第24章 数据的分析单元复习（8大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年人教版八年级数学下学期

该初中数学讲义通过分层梳理和对比表格系统构建了“数据的分析”单元知识体系，涵盖算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差等核心知识点，用对比表呈现统计量的特征与适用场景，以分层题型框架体现知识递进关系，清晰标注重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，基础题型如“平均数计算”结合实际场景培养数据意识，培优题型“由统计量反求参数”强化推理能力，压轴题型“箱线图综合分析”提升应用意识。每个题型配例题与变式题，帮助不同层次学生掌握方法，支持自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第24章 数据的分析 知识点1：算术平均数 1.定义：一般地，对于个数据，算术平均数，它反映一组数据的平均水平。 2.数据变换规律：若一组数据的平均数为，则数据的平均数为；数据的平均数为。 3.特征：平均数受每一个数据影响，极易受极端值干扰。 知识点2：加权平均数 1.定义：若数据对应的权数为（），则加权平均数。 2.权的形式：权可以是频数、比例、百分比、比值，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 3.关系：算术平均数是所有数据权相等时的特殊加权平均数。 知识点3：中位数 1.求解步骤：先将数据从小到大（或从大到小）排序；再根据数据个数判断： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特征：仅与数据排列位置有关，不受极端值影响，反映数据的中等水平。 知识点4：众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.分类情况：可以有一个、多个众数；若所有数据出现次数相同，则没有众数。 3.特征：不受极端值影响，反映数据的多数集中水平，常用于销售、投票等场景。 知识点5：平均数、中位数、众数对比表 统计量 核心作用 优点 缺点 典型适用场景 平均数 反映整体平均水平 利用全部数据信息 易受极端值影响 数据分布均匀、无异常值 中位数 反映中等水平 不受极端值干扰 无法利用全部数据 数据存在极端值、偏态分布 众数 反映多数水平 直观易懂、不受极端值干扰 不唯一，数据均匀时无意义 商品销售、民意统计 知识点6：方差与离散程度 1.方差定义：设有个数据，平均数为，则方差。 2.方差意义：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 3.数据变换规律：原数据方差为，则： 数据，方差仍为； 数据，方差为。 知识点7：离差与离差平方和 1.离差：单个数据与平均数的差，即。 2.离差平方和：，等于，直观体现数据整体偏离程度。 知识点8：四分位数与箱线图 1.四分位数：将排序后的数据四等分，分为下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、上四分位数（75%分位数）。 2.箱线图：由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五部分组成，直观展示数据分布范围与离散程度。 【基础必考题型】 【题型1】平均数基础计算 1.核心知识点 算术平均数公式；去掉最高分/最低分求平均的实际应用；简单数据变换后的平均数计算。 2.解题方法技巧 先计算数据总和，再除以数据总个数；去掉极端值后，重新统计数据个数与总和再计算；牢记“同加不变差，同乘扩倍”的平均数变换规律。 【例题1】.（2026·山西·一模）年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 先求出三场直播的总销售额与总直播时长，再根据平均数的定义计算平均每小时的销售额，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 三场直播总销售额为（万元）， 三场直播总时长为：（h）， 则平均每小时的销售额为（万元）． 故答案为：． 【变式题1-1】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某篮球队5名上场队员的身高（单位：cm）分别是182，184，187，188，192，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的平均身高（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变化无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 分别计算出原数据和新数据的平均数，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：原数据的平均数为： 新数据的平均数为 ∵， ∴与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用平均数的计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵n个数据的和为108，平均数为12， ∴． 【变式题1-3】.（2026·上海松江·模拟预测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【答案】 【分析】本题考查平均数的定义与计算，根据平均数的运算性质，推导每个数据减去原平均数后新数据的平均数即可． 【详解】解：设原个数据分别为，原数据的平均数为，根据平均数的定义得 新数据为每个原数据减去原平均数，即，，，，设新数据的平均数为， 则 ． 【题型2】加权平均数计算 1.核心知识点 加权平均数公式；频数、百分比两种常见权重的识别与计算。 2.解题方法技巧 频数权重：每组数据×对应频数后求和，再除以总个数；百分比权重：数据×对应占比后直接求和，无需额外除法。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【答案】D 【分析】利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）． 【变式题2-1】.（2026·江苏泰州·二模）在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算规则，将两项成绩分别乘以对应权重后求和，即可得到综合成绩． 【详解】解：∵综合成绩为两项成绩分别乘以对应权重的和， ∴小康的综合成绩为：． 【变式题2-2】.（2026·广东河源·一模）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试．其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲员工的听、说、读、写的各项测试成绩分别为70分，80分，90分，90分，则甲员工的最终成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．86分 D．90分 【答案】A 【详解】解：∵听、说、读、写各项成绩的比例为，总权重为， ∴甲员工的最终成绩为：分． 即甲员工最终成绩为79分． 【变式题2-3】.（2026·湖南·三模）小马同学在假期实践活动中调查了某一小型智能公司员工的月收入情况如下表，则这家公司员工的平均月收入为_________． 月收入/元 50000 18000 10000 5000 3600 3000 人数 1 1 1 7 6 4 【答案】元 【分析】根据加权平均数的定义，先计算总收入和总人数，再用总收入除以总人数得到平均月收入. 【详解】首先计算员工总人数： 再计算所有员工的月收入总和：， 根据加权平均数的计算方法，平均月收入为：（元）. 【题型3】中位数求解 1.核心知识点 中位数定义；数据排序规则；奇数、偶数个数据的中位数判定。 2.解题方法技巧 解题第一步必须排序；表格类数据依次累加频数，定位中间位置的数据。 【例题3】.（2026·山东临沂·二模）在进行数学素养能力大赛校级竞选时，7名选手得分分别是：9，7，7，8，6，7，5，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（     ） A．7，7，8 B．8，7，7 C．7，7，7 D．7，8，7 【答案】C 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义依次计算三个统计量即可得到答案． 【详解】解：先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这里出现次，次数最多， ∴众数为， ∵这组数据共个数，第个数是， ∴中位数为， 计算平均数： ， ∴平均数为 因此这组数据的众数、中位数、平均数分别是． 【变式题3-1】.（2026·山东淄博·二模）在2026年米兰冬奥会上，中国体育代表团夺得5金4银6铜共15枚奖牌．回顾中国体育代表团参加的近六届冬奥会，其每届获得奖牌总数（单位：枚）的情况如表： 年份 2026年 2022年 2018年 2014年 2010年 2006年 奖牌总数 15 15 9 9 11 11 则奖牌总数这组数据的中位数是（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先将这组数据从小到大排序，再根据中位数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵将奖牌总数从小到大排序为，，，，，，这组数据共有个，个数为偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即中位数为． 【变式题3-2】.（2026·上海·三模）有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】该组数据共8个，为偶数个，中位数是排序后第4个和第5个数据的平均数，众数是出现次数最多的数，结合选项逐一验证即可． 