1. 写出牵引力做功：恒功率直接；恒加速阶段牵引力恒定用； 1. 阻力做功； 1. 列动能定理：； 1. 结合、辅助联立求解时间、位移、速度。 例1．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图1所示，质量为m=2 kg的玩具小车以恒定功率P=20 W由静止开始从O点到达A点。已知小车在到达A点前已匀速，OA段长度为L0=5 m，动摩擦因数μ0=0.2。随后小车关闭发动机进入AB段，已知轨道AB，B′C段水平，与小车之间的动摩擦因数均为μ1=0.2，AB段长度L1可调，B′C段长度L2= 1 m，光滑竖直圆轨道段BB′半径R=0.4 m，在最低点处稍微错开，斜面CD段由特殊材料制成，CD水平距离x0=1m，高度h可调，小车与CD段间动摩擦因数μ2随其水平距离的关系如图2，CD与B′C平滑连接。忽略其他阻力，小车可视为质点，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)小车在OA段的运动时间t0； (2)若要保证小车能到达竖直圆轨道且运动时不脱轨，求AB长度L1的调节范围； (3)调节长度为L1=1.25 m，若小车能停在斜面CD上，求斜面CD高度h的范围。 例2．（2025·江西宜春·二模）人类探索宇宙的过程是一个漫长而不断进步的历程，假设2125年人类在大麦哲伦星系A星球上进行太空移民，若已知A星球质量和半径均为地球的0.5倍，地球上重力加速度为（忽略星球自转），有一名质量为50kg的驾驶员驾驶一辆质量为950kg的探险车在A星球上进行探索，若该车靠面积为的光伏板吸收宇宙辐射作为能源，已知此时单位面积单位时间接收辐射能量为，若该车输出功率达接收功率60%时可保持电量不变，已知探险车所受阻力为车和驾驶员在A星球表面总重力的0.1倍。求： (1)A星球表面的重力加速度； (2)这位驾驶员驾驶该车，要保持电量不变，则行驶过程中的最大速度为多少？ (3)若该驾驶员以恒定加速度启动车辆，当电量不再增加时，保持电量行驶，全程行驶675m，则所用总时间为多少？（此前已达最大速度） 变式1．（25-26高一下·重庆渝中·阶段检测）电动汽车具有节能环保、低噪声、提速快等优点，随着电池续航能力不断提升，其越来越受到消费者的青睐。质量为m的电动车由于摩擦及空气流动等原因产生的总阻力随车速满足，其中k为已知常数。求： （1）当车以最大速度匀速行驶时，电动车所受的牵引力与车速v应满足的关系； （2）若该电动汽车的最大输出功率为，此功率下最大行驶速度为，求在此功率下，速度为时的加速度（仅用、m表达）； （3）若电动汽车以最大输出功率启动，经过时间后电动汽车的速度大小为，求该过程中电动汽车克服总阻力所做的功。 变式2．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）质量为1t的汽车，沿一条平直公路由静止开始运动，汽车在运动过程中受摩擦阻力大小恒为2000N，汽车发动机的额定输出功率为40kW，开始时以的加速度做匀加速运动（g取），求： （1）汽车所能达到的最大速率； （2）汽车做匀加速运动的时间； （3）若汽车达到最大速度后立即关闭发动机，从汽车开始运动到再一次静止共经历了20s时间，那么汽车加速阶段位移是多少。 考点四 动能定理解决传送带问题 一、解题原理 1. 物体与传送带间滑动摩擦力是变加速动力/阻力，位移分物体对地位移、传送带位移； 1. 滑动摩擦力做功改变物体动能，一对滑动摩擦力总功绝对值等于摩擦生热； 1. 全程用动能定理直接关联摩擦力做功、重力做功与物体动能变化。 二、标准步骤 1. 分析物体受力：重力、支持力、摩擦力（判断滑动/静摩擦）； 1. 确定物体初末对地速度，算出动能变化量； 1. 计算重力、摩擦力对地做功大小； 1. 列动能定理方程求解加速度、位移、末速度； 1. 求摩擦热量补充：，为物体与传送带相对位移。 例1．（25-26高一下·天津和平·期中）如图所示，水平传送带顺时针匀速转动，左右两端距离，将一质量为的小铁块（可看作质点）轻轻放在传送带左端，铁块与传送带间的动摩擦因数。铁块从A点飞出后，恰好从竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道，铁块恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知，A、B、C、D四点在同一竖直平面内，水平传送带离B端的竖直高度 ，圆弧轨道半径，C点为圆弧轨道的最低点，不计空气阻力，已知，取重力加速度g，求： (1)铁块运动到圆弧轨道最高点D点时的速度大小； (2)铁块在竖直圆弧轨道上运动的过程中克服摩擦力所做的功； (3)水平传送带的速率v； (4)铁块在传送带上运动的过程中，因摩擦而产生的热量Q以及这个过程中电动机多做的功W。 例2．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）如图所示，传送带与水平地面的夹角，从A到B的长度为，传送带以的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速度释放一个质量为的黑色煤块（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为，煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知，g取。 (1)求煤块从A到B的过程中在传送带上留下痕迹的长度； (2)因为传送煤块，电动机对传送带多做多少功？ 变式1．（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）如图所示，竖直平面内固定的四分之一光滑圆弧轨道AB和水平传送带BC相切于B点，圆弧轨道的半径，传送带以速度沿逆时针方向运行，水平地面上固定一倾角的直角斜面体DEF，直角边EF的高度，C点位于D点的正上方，并与E点等高。一个可视为质点、质量的滑块从圆弧轨道顶端A点由静止开始自由下滑，滑块刚好不从传送带右端C点滑落。已知滑块与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。求： (1)滑块第一次滑到B点时对圆弧轨道的压力； (2)滑块从滑上传送带至第一次返回到B点的过程中，滑动摩擦力对滑块做的功； (3)若圆弧轨道半径可调，滑块从C点飞出，落到斜面DE上的最小动能及对应圆弧轨道的半径。 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·月考）下图是一向上传输防滑缓冲装置，传输装置为一倾角为的倾斜传送带。传输物体时，为防止物体返回到传送带底端滑出传送带时被损坏，故在传送带底端平滑连接一倾角为37°的固定斜面，并在斜面底端固定一轻质弹簧，当物体撞击弹簧时可起到缓冲作用。某次传输物体时，传送带以的速度逆时针匀速转动，一质量物体以与水平方向夹角的初速度从传送带底端A点冲上传送带，经物体与传送带共速。若物体可视为质点，物体与传送带、斜面间的动摩擦因数相同，传送带的长度，弹簧的劲度系数，弹簧处于原长状态时其上端距传送带底端A点的距离，弹簧被压缩时始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度g取，已知，，求： (1)物体与传送带间的动摩擦因数μ； (2)物体在传送带上留下的痕迹长度； (3)弹簧的最大弹力F的大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $