二阶导与极值点（二级结论举例）课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数应用核心考点，涵盖极值点判断、二阶导定理、函数最值等高考必查内容，依据高考评价体系分析极值点与导数关系占30%、不等式证明占25%的高频考点分布，归纳出极值判断、最值求解、不等式证明三大常考题型。 课件亮点在于“真题演练+技巧突破+素养提升”，如2024年甲卷导数题采用分类讨论避开洛必达法则，2018年Ⅲ卷极值点问题用二阶导定理精准判断，培养学生逻辑思维与数学运算素养，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

复习课 6.0.9 二阶导与极值点 （二级结论举例） 1 概念讲解 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和； (2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和. x y y = f (x) O 极大值 极小值 a 极大值点 极小值点 x y y = f (x) O 函数最值 函数极值 极值不一定唯一 局部概念 最值是唯一的 整体概念 最大值定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且 ，如果对任意 ，都有 ，则称 的最大值为 ，而 称为 的最大值点. 极大值： 极大值点： 极小值： 极大值点： a 最大值： 最小值： 最值的来源： 1.极值 2.端点 极值 端点 概念讲解 极值点与极值 极大值点与极小值点都称为极值点； 极大值与极小值都称为极值. 显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 思考：极值点是一个点吗？ x y y = f (x) O 极大值 极小值 a 极大值点 极小值点 可导函数的极值与导数的关系 左增 右减 左正 右负 原函数 导函数 中间 极大值 左减 右增 左负 右正 极小值 (2)曲线在A，B，C，D附近的点处的切线具有什么特征？ x y y = f (x) O A B C D 观察：在A点与C点左侧附近，曲线的切线斜率>0,在右侧附近曲线的切线斜率<0； 在B点与D点的附近则正好相反. 因此在两侧附近的符号不一样. 思考：若有，则一定是函数的极值点吗？ 的极值点 反之不成立！！ ，则称为拐点 极值点一定是拐点； 拐点不一定是极值点. 例 1：已知，求所有使得的，并判断所求得的数是否为函数的极值点. 解： 令 ，解得 x y O 补充：二阶导与极值点的二级结论 但是： 当x<0时， 当x>0时， 在x=0的两侧附近符号相同 所以x=0不是函数 的极值点 只能说明x=0的拐点 还需判断其附近的情况 当且仅当 是函数 的拐点 左增 右减 极大值 左减 右增 极小值 左增 右增 非极值 二阶导定理 已知函数是连续n阶可导函数，且 则称 是函数的拐点. 1. 则称 是函数的极大值点. 2. 则称 是函数的极小值点. 原函数 导函数 - + 二阶导函数 附近 若还满足： - 导函数是减函数 导函数的导函数为负 一阶导=0 二阶导正小负大 再证例 1： 解： 令 ，解得 所以x=0不是函数 的极值点 只能说明x=0的拐点 利用二阶导定理判断x=0是不是极值点，是什么样的极值点？ 因为 改编： 求函数 的极值点. 解： 令 ， 解得 或 求出拐点 因为 >0 所以x=0是函数 的极小值点 <0 所以 是函数 的极大值点 归纳总结 一般地，设函数在处可导，且. (1)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极大值点. (2)如果对于左侧附近的任意x，都有，对于右侧附近的任意x，都有 ，那么此时是的极小值点. 由正变负 由负变正 判断极值点 原函数先增再减 原函数先减再增 (3)如果在的左侧附近与右侧附近同号（均为正号或均为负号），则一定不是的极值点. 只能称为拐点！ 典例1 已知函数 (2)证明： . 法一 恒成立 求 单调性 正负性 令 即 知 是方程的1个根 再令 即 这里只是找到了1个根， 并不能说明还有没有其他根。 还需要进一步进行探索。 1.求导; 2.紧跟定义域. 先找拐点 导函数也是函数！ 再求导——二阶导思想. 令 即 知 是方程的1个根 找到1个，而已！ 二阶导思想 思想永不灭 再再令 即 继续对导函数进行进一步的研究——继续再求导 得 所以 在(0,+∞)恒为增函数。 开始回溯回去 而 是函数 的1个零点. 所以 1 单减 单增 即 的最小值为0 1 1 1 则 仅为函数的拐点 说明 函数 在(0,+∞)恒为增函数 or 对于增函数，其在左端点取最小值。 即 注意：f(0)无意义 极限思想 洛必达法则 得证。 避开洛必达法则 用分类讨论 当 当 成立 在[1,+∞)恒为增函数 得证 法二 技巧与经验 令 模特函数 所以 所以 法三 技巧与经验 令 基本初等函数 当 法二行不通 或者 即可 法四 放缩法 令 设 即 真题演练 已知函数 [2024年甲卷理科21.] （1）求f(x)的单调区间； （2）当a≤2时，证明：当x>1时， 恒成立. [2018年Ⅲ卷理科21.]已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ； （2）若 是 的极大值点，求 ． 已知函数 ，若 为奇函数，则 特别地： 奇函数左右平移，对称性质保留，对称中心点相应平移变换: 左右平移 奇函数的对称性质 若 且 为奇函数 仍有： 泰勒公式 若在的邻域内n+1阶可导，则： 其中： 其中 拉格朗日余项： 当时也称麦克劳林公式. 利用泰勒展示估值 麦克劳林公式 高中阶段展开到第4项基本够用！ 常见函数的展开 函数的凹凸性 若对任意的，都有(或），则称函数是在区间上是下凸（或上凸）函数. 若对任意的，都有(或），则称函数是单调增（或单调减）函数. 函数单调性 体会：理解数学式子的数学本质是建立数学思维的必经之路. 琴生不等式 拉格朗日中值定理 如果函数在 上连续，在 上可导，则至少存在一点 ，使得 洛必达法则 当两个函数在某点的极限都趋于0或，且这两个函数在该点（其去心领域内）均可导，此时两函数比值在该点的极限值，就等于它们各自求导后的比值在该点处的极限值。 两种情形 当 时 且 ① ② 且 统一求法 洛必达法则求解案例 一、直接利用洛必达法则求解 二、与无穷小量等价替换相结合 三、乘积转换/指数转换 $