精品解析：2026年浙江省单独考试招生文化考试数学试题

2026年浙江省单独考试招生文化考试 数学试题卷 本试题卷共三大题.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 已知集合，集合，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合，利用并集的定义即可得解. 【详解】集合，集合， 则， 故选：. 2. 已知实数,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断各选项的变形是否正确. 【详解】A选项，因为，所以， 根据不等式的基本性质可得，故A选项正确. B选项，因为，所以. 根据不等式的基本性质可得，从而，故B选项错误. C选项，因为，所以， 取,，此时，故C选项错误. D选项，因为，所以， 取,，此时，故D选项错误. 故选：A. 3. 求函数的值域（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性确定函数的值域即可. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为， 故选：D. 4. 计算复数的结果，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 5. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线一般式方程化为斜截式方程即可得解. 【详解】直线化为斜截式方程为，斜率为. 故选：. 6. 已知是第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合象限角的定义即可得解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则，为第二象限角， 故选：. 7. 现有三个年龄段人群，总人数120万人，各年龄段人数依次为18万人、78万人、24万人.现采用分层抽样抽取1200人，求60岁以上（24万人）这一组应抽取的人数（ ） A. 120 B. 180 C. 240 D. 780 【答案】C 【解析】 【分析】先求解抽样比，再结合60岁以上的人数求解即可. 【详解】因为总人数120万人，且要抽取1200人， 则抽样比为， 则60岁以上（24万人）这一组应抽取的人数为人. 故选：C. 8. 已知点，，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的坐标表示及内积的坐标表示即可得解. 【详解】点，，， 则，， 所以， 故选：. 9. 共有11个景点，从中选取3个有序浏览，不同的浏览顺序共有（ ） A. 165 B. 330 C. 720 D. 990 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】有11个景点，从中选取3个有序浏览， 不同的浏览顺序共有种， 故选：. 10. 已知偶函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的性质即可得解. 【详解】偶函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 则函数在上没有单调性，故错误； 函数在上单调递增，故正确，错误； 函数在上没有单调性，故错误， 故选：. 11. 判断：是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式及充分性、必要性的定义即可得解. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，即，解得，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：. 12. 等差数列，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求出首项，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知等差数列，， 设公差为，则，解得， 所以， 故选：C. 13. 在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出为异面直线与所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解. 【详解】取中点，连接，， 则， 在正方体中，， 所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则或其补角为异面直线与所成角，且， 因为， 所以， 则， 所以， 在三角形中，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 14. 长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合棱柱与圆柱的体积公式即可得解. 【详解】长方体底面为正方形，边长为4，高为3，长方体体积为， 圆柱底面直径为2，半径为，圆柱的高为，圆柱体积为， 该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为， 故选：. 15. 直线与圆有交点，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线与圆有交点，根据圆心到直线的距离小于等于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径. 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d满足： ，化简得：， 解得：，所以实数m的取值范围是. 故选：A 16. 已知分段函数，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析自变量的取值范围，进而求解. 【详解】当时，，此时， 所以； 当时，， ， 所以， 故选：A 17. 可以由平移得到的方式是（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将函数化成，结合图像平移的规则即可得解. 【详解】因为， 所以将其向右平移个单位，得到， 故选：. 18. 椭圆，为原点，为右顶点，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可以为等腰直角三角形（） C. 周长为 D. 可以为正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中三角形的面积判断A选项即可；根据得到验证B选项即可；根据椭圆中三角形的周长判断C选项即可；根据正三角形的条件判断点P的坐标即可判断D. 【详解】A选项，椭圆如图所示： ， 因为为椭圆上动点， 所以，故的面积小于，故A选项错误； B选项，若为等腰直角三角形，且， 则，即点P在的中垂线上， 设点，则，， 由可得，， 即，可得， 因为点P在椭圆上， 则，即，可得， 故只需要满足椭圆中的条件， 即可得到为等腰直角三角形且，故B正确； C选项，周长为， 取点P为上顶点为，如图， 所以，， 则，故C选项错误； D选项，若为正三角形，则， 即点P在圆上， 联立，消y可得，， 可得，解得， 则点P的坐标为，此时点P与点O，点A三点共线，构不成三角形，故D选项错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 某机构发布婴幼儿两周年成长报告，研究发现2周岁以内宝宝的年龄（单位：周岁）与身高（单位：）满足一元线性回归方程：.已知宝宝满2周岁，求该宝宝的预测身高______. 【答案】85.21 【解析】 【分析】将代入一元线性回归方程中求解即可. 【详解】根据题意可知，当时，. 故答案为：85.21. 20. 已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为一元二次方程的两根为，， 又函数的图像为开口向上的抛物线， 与轴的交点坐标为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 21. 展开式中项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令， 此时， 故答案为： 22. 在中，已知，求的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理得出的比值即可确定答案. 【详解】已知， 设， 则， 所以， 即 由正弦定理得，， 设， 则， 故答案为：. 23. 已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据焦距求出值，利用渐近线方程得到，代入即可求解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上， 焦距为，即，解得， 一条渐近线的方程为，即， 则，解得， 故答案为：. 24. 已知圆，为圆上两点，且弦长，求的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再由圆中的弦长公式求出圆心到直线的距离，并由向量的加法法则将题目转化为求的最小值即可. 【详解】已知圆， 圆心，半径， 设为弦的中点，则，解得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 则点的轨迹方程为， 又， 所以的最小值为的最小值， 因为， 所以的最小值为. 故答案为：4. 三、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明及演算步骤） 25. 某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. （1）求这5个学校招生数量的极差和中位数； （2）从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 【答案】（1）极差为（万人），中位数为（万人） （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（）将数据进行排列，利用极差和中位数的定义即可得解. （）求出随机变量的取值，利用古典概型及组合数分别求出概率即可得解. 【小问1详解】 将数据从小到大排列：23.5，23.6，24.8，25.2，26.4， 极差（万人），中位数（第3个数）（万人）. 【小问2详解】 招生数量超过25万人的学校：25.2，26.4，共2所；其余3所不超过， 的可能取值为0，1，2， ，，， 分布列： 0 1 2 26. 已知，，且，. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角的正弦公式求值即可. （2）根据两角差的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 且，所以. 【小问2详解】 ∵，∴， 又，故，得， ，， 所以 27. 某款智能手机在充电过程中，其电量（单位：单位电量）与充电时间（单位：分钟）之间的关系如下表所示： 充电时间（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 电量（单位电量） 0 20 40 60 80 90 95 97.5 （1）分别求出该手机在分钟与分钟内的平均充电速度，比较快慢；并结合结果说明前后电量的变化趋势. （2）已知当时，电量与时间满足（为常数，）.根据表格数据，求和的值. （3）根据（2）中求得的函数模型，求电量充到98.75单位电量时，所需的充电时间. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）80（分钟） 【解析】 【分析】（1）根据平均充电速度的公式，结合题意即可求解. （2）根据分别把，和，代入解析式即可求解. （3）根据题意，结合对数的运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得，平均充电速度， 则分钟：（单位电量/分钟）， 分钟：（单位电量/分钟）. ∵，所以前40分钟充电速度更快；则分钟后，充电速度变慢，电量增长趋势由快变缓. 【小问2详解】 由题意得，当，，则，解得. 当时，，则，解得. 【小问3详解】 由题意得，当时，. 令，则， 两边取自然对数：（分钟）. 28. 已知抛物线的准线方程为，焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知，点在第一象限. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率； （3）连接，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. 【小问2详解】 抛物线焦点， 设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故， 直线过和， 则斜率：. 【小问3详解】 直线斜率为，过点， 所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故， 直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，， ， 直线的一般式方程为， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 29. 在三棱锥中，底面为边长等于4的正三角形．已知点平面，平面，垂足落在线段上，且垂线段． （1）求三棱锥的体积； （2）若D为中点，求直线与底面所成角的大小； （3）若分别为线段和的中点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出底面三角形的面积，代入棱锥的体积公式计算； （2）由题意可得为直线与底面所成的角，在中求解即可； （3）取中点Q，可得，设，在中，由余弦定理得，在直角中求得的表达式，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 因为底面为边长等于4的正三角形， 所以面积为， 因为平面，所以为三棱锥的高， 故三棱锥的体积． 