浙江省2025——2026学年高一下学期期末数学复习测试（四）空间直线、平面的平行与垂直

**基本信息** 浙江省高一下期末复习测试，聚焦空间线面关系，融合浙江多地期末真题，通过翻折、动态轨迹等情境考查逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/40|空间几何体结构（第1题）、线线位置关系（第2题）|结合几何体分类与线面关系基础判断| |多选|3/18|圆锥性质（第9题）、正方体动态问题（第11题）|多选项设计考查空间想象的全面性| |填空|3/15|点到平面距离（第12题）、三面角余弦定理（第14题）|类比平面几何拓展至空间几何应用| |解答|5/77|翻折问题（第19题）、二面角最值（第19题）|综合考查逻辑推理与空间角计算，呼应高考命题趋势|

浙江省2025——2026学年高一下学期期末复习测试（四） 空间直线、平面的平行与垂直 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 2．如果空间两条直线与没有公共点，那么与（    ） A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 6．在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）在三棱台中，平面平面是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 8．（24-25高一下·浙江金华·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在圆锥中，，点为线段上的动点，则（   ） A． B．圆锥的侧面积为 C．直线与所成角为 D．当为线段中点时，直线与平面所成角的正弦值最大 10．（24-25高一下·浙江金华·期末）在四棱锥中，分别是上的点，，则下列条件可以确定平面的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 11．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（   ）    A．当M，P分别为线段，中点时，， B．取得最小值 C．当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为 D．对任意点M，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正方体棱长为3，在正方体的顶点中，到平面的距离为的顶点可能是______________.（写出一个顶点即可） 13．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时， . 14．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，直四棱柱中，底面为菱形，，，为中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 16．（24-25高一下·浙江金华·期末）在三棱锥中，是的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 18．（24-25高一下·浙江衢州·期末）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为． （i）求的长； （ii）点满足，求二面角的正切值． 19．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 参考答案 1．D 【详解】七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体. 故选项D正确. 2．D 【详解】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点， 所以D选项正确. 3．B 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 4．C 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定及充分条件的定义逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 5．B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 6．A 【分析】取的中点，连接，，或其补角即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理求出的长，再在中，利用余弦定理的推论求出即可. 【详解】    取的中点，连接，，是的中点， ，， 或其补角即为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为， 是的中点，是的中点，和均为正三角形， ，，且，， 在中，， 在中，， 异面直线与夹角的余弦值为. 故选：A. 7．D 【分析】设，若分别为的中点，连接，根据已知及线面垂直的判定、性质定理证明、，结合二面角的定义找到其平面角，进而求其正切值. 【详解】设，易知为等腰梯形，故， 所以，故， 若分别为的中点，连接，则，即， 由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，故， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则， 综上，二面角的平面角为，且为直角三角形， 由，，所以. 故选：D 8．B 【分析】根据线面垂直，结合面面角的定义可得，，进而根据全等，将问题转化为在正方形内考虑，结合对称性以及平面几何的知识即可求解. 【详解】如图，取正方体的上底面的各边中点， 过作于，作于， 则平面，平面， 平面，则， 同理可得. 由于, 因此,故, 同理可得, 因此只需要在正方形内考虑，即 等价于到的距离比到的距离大，所以在如图所示的阴影范围内. 故选：B. 9．BCD 【分析】A选项，由勾股定理求出；B选项，根据圆锥侧面积公式进行求解即可；C选项，作出辅助线，找到或其补角即为直线与所成角，为等边三角形，故；D选项，证明线面垂直，即为直线与平面所成角，当为线段中点时，取得最小值，D正确. 【详解】A选项，由题意得，由勾股定理得，A错误； B选项，圆锥的侧面积为，B正确； C选项，连接并延长，交底面圆于点，连接，则， 因为，，所以， 故均为等腰直角三角形，则，故， 所以或其补角即为直线与所成角， 又，故为等边三角形，故，C正确； D选项，由C知，， 又⊥平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 连接，则即为直线与平面所成角， 其中， 则， 当为线段中点时，因为，所以⊥， 此时取得最小值，故取得最大值， 直线与平面所成角的正弦值最大，D正确. 故选：BCD 10．BD 【分析】根据线面、面面平行的判定定理与性质，结合反证法，由选项依次证明即可. 【详解】如图，过点作交于点，连接，即有平面， 由于，所以， 若，则，又平面，平面， 所以平面，由平面， 得平面平面，又平面，所以平面，故B正确； 若平面，又因为平面平面，所以，由B可知D正确； 假设平面，设平面，则， 若平面，平面平面，所以， 反之若，当且仅当平面，即A、C同时正确或错误； 若，可能，也可能与相交． 若与相交，由知延长必与、交于同一点， 由几何关系知与不平行，故A、C错误． 故选：BD 11．BCD 【分析】A.首先判断和的关系，即可判断A；B.将三角形和三角形展成一个平面，根据，即可求解；C.利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断C；根据几何关系，判断平面，判断D. 【详解】对于A.如图，，， ，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误；    对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为， ，， ，故B正确；    对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球， 可以将四棱锥补成如图的长方体， 所以外接球的直径，即， 所以外接球的体积，故C正确；    对于D.如图，平面，平面，所以， 且，且，且平面，所以平面， 平面，所以， 同理， 且，且平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确.    12．【答案】A（A，C，，任填一个即可） 【解析】 【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断. 【详解】显然在平面内，不合题意， 设点A到平面的距离为，可知， 因为，则，解得， 设，即平面，且为的中点， 所以点C到平面的距离为， 可证平面//平面，则平面上任一点到平面的距离为， 所以C，，符合题意， 由图易知点到面的距离大于， 综上所述：平面的距离为的顶点有且仅有A，C，，. 故答案为：A（A，C，，任填一个即可）. 13．2 【分析】取的中点，连接.根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.利用勾股定理求得的长. 【详解】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，. 14./ 【分析】连接，由余弦定理及线面垂直的判定和性质得在底面内的投影在直线上，根据已知及定义列方程求二面角的余弦值. 【详解】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连交于点，利用中位线得线线平行，进而由线面平行的判定定理证明； （2）方法一：利用面面垂直的判定定理与性质定理作出点到平面的垂线，结合等面积法可求解；方法二：利用等体积法求解. 【详解】（1）连交于点，∵底面为菱形，∴为线段的中点， 又∵为中点，∴为的中位线， 又∵平面，平面，平面. （2）法一：平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面， 又平面平面， 作，平面，平面， 在中，，，， ∴ ，即点到平面的距离为. 法二：设点到平面的距离为，， 由于，因此为等腰三角形， ∴，，， 由得 ，即，解得， ∴点到平面的距离为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）作于F，结合余弦定理求出，再利用几何法求出线面角的正弦. 【详解】（1）连接，由为中点，得， 由，得，， 因此，而平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）在平面内过点D作于F，连接， 由平面平面，平面平面，于是平面， 即为直线与平面所成角，在中，， 则，， 因此，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； （2）由（1）得，过作交于，连接，然后可证平面，即就是直线AB与平面AED所成角，进行求值即可. 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. （2）由（1）知，，平面平面， 所以就是二面角的平面角，即， 过作交于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角， 又，所以， 直线AB与平面AED所成角的正弦值为. 18．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用菱形性质得，结合及等腰三角形三线合一得，再依据线面垂直判定定理，即可证得结果. （2）（i）取中点，设，可证得平面，则即为直线与平面所成的角，根据已知计算即可得出的长； （ii）由（i）可知为二面角的平面角，作于，可得为二面角的平面角，设二面角的大小为，则计算即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点． 因为，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，所以平面． （2）（i）取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以平面， 所以，所以， 设，连接，则平面，且即为直线与平面所成的角. 所以，所以， 因为，所以，，， 所以，所以，所以． （ii）由（i）可知为二面角的平面角， 且， 连接，因为，所以，所以平面， 作于，连接，则为二面角的平面角， 且， 所以，所以， 设二面角的大小为，则． 19．(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）根据异面直线所成角定义结合余弦定理计算求解； （2）先根据边长关系得出，进而应用线面垂直判定定理得出平面，即可证明线线垂直； （3）应用面面垂直判定定理得出平面，进而得到平面，应用定义得出即为二面角的平面角，再结合基本不等式求解最大值即可求出角的最值. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，所以，又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 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