【详解】解：当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 数据均出现2次，中位数为，不存在中位数与众数相等的情况，不符合要求； 因此的值可以是2． 【变式题3-3】.（2026·浙江温州·二模）某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（     ） A．若，则b的最小值为7 B．若，则b的最大值为8 C．若，则a的最大值为 D．若，则a的最小值为6 【答案】C 【分析】先将6个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据关系，再结合平均数公式，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：设6位同学命中次数从小到大排列为 ， 由题意得 ，中位数为6， 所以 ，即， 因为众数是6， 若 ，则 ， 此时数据中最多只有1个6，不满足众数为6， 因此 ，6个数为 ，满足 ，所有数为不超过10的整数，6是唯一众数，总和满足 ． 若，则 ， 对A选项，若 ，则 ， ， ，不成立，A错误． 对B选项，取 ，数据 满足所有条件， 此时 ，B错误． 若，则 ， 对C选项，要使最大，需 最大， ， 取 ，此时 ，数据 满足所有条件， 故最大值为，C正确． 对D选项，要使最小，需 最小，取 ， 此时 ，数据 满足所有条件， 故最小值不是，D错误． 【题型4】众数判断 1.核心知识点 众数定义；众数不唯一、无众数的特殊情况。 2.解题方法技巧 统计每个数据出现的频次，频次最高即为众；销售、尺码统计类问题优先关注众数。 【例题4】.（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）2026东北超级志愿者评选，六位评委打分分别是8.6，8.9，9.3，9.1，8.9，9.4，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8.9，9.0 B．8.9，8.9 C．9.4，9.0 D．9.4，8.9 【答案】A 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：，，，，，， ∵出现次，次数最多，其余数都只出现次， ∴众数为， ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为和， ∴中位数为． 【变式题4-1】.（2026·广东广州·二模）某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后位于中间的一位或者两位的平均数，进行求解即可. 【详解】解：由图可知，所获徽章个数为7个的人数最多，故众数为7； 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为7和8， ∴中位数为. 【变式题4-2】.（2026·浙江杭州·二模）当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义确定的取值范围，再找出满足条件的使取最大值．中位数定义为奇数个数据从小到大排列后，位于中间位置的数；唯一众数要求6的出现次数大于其他所有数的出现次数． 【详解】解：∵这组数据共5个，从小到大排列后中位数是第3个数，且中位数为5，而已知数据中有两个6大于5， ∴排列后第3个数是5，可得 ， ∵原数据中6已经出现2次，且这组数据的唯一众数是6， ∴其他数的出现次数都必须小于2，若中有1个是5，则5出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若 ，则这个数出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若都是5，则5出现3次，众数为5，均不符合要求， ∴ ，为不同自然数，要使最大，取满足条件的最大，得，， ∴． 【变式题4-3】.（2026·山东烟台·一模）嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（   ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【答案】B 【分析】先根据条形统计图得出前5次的成绩，再根据众数的定义确定第6次的成绩，最后根据中位数的定义计算即可． 【详解】解：由图可知，前5次测试成绩分别为8，10，7，8，7， ∵六次测试成绩的众数为7， ∴第6次测试成绩必须为7， 六次测试成绩从小到大排列为：7，7，7，8，8，10， 中位数为． 【题型5】方差基础计算与稳定性判断 1.核心知识点 方差计算公式；方差与数据稳定性的关系。 2.解题方法技巧 先求平均数，再代入方差公式分步计算；比较两组数据稳定性，直接对比方差大小即可。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查统计量的性质，需掌握所有数据同时加同一个常数时各统计量的变化规律，明确方差是反映数据波动程度的统计量. 【详解】解：∵每个评委打分都提高 ， ∴这组数据的平均数、众数、中位数均会增加 ，这三个统计量都会发生变化， 又∵方差是衡量数据波动幅度的统计量，所有数据同时加上同一个常数，数据间的差值不变，波动幅度不变， ∴方差不会发生变化， 因此答案选D 【变式题5-1】.（2026·浙江杭州·二模）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况，小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（     ） A．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 B．甲、乙两地都随机抽取了10株小麦的高度 C．若，则甲地小麦长得比较整齐 D．甲、乙两地小麦高度的中位数相等 【答案】D 【分析】根据方差公式 ，结合方差的意义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差公式中是样本容量，是样本平均数，对比题中和 ∴甲、乙两组的样本容量均为，平均数均为，因此A、B选项表述正确； ∵方差越小，数据波动越小，小麦长势越整齐 ∴若，则甲地小麦长得比较整齐，C选项表述正确； ∵两组数据平均数相等，不能推出中位数一定相等，存在平均数相同但中位数不同的两组数据，因此D选项表述不一定正确． 【变式题5-2】.（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差即可选出符合要求的人选． 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 【题型6】离差平方和计算与基础应用 1.核心知识点 离差、离差平方和的定义；离差平方和与方差的换算关系（）。 2.解题方法技巧 逐个计算数据与平均数的差的平方，再求和；已知方差可直接结合数据个数求离差平方和。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·期末）下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【答案】共有3种不同的分法．最优分组是和． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【答案】{}，{，，，，} 【分析】根据组内离差平方和的性质求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排列，得，，，，，， 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 计算结果表明，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{}，{，，，，}． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 【培优高频题型】 【题型7】由统计量反求未知数据/参数 1.核心知识点 平均数、中位数、众数公式变形；方程思想在统计中的应用。 2.解题方法技巧 设未知量，根据统计量公式列一元一次方程求解；中位数、众数类问题结合数据排序规律限定参数范围。 【例题7】.（2026·福建宁德·一模）某市计划举办“大美山河，健康满格”——2026环湖公里健康跑，赛道沿途设有个补给站，分别位于公里、公里、公里、公里、公里、公里处．本届比赛预计有名选手参赛，为合理估算饮用水的需求量，随机调查了名上届比赛选手，统计每名选手全程取用饮用水的总瓶数（每站最多取1瓶），结果如统计表所示；同时统计了他们在个补给站的取水量占取水总量的比例，结果如统计图所示． 选手全程取用饮用水统计表 用水量 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 人数（人） 各补给站取水量占比统计图 请回答下列问题： (1)每位选手在比赛中平均取用多少瓶水； (2)组委会决定在估算数量的基础上多准备作为安全余量，请计算本次活动一共需要准备多少瓶水？公里补给站应准备多少瓶水？ (3)观察取水人数的变化规律，结合10公里健康跑的比赛过程，写一条合理建议，帮助组委会科学安排补给． 【答案】(1)每位选手在比赛中平均取用瓶水 (2)本次活动一共需要准备瓶水；公里补给站应准备瓶水 (3)公里补给站取水人数最多，建议多安排志愿者组织取水，避免拥堵 【分析】（1）用样本估计总体即可求解； （2）先算出总备水量，再根据取水占比求出结论即可； （3）言之有理即可. 【详解】（1）解：（瓶）. 答：每位选手在比赛中平均取用瓶水. （2）解：， 总备水量： ， 公里补给站备水量：； 答：本次活动一共需要准备瓶水；公里补给站应准备瓶水. （3）建议：公里补给站取水人数最多，建议多安排志愿者组织取水，避免拥堵. 建议：公里、公里、公里补给站取水量占比较大，建议多准备一些水在这些补给站. （言之有理即可） 【变式题7-1】.（2026·陕西咸阳·三模）年月日是我国第个“防灾减灾日”，主题是“人人讲安全、个个会应急——提高防灾减灾救灾能力”．某校为加强学生的防灾减灾救灾应急能力，举办了防灾减灾知识大赛，活动结束后，随机抽取了部分学生的知识大赛成绩（单位：分，满分：分），发现成绩均高于分，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 组内总成绩/分 已知组学生人数占所抽取学生总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中______，所抽取知识大赛成绩的中位数位于______组，并补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次知识大赛，对成绩高于分的学生发放“防灾知识达人”徽章，请你估计该校获得徽章的学生总人数． 【答案】(1)，， (2)分 (3)名 【分析】（1）先用组的频数除以其占比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他各组的频数可得的值，进而可补全频数分布直方图，找出排在第和第位的位置，即可得到中位数所在位置，； （2）用总分数除以总人数，即可求解； （3）用乘以成绩高于分的占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的总人数为（名）， ， 将名学生成绩从小到大进行排序，排在第和第位的都在组，因此所抽取学生竞赛成绩的中位数在组， 频数分布直方图略； （2）解：（分）， 所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数为分； （3）解：（名）， 估计该校获得徽章的学生总人数是名． 【变式题7-2】.（2026·广东珠海·三模）某水果公司以10元的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8 ，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 a 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 (1)直接写出上述表格中a，b，c的值． (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ 【答案】(1)； (2)选择平均数（或中位数）4.75，这2000箱荔枝共损坏了千克；选择众数4.7，这2000箱荔枝共损坏了千克． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）用每箱标准质量减去选择的统计量，再乘以即可． 【详解】（1）解：由数据可知，质量为的有6箱， ∴， 数据中出现的次数最多，有次， ∴众数， 将数据按从小到大排列，排在中间的两个数（第10、11位）为4.7和4.8， ∴中位数； （2）解：选择平均数（或中位数）4.75， 这2000箱荔枝共损坏了（千克）； 选择众数4.7，这2000箱荔枝共损坏了（千克）． 【变式题7-3】.（2026·广东深圳·三模）为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b (1)填空：________，________，________（填写“、或”）； (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】(1)71，69， (2)B款无人机运行时间更有优势，理由： ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． (3)变小 【分析】（1）根据方差，中位数，众数的定义求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【详解】（1）解：A款无人机数据方差， B款数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为，出现次数最多的数据为69，故； 方差． ∴； （2）略 （3）解：新增数据70与A款无人机的平均数相等，故加入后会减小数据的方差． 【题型8】数据修改对统计量的影响分析 1.核心知识点 数据增减、改动后，平均数、中位数、众数、方差的变化规律。 2.解题方法技巧 平均数：数据变大则平均数变大，反之变小；中位数、众数仅和数据位置、频次有关，不一定改变；极端值改动会显著影响方差。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）某班同学在体育课上进行跳高比赛．下面是第一组名同学的成绩． 姓名 成绩/ 姓名 成绩/ (1)把这组数据从大到小排列； (2)分别求出这组数据的平均数和中位数； (3)如果再增加一个同学的成绩是，那么这组数据的中位数是多少？ 【答案】(1) (2)平均数为，中位数为 (3) 【分析】（）根据表中数据从大到小排列即可； （）根据平均数和中位数的定义解答即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了数据的整理，平均数和中位数，掌握平均数和中位数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：数据从大到小排列为； （2）解：平均数为， 中位数为； （3）解：增加一个同学成绩后的数据从大到小排列为， ∴中位数为． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数（单位：分）如下：，，，，，，．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（    ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．离均差平方和 【答案】C 【分析】 本题考查了平均数、方差、中位数、离均差平方和，根据平均数、方差、中位数、离均差平方和的定义分别求出数据变化前后的平均数、方差、中位数、离均差平方和，通过比较判断即可． 【详解】解：把这一组数据按照从小到大排列，，，，，，，， A选项：这组数据的平均数为：， 去掉一个最高分和一个最低分后平均数为：， 平均分发生了改变， 故A选项不符合题意； B选项：这组数据的方差为， 去掉一个最高分和一个最低分后的方差为， 方差发生了改变， 故B选项不符合题意； C选项：把这组数据按照从小到大排列，，，，，，，， 中间的一个数据是， 这组数据的中位数是， 去掉一个最高分和一个最低分后这组数据为：，，，，， 中间的一个数据仍然是， 这组数据的中位数没有发生变化， 故C选项符合题意； D选项：这组数据的离均差平方和为： 去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的离均差平方和为， 离均差平方和发生了变化， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式题8-2】.（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①______ 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 ②______ 8 0.96 (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； (3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56．（填“”或“”或“”） 【答案】(1)①，② (2)选甲，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据甲得分的折线图，对甲得分进行排序即可求出中位数，根据丙得分的扇形统计图，即可求出丙的平均数； （2）比较三人差异以及相同点即可得到答案； （3）重新计算出方差，再比较大小即可． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分从小到大排序为：8，8，9，9，10， 则甲得分的中位数为9； 根据丙得分的扇形统计图可知，打分为10分的评委有（人），打分为8分的评委为（人）， 则丙得分的平均数为． （2）解：选甲更合适，理由如下： 因为甲、乙、丙三人得分的平均数相同，说明三人实力相当，但甲、乙两人的中位数高于丙且甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲． （3）解：根据题意，去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）某球队6名队员的身高（单位：cm）是：179，183，187，189，191，193．现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（   ） A．平均数变小，方差变小       B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小      D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差的计算，分别计算出增加队员前后的平均数和方差，比较变化即可． 【详解】解：原数据的平均数为， 则原数据的方差为， 新数据的平均数为， 则新数据的方差为， ∴平均数不变，方差变小， 故选：C． 【压轴素养题型】 【题型9】四分位数与箱线图综合分析 1.核心知识点 四分位数定义；箱线图五要素解读；利用箱线图对比多组数据分布。 2.解题方法技巧 先排序再划分四等分区间确定四分位数；通过箱线图的箱体、线段长短判断数据离散程度与范围。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，  25和40 ， (2)B阅览室的，，，绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据和折线图，完成表格即可； （2）四分位数包括下四分位数、中位数和上四分位数，结合图表计算出B阅览室预约人数的四分位数后，绘制箱线图即可； （3）结合图表，从多角度分析，用平均数和中位数反映集中趋势，用方差判断稳定性． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）略 【变式题9-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【答案】(1)该地区今年5月有严重污染天气 (2)该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 【变式题9-2】.（2026·安徽合肥·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】(1)94，40 (2) (3)对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，先求出“”得分在C组中所占的比例，再求出m的值即可； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数， “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； （2）解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【变式题9-3】.（2026·安徽合肥·一模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： 78，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，⋯ 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 (1)心理健康课前测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； (2)D组对应扇形的圆心角是________； (3)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数________；上四分位数________． 【答案】(1)12，图见解析 (2)115.2 (3)80.5；89 【分析】（1）利用“总人数×优良率”求出课前、两组总人数，结合图中已知的组人数，算出组人数，再用总人数减去其他组人数，求出组人数，补全频数分布直方图； （2）先根据课后成绩记录数出组人数，再用“组人数÷总人数×”计算对应扇形的圆心角； （3）根据中位数和上四分位数的定义，分别找到第25、26个数据和第13个数据，计算得到结果． 【详解】（1）解：根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率为． 人， 组的人数为人， 则组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图， （2）根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，…， 组的人数为16人， 组对应扇形的圆心角是：． （3）心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人， 把50个数据从大到小排列，第25，26个数据分别为81，80，第13个数据为89， 心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数，上四分位数． 【题型10】统计综合探究 1.核心知识点 组内离差平方和；数据分组原则；统计量与方案优化结合。 2.解题方法技巧 分组后分别计算每组离差平方和，求和得到组内总离差平方和；依据“离差平方和越小，组内数据越整齐”选择最优分组方案。 【例题10】.（2026·重庆·三模）为了解甲、乙两款投影仪的用户体验情况，小美随机调查了购买甲、乙两款投影仪的用户各20名，记录下他们的体验评分（体验评分满分为10分且为正整数，单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：A等级，B等级，C等级），下面给出了部分信息： 购买甲款投影仪的20名用户体验评分为： 2，2，3，3，4，4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，8，9，9，10，10 购买乙款投影仪的20名用户体验评分为A等级的所有数据为： 7，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10 抽取的购买两款投影仪的用户体验评分统计表 款别 平均数 众数 中位数 甲款 6.1 6.5 乙款 6.1 8 抽取的购买乙款投影仪的用户体验评分扇形图 (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款投影仪用户体验情况更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若购买甲款投影仪的用户有8000名，乙款投影仪的用户有5000名，估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有多少名？ 【答案】(1)7，，． (2)乙款投影仪用户体验更好．理由：虽然两款平均数相同（均为），但乙款中位数（7.5）高于甲款（），说明乙款中间水平用户评分更高；或乙款众数（8）高于甲款（7），表明乙款更受多数用户青睐． (3)C等级用户共2850名． 【分析】（1） (甲款众数)： 观察甲款评分数据，找出出现次数最多的那个数值即为众数． (乙款中位数)： 根据扇形图算出各等级人数，将20个数据从小到大排列，取第10和第11个数据的平均值． (B等级占比)： 用总人数减去A、C等级的人数得到B等级人数，再除以总人数转化为百分比． （2） 在平均数相同的情况下，对比两款的中位数或众数，数值更大的说明整体高分段用户更多，体验更好． （3）分别用甲、乙两款的总用户数乘以样本中C等级的占比（频率），最后将两部分结果相加． 【详解】（1）解：甲款众数 ：在20个评分中，7出现5次，为最高频数，故 ． 乙款中位数 ：由扇形图知C等级占25%，C等级人数为人，A等级11人，则B等级人数为人． 故数据排序后，第10、11位是A等级的前两个数即7和8，故 ． 乙款B等级占比 ，故 ． （2）略 （3）解：甲款样本中C等级（）有4人，估计8000名用户中C等级为 名． 乙款样本中，估计5000名用户中C等级为 名． 估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有 名． 答：估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有2850名． 【变式题10-1】.（2026·广东广州·二模）某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示． 根据以上信息，完成下列问题： (1)补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是______人； (2)由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 8.5 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由． 【答案】(1)48；补全条形统计图为： (2)，； 应该选择“与科技”， 理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”（答案不唯一）． 【分析】（1）由安全的人数除以占比得到投票人数； （2）根据平均数，中位数的定义即可求解；可以根据中位数和众数分别进行分析即可． 【详解】（1）解：本次投票人数为：（人）， 与学习的人数为：（人）， 补全条形统计图为： （2）解：； 将“故事”的打分排列为：5，5，7，8，8，8，9，10， 则中位数； 应该选择“与科技”， 理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”（答案不唯一）． 【变式题10-2】.（2026·河南周口·模拟预测）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标． 材料1：小明查阅了5款汽车的续航里程，得到如下表： 型号 A B C D E 续航里程 300 348 388 412 460 材料2：新能源汽车另一项重要指标零百加速用时（速度从加速到用时），小明结合续航里程绘制得到如图图表，图中虚线m和虚线n分别代表续航里程和零百加速用时的中位数所对应直线，并将表格分成四块区域．阅读材料回答问题： (1)这5款型号的新能源汽车续航里程的平均数是______，中位数是_____； (2)若重新加入两种新能源车的数据，要求不改变m和n的值，则新加入的两种新能源车的数据可以分别落在_____区域； A．①②    B．②③    C．①③    D．③④ (3)综合考虑新能源汽车的续航里程和零百加速用时，请你帮助小明从A、B、C、D、E中选择一辆性能最好的车，并说明理由． 【答案】(1)； (2)B (3)选择一辆性能最好的车型：E，理由见解析 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数的定义分析即可得出结果； （3）根据续航里程和零百加速用时分析即可得出结果． 【详解】（1）解：平均数：； 中位数：将数据从小到大排序：300，348，388，412，460，共5个数据，中位数为第3项，即； （2）解：虚线m对应续航里程中位数，虚线n对应零百加速用时中位数2.7秒，要保持中位数不变，新增两车需满足：续航里程：一个，一个；加速用时：一个秒，一个秒，区域②（续航，加速）和区域③（续航，加速）组合恰好满足上述条件； 故选：B； （3）解： 表格 型号 续航里程（） 零百加速用时（s） A 300 2.2 B 348 2.6 C 388 3.7 D 412 3.3 E 460 2.7 综合性能最优车型选择从续航里程与零百加速用时两个维度综合评估， 故：选择一辆性能最好的车型：E， 理由：E在续航里程上领先所有车型（），同时零百加速用时仅2.7秒，优于C，D，次于A，B，但A，B续航明显不足，综合来看，E在“长续航快加速”双优指标下表现最佳，符合高性能新能源车定义． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 易错点 1.计算中位数时，忘记将数据排序，直接选取中间数值，导致结果错误。 2.混淆算术平均数与加权平均数，存在权重（频数、比例）时，仍使用简单平均公式计算。 3.误认为众数唯一，忽略一组数据可以有多个众数，也可以没有众数的情况。 4.计算方差时，代入公式出错；忽略“数据整体加减常数，方差不变”的规律。 5.解读统计图时，误将扇形图占比当作具体数据，未结合总数量换算。 6.做决策类题目时，只计算统计量，未结合实际情境分析，结论不严谨。 重点 1.算术平均数、加权平均数的计算公式与熟练运算，这是本章计算核心。 2.中位数、众数的求解方法，以及三者的概念区分与适用场景。 3.方差的计算、方差与数据稳定性的关系，是中考高频考点。 4.从条形图、扇形图中提取数据，计算各类统计量。 5.利用样本统计量估计总体，以及简单的生活决策应用。 难点 1.含参数问题：根据中位数、众数、方差的性质，反求参数的取值范围。 2.数据改动后，综合分析平均数、中位数、众数、方差的联动变化。 3.箱线图、四分位数的解读，以及多组数据通过箱线图对比分析。 4.探究类题型：组内离差平方和计算、数据最优分组问题。 5.复杂综合题：结合方程、不等式，同时考查统计计算与逻辑推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．小明同学一周内每天抄写词语的个数如下：12，15，10，14，13，11，16，该同学这一周抄写词语的个数的中位数是（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】将这组数据从小到大重新排列，得到： ∵这组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后位于中间位置的数， ∴中位数是第个数，第个数为， 即该组数据的中位数为． 2．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可解答． 【详解】解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是． 3．甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的人数相同，竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一个合适的小组参加年级的比赛，那么应选（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 90 90 方差 4 4.3 4 4.6 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】A 【详解】解：∵甲和乙的平均数为，高于丙和丁的平均数， ∴先排除丙、丁， 又∵甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩比乙更稳定， 因此应选甲组． 二、填空题 4．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 5．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 6．某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是________． 【答案】丁 【详解】解：根据表格数据可得，平均数满足 ， 因此优先选择平均数更大的甲和丁． 比较方差可得，，方差越小，单穗粒数越稳定， 因此，在平均数最大的甲、丁方案中，丁方案的方差更小，故效果最好． 三、解答题 7．某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． (1)所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； (2)补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； (3)若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】(1)， (2)补全频数分布直方图如下： 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． (3)估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 【分析】（1）根据中位数与众数的定义求解即可得； （2）先求出所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为 2 名，据此补全频数分布直方图，再根据平均数的公式计算即可得； （3）利用该中学八年级与九年级的学生人数乘以测试成绩达到 90 分及以上的学生所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：将所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数的平均数即为中位数， ， ∴按从小到大进行排序后，第 5 个数和第 6 个数在组， 又 ∵八年级的测试成绩在组中的数据为：， ∴所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是（分）， ∵在所抽取的 10 名九年级学生的测试成绩中， 100 分的人数最多， ∴所抽取的九年级学生测试成绩的众数是 100 分； （2）解：所抽取的 10 名八年级学生的测试成绩在组的人数为（名）， 补全频数分布直方图略， 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数分， 答：所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． （3）解：（人）， 答：估计此次测试成绩达到 90 分及以上的学生有 450 人． 8．依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（）四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．研究表明，各阶段的合理占比范围如下：浅睡眠期占比的取值范围为，深睡眠期占比的取值范围为，占比的取值范围为，清醒期占比越低越好．其中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳；是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段的合理占比． (1)图1是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠的占比情况：________（选填“过低”，“合适”或“过高”）； ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围？ (2)该同学最近一周深睡眠与的占比情况如图2所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比； ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况； (3)结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议． 【答案】(1)①过低；②至少增加25分钟． (2)①深睡眠的周平均睡眠时间占比为； ②深睡眠的周平均睡眠时间占比为，未达到最低标准，一周中仅星期一和星期五达标，表现为深睡眠不足，不利于有效缓解躯体疲劳；从折线图可以看出该同学占比比较稳定，方差较小，一周中有6天在合理范围内，说明该同学睡眠质量较好． (3)养成良好的作息习惯，保证22：30前入睡，6：30起床；睡前应让大脑充分放松，可以适当听听有助于睡眠的轻音乐，避免睡前大量刷题、玩游戏等活动；白天增加运动，加强体育锻炼．（答案不唯一，有理即可） 【分析】（1）①用快速眼动睡眠的时间求出总睡眠时间，进行判断即可；②设深睡眠增加分钟能使其深睡眠的占比达到合理范围，列出不等式进行求解即可； （2）利用平均数的计算公式进行计算即可；②根据折线图结合题干中给定的数据，进行分析即可； （3）根据分析给出合理建议即可. 【详解】（1）解：①1小时52分钟112分钟，9小时分钟， ， 故同学本次睡眠的占比情况过低； ②设深睡眠增加分钟能使其深睡眠的占比达到合理范围，由题意得: 1小时23分分钟，9小时分钟． ． 解得． 答：该同学本次睡眠的深睡眠时间至少增加25分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围． （2）解：①． 答：深睡眠的周平均睡眠时间占比为18.2%． ②略 （3）略 9．期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66  88  99  100  79  94  87  86  98  84 100  90  98   98  96  92  91  91  68  77 七（2）班：68  96  92  97  98  100  83  100  90  93 99  69  96  96  87   94  76   86  99  75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； (3)在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 【答案】(1)4；93.5；98 (2)60人 (3)七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好．（答案不唯一，合理即可）． 【分析】（1）先根据七（1）班成绩得出a的值，再根据中位数和众数的定义求解b和c即可． （2）用样本估计总计即可． （3）利用平均数和中位数的定义做决策即可． 【详解】（1）解：七（1）班成绩之间的人数有4人，故， 七（1）班成绩出现次数最多的是3次，为98，故， 七（2）班从小到大成绩排列为：68，69，75，76，83，86，87，90，92，93，94，96，96，96，97，98，99，99，100，100， 则中位数为第10位和第11位的平均数，即． （2）解：估计在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数为：（人）， 答：期末考试中历史成绩可以得到满分的人数约有60人； （3）解：七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好． 10．随着“双减”政策的推进，某校开设了A、B两门校本课程．为测试两门课程的实用价值，随机抽取了20名学生进行体验并分别对两门课程进行评分，规定7分及以上为课程的受益人群，相关数据统计、整理如下． A课程评分情况扇形统计图如图所示； B课程评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； A、B两门校本课程评分统计情况如表所示． 校本课程统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 A 7.25 7.5 8 13 B 7.25 7 a b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)若该校有4000名学生选修了A校本课程，5000名学生选修了B校本课程，请分别估计这两门校本课程的受益人数； (3)通过对比A、B两门课程的统计数据，分析学生对哪门校本课程的实用性评价更高，并说明理由． 【答案】(1)8，15 (2)这两门校本课程的受益人数A门课程为2600人，B门课程为3750人 (3)B门课程实用性的评价更高，理由如下． B门课程的受益人数的百分比为， A门课程的受益人数的百分比为， B门课程的实用性的评价更高． 【分析】（1）根据众数是出现次数最多的数据，求出，数出7分及以上的个数即可求出； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）求出两门课程的受益人数的百分比，进行判断即可. 【详解】（1）解：B课程评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； 出现次数最多的数据为8，7分及以上的数量为15， ∴，； （2）解：由题意得，（人）， （人）， 答：这两门校本课程的受益人数为A门课程为2600人，B门课程为3750人； （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 数据的分析 知识点1：算术平均数 1.定义：一般地，对于个数据，算术平均数，它反映一组数据的平均水平。 2.数据变换规律：若一组数据的平均数为，则数据的平均数为；数据的平均数为。 3.特征：平均数受每一个数据影响，极易受极端值干扰。 知识点2：加权平均数 1.定义：若数据对应的权数为（），则加权平均数。 2.权的形式：权可以是频数、比例、百分比、比值，权越大，对应数据对平均数的影响越大。 3.关系：算术平均数是所有数据权相等时的特殊加权平均数。 知识点3：中位数 1.求解步骤：先将数据从小到大（或从大到小）排序；再根据数据个数判断： 数据个数为奇数：取中间位置的数； 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2.特征：仅与数据排列位置有关，不受极端值影响，反映数据的中等水平。 知识点4：众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.分类情况：可以有一个、多个众数；若所有数据出现次数相同，则没有众数。 3.特征：不受极端值影响，反映数据的多数集中水平，常用于销售、投票等场景。 知识点5：平均数、中位数、众数对比表 统计量 核心作用 优点 缺点 典型适用场景 平均数 反映整体平均水平 利用全部数据信息 易受极端值影响 数据分布均匀、无异常值 中位数 反映中等水平 不受极端值干扰 无法利用全部数据 数据存在极端值、偏态分布 众数 反映多数水平 直观易懂、不受极端值干扰 不唯一，数据均匀时无意义 商品销售、民意统计 知识点6：方差与离散程度 1.方差定义：设有个数据，平均数为，则方差。 2.方差意义：方差越大，数据波动越大、稳定性越差；方差越小，数据波动越小、稳定性越强。 3.数据变换规律：原数据方差为，则： 数据，方差仍为； 数据，方差为。 知识点7：离差与离差平方和 1.离差：单个数据与平均数的差，即。 2.离差平方和：，等于，直观体现数据整体偏离程度。 知识点8：四分位数与箱线图 1.四分位数：将排序后的数据四等分，分为下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、上四分位数（75%分位数）。 2.箱线图：由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五部分组成，直观展示数据分布范围与离散程度。 【基础必考题型】 【题型1】平均数基础计算 1.核心知识点 算术平均数公式；去掉最高分/最低分求平均的实际应用；简单数据变换后的平均数计算。 2.解题方法技巧 先计算数据总和，再除以数据总个数；去掉极端值后，重新统计数据个数与总和再计算；牢记“同加不变差，同乘扩倍”的平均数变换规律。 【例题1】.（2026·山西·一模）年中央一号文件发布后，某直播间借此机会开展了三场公益助农直播，各场农产品销售额及直播时长如表所示，这三场直播总的平均每小时销售额为________万元． 直播场次 销售额/万元 直播时长/h 第一场 第二场 第三场 【变式题1-1】.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某篮球队5名上场队员的身高（单位：cm）分别是182，184，187，188，192，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的平均身高（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变化无法确定 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题1-3】.（2026·上海松江·模拟预测）某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【题型2】加权平均数计算 1.核心知识点 加权平均数公式；频数、百分比两种常见权重的识别与计算。 2.解题方法技巧 频数权重：每组数据×对应频数后求和，再除以总个数；百分比权重：数据×对应占比后直接求和，无需额外除法。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·期末）某文艺节目在舞蹈编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项的得分分别为95，90，85（每项满分均为100分）．若依次按照，，的百分比确定最终得分，则该文艺节目最终得分为（     ） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【变式题2-1】.（2026·江苏泰州·二模）在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 【变式题2-2】.（2026·广东河源·一模）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试．其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲员工的听、说、读、写的各项测试成绩分别为70分，80分，90分，90分，则甲员工的最终成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．86分 D．90分 【变式题2-3】.（2026·湖南·三模）小马同学在假期实践活动中调查了某一小型智能公司员工的月收入情况如下表，则这家公司员工的平均月收入为_________． 月收入/元 50000 18000 10000 5000 3600 3000 人数 1 1 1 7 6 4 【题型3】中位数求解 1.核心知识点 中位数定义；数据排序规则；奇数、偶数个数据的中位数判定。 2.解题方法技巧 解题第一步必须排序；表格类数据依次累加频数，定位中间位置的数据。 【例题3】.（2026·山东临沂·二模）在进行数学素养能力大赛校级竞选时，7名选手得分分别是：9，7，7，8，6，7，5，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（     ） A．7，7，8 B．8，7，7 C．7，7，7 D．7，8，7 【变式题3-1】.（2026·山东淄博·二模）在2026年米兰冬奥会上，中国体育代表团夺得5金4银6铜共15枚奖牌．回顾中国体育代表团参加的近六届冬奥会，其每届获得奖牌总数（单位：枚）的情况如表： 年份 2026年 2022年 2018年 2014年 2010年 2006年 奖牌总数 15 15 9 9 11 11 则奖牌总数这组数据的中位数是（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 【变式题3-2】.（2026·上海·三模）有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-3】.（2026·浙江温州·二模）某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（     ） A．若，则b的最小值为7 B．若，则b的最大值为8 C．若，则a的最大值为 D．若，则a的最小值为6 【题型4】众数判断 1.核心知识点 众数定义；众数不唯一、无众数的特殊情况。 2.解题方法技巧 统计每个数据出现的频次，频次最高即为众；销售、尺码统计类问题优先关注众数。 【例题4】.（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）2026东北超级志愿者评选，六位评委打分分别是8.6，8.9，9.3，9.1，8.9，9.4，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8.9，9.0 B．