【小问2详解】 连接． 因为平面，则是在底面内的射影， 故为直线与底面所成的角，且． 因为为正三角形，D为中点，所以． 在中：， 在中，，则， 故直线与底面所成角为． 【小问3详解】 取中点Q，连接，． M为中点，Q为中点，故且， 由平面，得平面， 因为平面，故，为直角三角形． 设，则，， 在中，，， 由余弦定理得 ， 在直角中，， 因为函数在上单调递减， 所以，当时，； 当时，． ∴的取值范围为． 30. 在相邻的两个数之间填入这两个数的和，得到一个新数列.已知初始数列为，按此规则依次进行构造：第1次：；第2次：；第次：，，且. 第1次： 第2次： 第次： （1）求的值，并求的值； （2）求第行所有数的总和； （3）求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察规律列出第次的数列，再由数列的长度规律写出递推公式，得出数列为等比数列，最后由等比数列的通项公式求值即可. （2）观察第行所有数的总和对应的规律，写出递推公式，得出是等比数列，再由等比数列的通项公式求值即可. （3）首先根据构造规则得出奇数位，偶数位，再分别逐级代入求值即可. 【小问1详解】 依次写出各次数列： 第3次：， ∴，， 观察数列的长度规律，初始时，， 第一次：， 第二次：， 第三次：， 所以项数递推关系为，， 整理得， 所以数列是首项，公比为2的等比数列， ， 当时，. 【小问2详解】 由题可知，，，，， 所以， 得出递推关系，， 构造等比数列，令， 展开得，则，得， 所以数列是首项， 公比为3的等比数列，. 【小问3详解】 根据构造规则，第次构造的数列中， 奇数位， 偶数位， ，，， 三式相加， 则，，， 所以， 又，，， 所以， 以此类推，逐层化简计算得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省单独考试招生文化考试 数学试题卷 本试题卷共三大题.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 已知集合，集合，求（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 求函数的值域（ ） A. B. C. D. 4. 计算复数的结果，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是第一象限角，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 现有三个年龄段人群，总人数120万人，各年龄段人数依次为18万人、78万人、24万人.现采用分层抽样抽取1200人，求60岁以上（24万人）这一组应抽取的人数（ ） A. 120 B. 180 C. 240 D. 780 8. 已知点，，，求（ ） A. B. C. D. 9. 共有11个景点，从中选取3个有序浏览，不同的浏览顺序共有（ ） A. 165 B. 330 C. 720 D. 990 10. 已知偶函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 11. 判断：是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 等差数列，，（ ） A. B. C. D. 13. 在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（ ） A. B. C. D. 14. 长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（ ） A. B. C. D. 15. 直线与圆有交点，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 16. 已知分段函数，求（ ） A. B. C. D. 17. 可以由平移得到的方式是（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 18. 椭圆，为原点，为右顶点，为椭圆上动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可以为等腰直角三角形（） C. 周长为 D. 可以为正三角形 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 某机构发布婴幼儿两周年成长报告，研究发现2周岁以内宝宝的年龄（单位：周岁）与身高（单位：）满足一元线性回归方程：.已知宝宝满2周岁，求该宝宝的预测身高______. 20. 已知一元二次方程的两根为，，求不等式的解集为______. 21. 展开式中项的系数为______. 22. 在中，已知，求的值为______. 23. 已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 24. 已知圆，为圆上两点，且弦长，求的最小值为______. 三、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明及演算步骤） 25. 某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. （1）求这5个学校招生数量的极差和中位数； （2）从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 26. 已知，，且，. （1）求和的值； （2）求的值. 27. 某款智能手机在充电过程中，其电量（单位：单位电量）与充电时间（单位：分钟）之间的关系如下表所示： 充电时间（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 电量（单位电量） 0 20 40 60 80 90 95 97.5 （1）分别求出该手机在分钟与分钟内的平均充电速度，比较快慢；并结合结果说明前后电量的变化趋势. （2）已知当时，电量与时间满足（为常数，）.根据表格数据，求和的值. （3）根据（2）中求得的函数模型，求电量充到98.75单位电量时，所需的充电时间. 28. 已知抛物线的准线方程为，焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知，点在第一象限. （1）求抛物线的方程； （2）求直线的斜率； （3）连接，求的面积. 29. 在三棱锥中，底面为边长等于4的正三角形．已知点平面，平面，垂足落在线段上，且垂线段． （1）求三棱锥的体积； （2）若D为中点，求直线与底面所成角的大小； （3）若分别为线段和的中点，求线段长度的取值范围． 30. 在相邻的两个数之间填入这两个数的和，得到一个新数列.已知初始数列为，按此规则依次进行构造：第1次：；第2次：；第次：，，且. 第1次： 第2次： 第次： （1）求的值，并求的值； （2）求第行所有数的总和； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $