5.3.2销售中的盈亏问题（第42课时）学案 2026-2027学年 人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“销售中的盈亏问题”，涵盖进价、售价、利润、利润率等概念及一元一次方程应用。通过双11促销的生活情境导入，如衣服鞋子的打折、盈亏计算，衔接一元一次方程解法，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 资料以生活情境激发兴趣，错误诊所针对性解决利润率基数、打折计算等易错点，典型例题和达标检测分层设计。通过数学建模分析等量关系，培养应用意识，提升数学思维，助力学生掌握方程思想解决实际问题。

5.3.2 销售中的盈亏问题 一、学习目标（核心素养） 1. 数学建模：能分析销售问题中的数量关系，找出等量关系并列一元一次方程。 2. 数学运算：掌握销售问题中进价、售价、利润、利润率之间的关系，能熟练计算。 3. 应用意识：能运用方程思想解决生活中的销售盈亏、打折促销等实际问题。 4. 数学思维：经历将实际问题转化为数学问题的过程，培养分析问题和解决问题的能力。 二、重点难点 重点 销售问题中的基本概念和数量关系 利用一元一次方程解决销售中的盈亏问题 打折销售问题的计算 难点 准确找出销售问题中的等量关系 理解利润率的概念及计算 多件商品的盈亏总计算 三、情境导入 【生活情境】 双11期间，某网店搞促销活动： • 一件衣服标价200元，打8折出售； • 一双鞋子标价300元，打7折出售； • 已知衣服的进价是100元，鞋子的进价是200元。 想一想： 打折是什么意思？打8折是按原价的多少出售？ 这件衣服卖出去是赚了还是赔了？赚（赔）了多少？ 这双鞋子的利润率是多少？ 四、合作探究 探究一：销售问题中的基本量 销售问题中常见的量： 概念 含义 举例 进价（成本价） 购进商品时的价格 某商品进价100元 标价（原价） 商品出售时标注的价格 某商品标价150元 售价（卖价） 商品实际卖出的价格 某商品售价120元 利润 售价与进价的差 120 - 100 = 20元 利润率 利润占进价的百分比 × 100% = 20% 基本关系式： ① 利润 = 售价 - 进价（成本） ② 利润率 = 利润/进价 × 100% ③ 售价 = 进价 + 利润 = 进价 × (1 + 利润率) ④ 售价 = 标价 × 探究二：盈亏问题 【问题】某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%， 另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【分析】 1. 两件衣服的售价都是60元，一共卖了120元。 2. 要判断盈亏，需要知道这两件衣服的进价（成本）各是多少。 3. 设盈利25%的那件衣服的进价是x元， 它的商品利润就是0.25x元。 根据售价 = 进价 + 利润，列方程：x + 0.25x = 60 解得：x = 48 4. 类似地，可以设另一件亏损衣服的进价为y元， 它的商品利润是 -0.25y 元（亏损即负利润）。 列方程：y + (-0.25y) = 60 解得：y = 80 5. 两件衣服的进价是 x + y = 48 + 80 = 128 元， 两件衣服的售价是 60 + 60 = 120 元。 因为 进价 > 售价，所以卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损8元。 注意： 盈利25%和亏损25%的基数不同！盈利25%是基于盈利那件的进价，亏损25%是基于亏损那件的进价。 不能简单地认为 '25%盈利 - 25%亏损 = 不盈不亏'，因为它们的单位'1'不同。 探究三：打折销售问题 【问题】某商品的进价是200元，标价为300元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售， 问最低可以打几折出售此商品？ 【分析】 设最低可以打x折出售此商品。 打折后的售价 = 标价 × = 300 × = 30x 元 利润 = 售价 - 进价 = 30x - 200 元 利润率 = 利润/进价 = 根据利润率不低于5%，列不等式（或方程，求最低值）： = 5% 解得：30x - 200 = 10 30x = 210 x = 7 结论： 最低可以打7折出售此商品。 打几折的意思是：按原价的十分之几出售。打x折，即售价 = 标价 × 。 五、典型例题 题型一：基本量计算 【例1】填空： (1) 某商品进价是100元，售价是120元，则利润是____元，利润率是____。 (2) 某商品进价是150元，利润率是20%，则利润是____元，售价是____元。 (3) 某商品标价是200元，打8折出售，则售价是____元。 (4) 某商品售价是120元，利润率是20%，则进价是____元。 解： (1) 利润 = 120 - 100 = 20元，利润率 = × 100% = 20% (2) 利润 = 150 × 20% = 30元，售价 = 150 + 30 = 180元 (3) 售价 = 200 × 0.8 = 160元 (4) 设进价为x元，x × (1 + 20%) = 120，解得x = 100元 题型二：盈亏判断 【例2】某商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元。其中一台盈利20%， 另一台亏本20%。这次出售中商场是赚还是赔，或是不赚不赔？ 解：设盈利20%的电子琴进价为x元，亏本20%的电子琴进价为y元。 根据题意得：x(1 + 20%) = 960，解得x = 800 y(1 - 20%) = 960，解得y = 1200 总进价 = 800 + 1200 = 2000元 总售价 = 960 + 960 = 1920元 因为 2000 > 1920，所以总利润 = 1920 - 2000 = -80元 答：这次出售中商场亏本80元。 题型三：打折促销问题 【例3】某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手， 该商店采取了如下销售方案：将价格提高到原来的2.5倍，再做三次降价处理： 第一次降价30%，第二次降价30%，第三次再降价30%。 三次降价处理销售结果如下表： 降价次数 第一次 第二次 第三次 销售件数 10件 40件 一抢而光 问：(1) 第三次降价后的价格占原价的百分比是多少？ (2) 该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利？ 解：(1) 设原价为a元， 提价后价格 = 2.5a 元 第一次降价后 = 2.5a × (1 - 30%) = 2.5a × 0.7 = 1.75a 元 第二次降价后 = 1.75a × 0.7 = 1.225a 元 第三次降价后 = 1.225a × 0.7 = 0.8575a 元 所以第三次降价后的价格占原价的 85.75%。 (2) 原价全部售完的销售额 = 100a 元 新方案销售额 = 10 × 1.75a + 40 × 1.225a + 50 × 0.8575a = 17.5a + 49a + 42.875a = 109.375a 元 因为 109.375a > 100a，所以新销售方案更盈利。 六、错误诊所 易错点1：利润率的基数搞错 【错例】某商品进价100元，售价120元，利润率 = × 100% ≈ 16.7% 【诊断】利润率 = 利润/进价 × 100%，基数是进价（成本），不是售价。 【正解】利润率 = × 100% = 20% 易错点2：打折计算错误 【错例】商品标价200元，打8折，售价 = 200 × 8 = 1600元 【诊断】打8折是按原价的（即80%）出售，不是乘以8。 【正解】售价 = 200 × 0.8 = 160元（或200 × = 160元） 易错点3：多件商品盈亏误判 【错例】两件商品都卖100元，一件赚25%，一件亏25%，所以不赚不亏。 【诊断】赚25%和亏25%的基数（进价）不同，不能直接抵消。 【正解】设进价分别为x、y，x(1+25%)=100，y(1-25%)=100，解得x=80，y≈133.3， 总进价≈213.3元，总售价200元，亏损约13.3元。 易错点4：利润与利润率混淆 【错例】某商品进价100元，利润率20%，则利润 = 100 × 20 = 2000元 【诊断】利润率20%是，即0.2，不是20。 【正解】利润 = 100 × 20% = 100 × 0.2 = 20元 七、达标检测 基础达标 1. 某商品进价是80元，售价是100元，利润是____元，利润率是____。 2. 某商品标价150元，打9折出售，售价是____元。 3. 某商品进价是x元，利润率是15%，则售价是（ ） A. 15%x B. (1-15%)x C. (1+15%)x D. +15%) 4. 一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元。 设这件商品的成本价为x元，下面所列方程正确的是（ ） A. x·20%·90% = 270 B. x(1+20%)·90% = 270 C. x(1+20%)(1-90%) = 270 D. x(1+20%)·90% = 270x 5. 一家商店将某种商品按成本价提高50%后，标价为450元， 又以8折出售，则这件商品的成本是多少元？售出这件商品可获利多少元？ 能力提升 6. 某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%， 另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A. 不赔不赚 B. 赚了8元 C. 赔了8元 D. 赚了32元 7. 某商品的进价是2000元，标价为2800元，商店要求以利润率不低于5% 的售价打折出售，问最低可以打几折出售此商品？ 8. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%， 则该商品的标价为多少元？ 拓展探究 9. 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元。从产地到商店 的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及 销售过程中的损耗是10%，商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？ 10. 某服装商店以135元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%， 第二件亏损25%，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？ 请通过计算说明。 八、中考链接 1. （2023·陕西中考）某品牌运动鞋的标价为每双300元， 若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这种运动鞋的成本价为每双（ ） A. 180元 B. 190元 C. 200元 D. 210元 2. （2024·湖南中考）某超市正在热销一种商品，其标价为每件10元， 若按标价的八折销售，仍可获利10%，则该商品每件的进价为____元。 3. （2024·山东模拟）某服装店同时以300元的价钱售出两件不同进价的衣服， 其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家服装店（ ） A. 不赔不赚 B. 赔了25元 C. 赚了25元 D. 赔了15元 九、数学文化 《九章算术》中的销售问题 《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，成书于公元1世纪左右。 书中的'盈不足'章专门讨论了盈亏类问题，其中就涉及到了销售和利润的计算。 例如：'今有人持钱之蜀贾，利十三。初返归一万四千，次返归一万三千， 次返归一万二千，次返归一万一千，次返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。 问本持钱及利各几何？' 意思是说：有人带着钱去四川做生意，利润率是（即30%）。 五次返回时分别带回14000、13000、12000、11000、10000钱， 第五次返回后本利全部用完。问最初带了多少钱？共获利多少？ 这个问题用我们今天的方程来解其实不难， 但在两千多年前，古人就能用'盈不足术'来解这类问题， 展现了中国古代数学的辉煌成就。 十、小结反思 知识要点 内容总结 基本公式 利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润/进价 × 100% 售价计算 售价 = 进价 × (1 + 利润率)；售价 = 标价 × 盈亏判断 总售价 > 总进价 → 盈利；总售价 < 总进价 → 亏损 解题步骤 审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 求解 → 检验作答 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了用一元一次方程解决销售问题： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 填空： (1) 某商品进价是100元，售价是120元，则利润是____元，利润率是____。 (2) 某商品进价是150元，利润率是20%，则利润是____元，售价是____元。 (3) 某商品标价是200元，打8折出售，则售价是____元。 (4) 某商品售价是120元，利润率是20%，则进价是____元。 解： (1) 利润 = 120 - 100 = 20元，利润率 = × 100% = 20% (2) 利润 = 150 × 20% = 30元，售价 = 150 + 30 = 180元 (3) 售价 = 200 × 0.8 = 160元 (4) 设进价为x元，x × (1 + 20%) = 120，解得x = 100元 题型二：盈亏判断 【例2】 某商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元。其中一台盈利20%， 另一台亏本20%。这次出售中商场是赚还是赔，或是不赚不赔？ 解：设盈利20%的电子琴进价为x元，亏本20%的电子琴进价为y元。 根据题意得：x(1 + 20%) = 960，解得x = 800 y(1 - 20%) = 960，解得y = 1200 总进价 = 800 + 1200 = 2000元 总售价 = 960 + 960 = 1920元 因为 2000 > 1920，所以总利润 = 1920 - 2000 = -80元 答：这次出售中商场亏本80元。 题型三：打折促销问题 【例3】 某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手， 该商店采取了如下销售方案：将价格提高到原来的2.5倍，再做三次降价处理： 第一次降价30%，第二次降价30%，第三次再降价30%。 三次降价处理销售结果如下表： 问：(1) 第三次降价后的价格占原价的百分比是多少？ (2) 该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案更盈利？ 解：(1) 设原价为a元， 提价后价格 = 2.5a 元 第一次降价后 = 2.5a × (1 - 30%) = 2.5a × 0.7 = 1.75a 元 第二次降价后 = 1.75a × 0.7 = 1.225a 元 第三次降价后 = 1.225a × 0.7 = 0.8575a 元 所以第三次降价后的价格占原价的 85.75%。 (2) 原价全部售完的销售额 = 100a 元 新方案销售额 = 10 × 1.75a + 40 × 1.225a + 50 × 0.8575a = 17.5a + 49a + 42.875a = 109.375a 元 因为 109.375a > 100a，所以新销售方案更盈利。 一、基础达标 1. 20，25% 2. 135 3. C 4. B 5. 解：设成本是x元，x(1+50%)×0.8 = 270？不对，标价为450元，所以：x(1+50%) = 450，x = 300元。8折售价 = 450 × 0.8 = 360元，利润 = 360 - 300 = 60元。答：成本300元，可获利60元。 二、能力提升 6. B 提示：设进价分别为x、y，x(1+60%)=64，y(1-20%)=64，解得x=40，y=80，总进价120元，总售价128元，赚了8元。 7. 解：设最低打x折，2800 × - 2000 = 2000 × 5% 280x = 2100，x = 7.5 答：最低可以打7.5折。 8. 解：设标价为x元，0.8x - 1980 = 1980 × 10%0.8x = 2178，x = 2722.5答：标价为2722.5元。 三、拓展探究 9. 解：设零售价为每千克x元，收购1吨（1000千克）计算。收购成本 = 1000 × 1.2 = 1200元运费 = 400 × 1.5 = 600元总成本 = 1200 + 600 = 1800元损耗后实际卖出 = 1000 × (1-10%) = 900千克总售价 = 900x要实现25%利润率：900x - 1800 = 1800 × 25%900x = 2250，x = 2.5答：零售价应是每千克2.5元。 10. 解：设第一件成本x元，x(1+25%)=135，x=108设第二件成本y元，y(1-25%)=135，y=180总成本 = 108 + 180 = 288元总售价 = 135 + 135 = 270元因为288 > 270，所以亏了18元。答：总体上亏了18元。 四、中考链接 1. A 提示：设成本价x元，300×0.8 - x = 60，x = 180 2. 8 提示：设进价x元，10×0.8 - x = 10%x，x = 8 3. B 提示：设进价分别为x、y，x(1+20%)=300，y(1-20%)=300，解得x=250，y=375，总进价625元，总售价600元，赔了25元。 学科网（北京）股份有限公司 $