8.9，8.9 C．9.4，9.0 D．9.4，8.9 【变式题4-1】.（2026·广东广州·二模）某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式题4-2】.（2026·浙江杭州·二模）当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式题4-3】.（2026·山东烟台·一模）嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（   ） A．7分 B．7.5分 C．8分 D．10分 【题型5】方差基础计算与稳定性判断 1.核心知识点 方差计算公式；方差与数据稳定性的关系。 2.解题方法技巧 先求平均数，再代入方差公式分步计算；比较两组数据稳定性，直接对比方差大小即可。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如图所示表格，如果每个评委打分都提高0.15，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（   ） 平均数 众数 中位数 方差 9.15 9.35 9.25 0.15 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【变式题5-1】.（2026·浙江杭州·二模）为了考察甲、乙两地小麦的长势情况，小江同学在数据分析时分别列出求方差的两个式子：，，则下列表述不一定正确的是（     ） A．甲、乙两地小麦高度的平均值相等 B．甲、乙两地都随机抽取了10株小麦的高度 C．若，则甲地小麦长得比较整齐 D．甲、乙两地小麦高度的中位数相等 【变式题5-2】.（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型6】离差平方和计算与基础应用 1.核心知识点 离差、离差平方和的定义；离差平方和与方差的换算关系（）。 2.解题方法技巧 逐个计算数据与平均数的差的平方，再求和；已知方差可直接结合数据个数求离差平方和。 【例题6】.（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·期末）下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【培优高频题型】 【题型7】由统计量反求未知数据/参数 1.核心知识点 平均数、中位数、众数公式变形；方程思想在统计中的应用。 2.解题方法技巧 设未知量，根据统计量公式列一元一次方程求解；中位数、众数类问题结合数据排序规律限定参数范围。 【例题7】.（2026·福建宁德·一模）某市计划举办“大美山河，健康满格”——2026环湖公里健康跑，赛道沿途设有个补给站，分别位于公里、公里、公里、公里、公里、公里处．本届比赛预计有名选手参赛，为合理估算饮用水的需求量，随机调查了名上届比赛选手，统计每名选手全程取用饮用水的总瓶数（每站最多取1瓶），结果如统计表所示；同时统计了他们在个补给站的取水量占取水总量的比例，结果如统计图所示． 选手全程取用饮用水统计表 用水量 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 瓶 人数（人） 各补给站取水量占比统计图 请回答下列问题： (1)每位选手在比赛中平均取用多少瓶水； (2)组委会决定在估算数量的基础上多准备作为安全余量，请计算本次活动一共需要准备多少瓶水？公里补给站应准备多少瓶水？ (3)观察取水人数的变化规律，结合10公里健康跑的比赛过程，写一条合理建议，帮助组委会科学安排补给． 【变式题7-1】.（2026·陕西咸阳·三模）年月日是我国第个“防灾减灾日”，主题是“人人讲安全、个个会应急——提高防灾减灾救灾能力”．某校为加强学生的防灾减灾救灾应急能力，举办了防灾减灾知识大赛，活动结束后，随机抽取了部分学生的知识大赛成绩（单位：分，满分：分），发现成绩均高于分，将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 组别 成绩x/分 频数 组内总成绩/分 已知组学生人数占所抽取学生总人数的． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上表中______，所抽取知识大赛成绩的中位数位于______组，并补全频数分布直方图； (2)求所抽取学生此次知识大赛成绩的平均数； (3)若该校共有名学生参加此次知识大赛，对成绩高于分的学生发放“防灾知识达人”徽章，请你估计该校获得徽章的学生总人数． 【变式题7-2】.（2026·广东珠海·三模）某水果公司以10元的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7，4.8 ，4.6，4.5，4.8，4.9，4.8，4.7，4.8，4.7，4.8，4.9，4.7，4.8，4.5，4.7，4.7，4.9，4.7，5.0 整理数据： 质量（） 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 数量（箱） 2 a 分析数据： 平均数 众数 中位数 4.75 (1)直接写出上述表格中a，b，c的值． (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ 【变式题7-3】.（2026·广东深圳·三模）为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b (1)填空：________，________，________（填写“、或”）； (2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； (3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【题型8】数据修改对统计量的影响分析 1.核心知识点 数据增减、改动后，平均数、中位数、众数、方差的变化规律。 2.解题方法技巧 平均数：数据变大则平均数变大，反之变小；中位数、众数仅和数据位置、频次有关，不一定改变；极端值改动会显著影响方差。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·单元测试）某班同学在体育课上进行跳高比赛．下面是第一组名同学的成绩． 姓名 成绩/ 姓名 成绩/ (1)把这组数据从大到小排列； (2)分别求出这组数据的平均数和中位数； (3)如果再增加一个同学的成绩是，那么这组数据的中位数是多少？ 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数（单位：分）如下：，，，，，，．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（    ） A．平均数 B．方差 C．中位数 D．离均差平方和 【变式题8-2】.（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①______ 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 ②______ 8 0.96 (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； (3)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56．（填“”或“”或“”） 【变式题8-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）某球队6名队员的身高（单位：cm）是：179，183，187，189，191，193．现增加一名身高为的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（   ） A．平均数变小，方差变小       B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小      D．平均数不变，方差变大 【压轴素养题型】 【题型9】四分位数与箱线图综合分析 1.核心知识点 四分位数定义；箱线图五要素解读；利用箱线图对比多组数据分布。 2.解题方法技巧 先排序再划分四等分区间确定四分位数；通过箱线图的箱体、线段长短判断数据离散程度与范围。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·北京·期末）在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【变式题9-2】.（2026·安徽合肥·二模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； (3)若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【变式题9-3】.（2026·安徽合肥·一模）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下： 78，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，89，90，⋯ 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 (1)心理健康课前测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图； (2)D组对应扇形的圆心角是________； (3)定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数________；上四分位数________． 【题型10】统计综合探究 1.核心知识点 组内离差平方和；数据分组原则；统计量与方案优化结合。 2.解题方法技巧 分组后分别计算每组离差平方和，求和得到组内总离差平方和；依据“离差平方和越小，组内数据越整齐”选择最优分组方案。 【例题10】.（2026·重庆·三模）为了解甲、乙两款投影仪的用户体验情况，小美随机调查了购买甲、乙两款投影仪的用户各20名，记录下他们的体验评分（体验评分满分为10分且为正整数，单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（体验评分用表示，共分为三个等级：A等级，B等级，C等级），下面给出了部分信息： 购买甲款投影仪的20名用户体验评分为： 2，2，3，3，4，4，5，6，6，6，7，7，7，7，7，8，9，9，10，10 购买乙款投影仪的20名用户体验评分为A等级的所有数据为： 7，8，8，8，8，8，9，9，10，10，10 抽取的购买两款投影仪的用户体验评分统计表 款别 平均数 众数 中位数 甲款 6.1 6.5 乙款 6.1 8 抽取的购买乙款投影仪的用户体验评分扇形图 (1)上述图表中的________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款投影仪用户体验情况更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若购买甲款投影仪的用户有8000名，乙款投影仪的用户有5000名，估计对甲、乙两款投影仪体验评分为C等级的用户共有多少名？ 【变式题10-1】.（2026·广东广州·二模）某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示． 根据以上信息，完成下列问题： (1)补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是______人； (2)由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表： 主题 评分 平均数 中位数 众数 与科技 10 9 8 3 6 4 10 10 8.5 10 故事 9 10 7 8 5 5 8 8 7.5 8 结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由． 【变式题10-2】.（2026·河南周口·模拟预测）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标． 材料1：小明查阅了5款汽车的续航里程，得到如下表： 型号 A B C D E 续航里程 300 348 388 412 460 材料2：新能源汽车另一项重要指标零百加速用时（速度从加速到用时），小明结合续航里程绘制得到如图图表，图中虚线m和虚线n分别代表续航里程和零百加速用时的中位数所对应直线，并将表格分成四块区域．阅读材料回答问题： (1)这5款型号的新能源汽车续航里程的平均数是______，中位数是_____； (2)若重新加入两种新能源车的数据，要求不改变m和n的值，则新加入的两种新能源车的数据可以分别落在_____区域； A．①②    B．②③    C．①③    D．③④ (3)综合考虑新能源汽车的续航里程和零百加速用时，请你帮助小明从A、B、C、D、E中选择一辆性能最好的车，并说明理由． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 易错点 1.计算中位数时，忘记将数据排序，直接选取中间数值，导致结果错误。 2.混淆算术平均数与加权平均数，存在权重（频数、比例）时，仍使用简单平均公式计算。 3.误认为众数唯一，忽略一组数据可以有多个众数，也可以没有众数的情况。 4.计算方差时，代入公式出错；忽略“数据整体加减常数，方差不变”的规律。 5.解读统计图时，误将扇形图占比当作具体数据，未结合总数量换算。 6.做决策类题目时，只计算统计量，未结合实际情境分析，结论不严谨。 重点 1.算术平均数、加权平均数的计算公式与熟练运算，这是本章计算核心。 2.中位数、众数的求解方法，以及三者的概念区分与适用场景。 3.方差的计算、方差与数据稳定性的关系，是中考高频考点。 4.从条形图、扇形图中提取数据，计算各类统计量。 5.利用样本统计量估计总体，以及简单的生活决策应用。 难点 1.含参数问题：根据中位数、众数、方差的性质，反求参数的取值范围。 2.数据改动后，综合分析平均数、中位数、众数、方差的联动变化。 3.箱线图、四分位数的解读，以及多组数据通过箱线图对比分析。 4.探究类题型：组内离差平方和计算、数据最优分组问题。 5.复杂综合题：结合方程、不等式，同时考查统计计算与逻辑推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．小明同学一周内每天抄写词语的个数如下：12，15，10，14，13，11，16，该同学这一周抄写词语的个数的中位数是（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的人数相同，竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一个合适的小组参加年级的比赛，那么应选（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 90 90 方差 4 4.3 4 4.6 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 二、填空题 4．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 5．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 6．某团队为研究不同施肥方案对小麦产量的影响，在试验田中控制影响小麦生长的其他因素，分别选用甲、乙、丙、丁四种方案施肥，个月后得到如下统计结果： 施肥方案 甲 乙 丙 丁 单穗粒数的平均数 单穗粒数的方差 在本次试验中，从单穗粒数的平均数与方差角度看，四种施肥方案中效果最好的是________． 三、解答题 7．某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用表示，单位：分），现将20名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下： 九年级的测试成绩如下：78，84，85，92，93，94，94，100，100，100． 八年级的测试成绩在组中的数据如下：83，84，86，88． 根据以上信息，解答下列问题． (1)所抽取的八年级学生测试成绩的中位数是___________分，所抽取的九年级学生测试成绩的众数是___________分； (2)补全频数分布直方图，并求出所抽取的九年级学生测试成绩的平均数； (3)若该中学八年级与九年级各500名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 所抽取的九年级学生测试成绩的平均数为 92 分． 8．依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（）四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．研究表明，各阶段的合理占比范围如下：浅睡眠期占比的取值范围为，深睡眠期占比的取值范围为，占比的取值范围为，清醒期占比越低越好．其中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳；是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段的合理占比． (1)图1是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠的占比情况：________（选填“过低”，“合适”或“过高”）； ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围？ (2)该同学最近一周深睡眠与的占比情况如图2所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比； ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况； (3)结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议． 9．期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66  88  99  100  79  94  87  86  98  84 100  90  98   98  96  92  91  91  68  77 七（2）班：68  96  92  97  98  100  83  100  90  93 99  69  96  96  87   94  76   86  99  75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； (3)在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 10．随着“双减”政策的推进，某校开设了A、B两门校本课程．为测试两门课程的实用价值，随机抽取了20名学生进行体验并分别对两门课程进行评分，规定7分及以上为课程的受益人群，相关数据统计、整理如下． A课程评分情况扇形统计图如图所示； B课程评分情况为（单位：分）：6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9； A、B两门校本课程评分统计情况如表所示． 校本课程统计量 平均数 中位数 众数 受益人数 A 7.25 7.5 8 13 B 7.25 7 a b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)若该校有4000名学生选修了A校本课程，5000名学生选修了B校本课程，请分别估计这两门校本课程的受益人数； (3)通过对比A、B两门课程的统计数据，分析学生对哪门校本课程的实用性评价更高，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $