精品解析：山西忻州一中2027届高三方向卷（二）

忻州一中2027届高三方向卷（二） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，，且的虚部为正，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的相关概念可得. 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 2. 设关于的方程有实根}，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解集合、，根据交集计算即可. 【详解】关于的方程. 有实根，需判别式. 即. 所以. 又，因此或 由，得. 其中整数为. 与取交集，得. 共有4个元素. 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由，得 又，所以. 由，得. 所以. 两式相加，得，因此. 4. 曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 5. 已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线：的焦点，将与联立并消去，由题意可知判别式为0，可求出的值得到直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】抛物线的焦点为. 直线与抛物线只有一个公共点，说明该直线为抛物线的切线. 将代入，得. 整理得. 只有一个公共点，故判别式为0，即. 化简得， 所以. 此时直线为，即. 点到该直线的距离为. 6. 从集合中任取3个不同的数.若这3个数的和为偶数，则不同取法共有（ ） A. 40种 B. 44种 C. 48种 D. 52种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论3个不同的数全为偶数或2个奇数和1个偶数，结合组合数运算求解. 【详解】集合中，奇数有5个，偶数有4个. 任取3个不同的数，和为偶数，需所取奇数的个数为偶数，故有两种情况： 全为偶数，有种； 取2个奇数和1个偶数，有种. 所以不同取法共有种. 7. 数列满足，，且对任意，都有，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知结合赋值法计算求解. 【详解】由题意，. 令，得， 所以， 即. 令，得， 所以. 令，得， 所以. 令，得. 所以. 令，得. 所以. 令，得， 所以. 8. 已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】应用已知得出列式，再分类讨论计算求解参数. 【详解】设. 则，，，. 对两边集合中的所有元素同时减去，题设等价于. 要使两集合相等，右侧集合中必须含有0. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，相等. 因此. 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 从编号为的4张卡片中有放回地随机抽取两次.设第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，令，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过列举法，确定有放回地随机抽取两次所有可能结果，再结合古典概率模型概率计算公式、期望、方差计算公式逐个判断即可. 【详解】从中有放回抽取两次， 所以可能结果是：， ， ， ， 则的可能取值为：， 则，， ，，，， 所以， 故A正确. 事件，即，包含，，， 所以，故B正确. 由上知，故C错误. .故D正确. 10. 设函数，.则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【详解】函数，则. 由于，所以. 因此. 故是偶函数，A正确； 求导得.当时，；当时，. 所以在处取得最小值，B正确； 方程. 令，则，所以，即. 由于，唯一解为. 因此对应唯一实根，C正确； 当时，，而. 因此当足够大时，，D错误. 11. 点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 满足的点有且仅有2个 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求得结果. 【详解】根据二项式定理，的展开式的通项公式为，其中， 的展开式的通项公式为，其中， 因此，要求的展开式中的系数，则， 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 当时，，系数为； 因此的系数为. 13. 已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可得或，结合可得，再根据可得，，结合单调性分析求解. 【详解】函数为偶函数，要求对任意成立. 即. 展开得. 因此对任意成立. 由于，所以不可能恒有，故， 且，于是或. 又，即，所以. 此时. 由得. 所以，，即，， 又，故可能为， 且，因为，则， 因为在上单调递减， 则，解得，只有满足. 因此，. 14. 数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 【答案】11 【解析】 【分析】先构造，得到数列是公差为2的等差数列，再利用累加法求解数列的通项公式，从而找到数列中第一个大于100的项. 【详解】令. 由得， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 所以 当，， ， … ， ， 将以上个等式左右两边分别相加得 ， 所以，因为也满足，所以， 要找第一个大于100的项，即，所以 所以第一个大于100的项是第11项，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某传感器连续记录4次信号，每次信号只可能为0或1.设第次记录为，其中，，且各次记录相互独立.对一组记录定义“变化次数”：若相邻两次记录不同，则记为一次变化，即.例如，记录0010的变化次数为2. （1）当时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求的最大值，并说明取等条件. 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） （3）最大值为，当且仅当时取得 【解析】 【分析】（1）先确定的所有可能取值为,因为各次记录独立且，所以对每个的可能取值，计算满足对应变化次数的序列个数，再乘以每个序列的概率，得到对应概率，最后可得分布列； （2）令 .因为，​根据数学期望的可加性，计算每个即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 当时，每一个长度为4的0，1序列出现的概率均为. 若变化次数为，只需在3个相邻位置中选个位置发生变化.变化位置确定后，再确定第一个数，整个序列就唯一确定. 因此变化次数为的序列个数为. 所以，. 于是分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 令 . 则. 对任意，有. 由于各次记录相互独立， . 因此. 由数学期望的可加性，. 【小问3详解】 因为， 所以，当且仅当时取等. 因此的最大值为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. （1）求角B； （2）求a，c，b的值； （3）若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先根据面积公式求出，再根据余弦定理求出； （3）利用面积分割结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. 【小问2详解】 由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. 【小问3详解】 因为，平分，所以， 又， 则， 则. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.点为的中点，点为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 点为的中点，所以. 点为的中点，所以， ，. 计算数量积得. 因此. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标和向量 ，计算数量积为零，即证垂直； （2）先求平面的法向量，再取直线的方向向量，用向量夹角公式计算正弦值； （3）分别求平面和平面的法向量，利用法向量夹角公式得余弦值. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 点为的中点，所以. 点为的中点，所以. （1）略 （2）平面经过点，，，其方程为. 所以平面的一个法向量为. 直线的方向向量可取. 设直线与平面所成角为，则. 计算得，，. 所以. （3）设平面的法向量为，平面中. 因此，  令，得. 计算两个法向量的夹角余弦得 结合图形可知，所求二面角为锐角，故余弦值取绝对值， 即平面与平面所成二面角的余弦值为. 18. 已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. （1）求过点的抛物线切线方程； （2）设，求点的轨迹方程； （3）判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 【答案】（1） （2） （3）轨迹有中心，中心为，平移后为双曲线 【解析】 【分析】（1）根据点设出直线方程，再与抛物线方程联立，根据即可求得切线方程. （2）根据切线方程与直线方程，分别用表示出，进而得到关系，即点的轨迹方程. （3）首先平移消去一次项得到轨迹存在中心，再双曲型非退化得到轨迹方程为双曲线. 【小问1详解】 已知抛物线，点在抛物线上，且. 设切线方程过点直线设为，即. 代入抛物线方程，， 化简得. 因为直线与抛物线相切，所以，即. 令，. 方程化简为，即. 若，则. 化简得，矛盾 若有，则. 化简得，即，因此切线方程，即. 【小问2详解】 点是切线与直线的交点. 设，则且. 消去,可得. 由于，所以，因. 代入可得，整理得. 因此点的轨迹方程为，. 【小问3详解】 令，.则，. 于是. 则变为，即. 可见平移后方程不含一次项，故原轨迹有中心，其中心为. 又二次部分对应非退化双曲型二次曲线， 因此平移到以中心为原点后所得的曲线为双曲线. 19. 已知函数，.对于任意实数，定义. （1）讨论函数在上的单调性， （2）求的表达式； （3）求的最小值. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数即可求解； （2）根据题意，由导数得到函数的单调性，分类讨论区间与的位置关系即可求解； （3）利用导数分类讨论函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由得， 当时，；当时，； 因此在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 根据区间与的位置关系分类： ①当时， 区间位于左侧，函数单调递减，所以， 即； ②当时，区间位于右侧，函数单调递增，所以， 即； ③当时，区间包含，最小值为， 最大值为两个端点中较大的一个，即比较， 令，得， 记，由于， 故当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述， 【小问3详解】 当时，在该区间单调递减， 当时，，其导数为，故该段单调递减， 当时，，其导数为，故该段单调递增， 当时，单调递增， 因此的全局最小值在处取得，此时， 所以， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2027届高三方向卷（二） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数满足，，且的虚部为正，则（ ） A. B. C. D. 6 2. 设关于的方程有实根}，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 从集合中任取3个不同的数.若这3个数的和为偶数，则不同取法共有（ ） A. 40种 B. 44种 C. 48种 D. 52种 7. 数列满足，，且对任意，都有，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 从编号为的4张卡片中有放回地随机抽取两次.设第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，令，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，.则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 11. 点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 满足的点有且仅有2个 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______. 13. 已知函数，其中，.若为偶函数，，且，并且在区间上单调递减，则_____，_______. 14. 数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某传感器连续记录4次信号，每次信号只可能为0或1.设第次记录为，其中，，且各次记录相互独立.对一组记录定义“变化次数”：若相邻两次记录不同，则记为一次变化，即.例如，记录0010的变化次数为2. （1）当时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求的最大值，并说明取等条件. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. （1）求角B； （2）求a，c，b的值； （3）若为的平分线，且在边上，求的长. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，.点为的中点，点为的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值. 18. 已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. （1）求过点的抛物线切线方程； （2）设，求点的轨迹方程； （3）判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 19. 已知函数，.对于任意实数，定义. （1）讨论函数在上的单调性， （2）求的表达式； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $