精品解析：山西忻州一中2027届高三方向卷（三）

忻州一中2027届高三导向卷（三） 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 20 C. 40 D. 60 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某产品通过三个相互独立的检测器A，B，C判断是否异常.若产品实际异常，则每个检测器判断为“异常”的概率均为0.8；若产品实际正常，则每个检测器误判为“异常”的概率均为0.1.检测规则为：三个检测器中至少两个判断为“异常”，则系统最终判为“异常”.设产品实际异常的概率为p，系统最终判为“异常”的概率为P.下列说法正确的是（ ） A. 若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为0.896 B. 若产品实际正常，则系统最终误判为“异常”的概率为0.028 C. D. 若，则在系统最终判为“异常”的条件下，该产品实际异常的概率为 10. 设函数，.下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 在处取得最大值 11. 已知抛物线与圆，设其交点为A，B，抛物线C的焦点为F，准线为l，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线AB经过焦点F C. 原点O到直线AB的距离为1 D. 抛物线C与圆M恰有4个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从A，B，C，D，E，F六项活动中任选三项参加. （1）选到A且没有选到B的概率为________________； （2）已知已经选到A，再选到B的概率为________________. 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 14. 一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． （1）求p的估计值； （2）在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求a，c； （2）求； （3）求. 17. 如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆.点在椭圆外.从点作椭圆的两条切线，切点分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）证明：直线垂直于，并求直线的方程； （3）若，求与. 19. 对任意正整数n，定义其“二进层号”为满足的唯一正整数；再定义．例如，，；，． （1）求，； （2）证明：对任意正整数m，有； （3）记．求关于m的表达式，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2027届高三导向卷（三） 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 又，所以. 由，得， 所以. 因此. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的几何意义可得. 【详解】因为． 所以． 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 15 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用展开式通项求解. 【详解】展开式通项为． 令，得． 所以常数项为． 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 5. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 7. 设集合．若R表示的平面图形面积为S，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的范围可得的不等式组，在平面直角坐标系中刻画出后利用对称性可求面积. 【详解】由可得， 若，则或，此时或， 若，则， 令，则或， 综上，在平面直角坐标系中，对应的平面区域如图所示的阴影部分（包括边界）： 其中， 由抛物线的对称性可得阴影部分的面积为. 8. 已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某产品通过三个相互独立的检测器A，B，C判断是否异常.若产品实际异常，则每个检测器判断为“异常”的概率均为0.8；若产品实际正常，则每个检测器误判为“异常”的概率均为0.1.检测规则为：三个检测器中至少两个判断为“异常”，则系统最终判为“异常”.设产品实际异常的概率为p，系统最终判为“异常”的概率为P.下列说法正确的是（ ） A. 若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为0.896 B. 若产品实际正常，则系统最终误判为“异常”的概率为0.028 C. D. 若，则在系统最终判为“异常”的条件下，该产品实际异常的概率为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】利用独立重复事件的概率公式计算可判断ABC，利用条件概率公式计算可判断D. 【详解】若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为 ．故A正确. 若产品实际正常，则系统误判为“异常”的概率为 ．故B正确. 因此．故C正确. 当时，系统最终判为异常的概率为． 由条件概率公式，（实际异常系统判异常）．故D正确. 10. 设函数，.下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 在处取得最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，可判定A正确；求得，得到的单调性和极值的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得，所以A正确； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由函数，可得其定义域为且， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以C正确； 对于D，由选项C知，函数在处取得极小值，不是最大值，所以D错误. 11. 已知抛物线与圆，设其交点为A，B，抛物线C的焦点为F，准线为l，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线AB经过焦点F C. 原点O到直线AB的距离为1 D. 抛物线C与圆M恰有4个公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接计算出两曲线的交点及直线AB方程，即可逐一分析选项 【详解】选项A，抛物线为，圆为．由抛物线得，代入圆方程：．设，则． 化简得，即． 解得或（舍去）， 所以，． 两交点为，，因此，A正确； 选项B，抛物线焦点为，直线AB为，经过焦点F，B正确； 选项C，原点到直线的距离为1，C正确； 选项D，两曲线只有两个公共点，不是四个，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从A，B，C，D，E，F六项活动中任选三项参加. （1）选到A且没有选到B的概率为________________； （2）已知已经选到A，再选到B的概率为________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用古典概型计算概率. 【详解】从6项活动中任选3项，总数为． （1）选到A且没有选到B，即从C，D，E，F中再选2项，共有种， 所以概率为． （2）已知已经选到A，则还需从剩余5项中选2项，总数为． 若再选到B，则第三项从剩余4项中选，方法数为， 所以概率为． 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 14. 一个五面体满足，且这三条平行线两两之间的距离均为1.已知，，，则该五面体的体积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】采用“补形法”，将五面体补为三棱柱，通过三棱柱的体积和五面体体积的关系，计算体积. 【详解】用一个完全相同的五面体和已有的五面体拼接，拼接为一个三棱柱， 因为，且两两之间的距离均为1，且，，， 故该三棱柱与侧棱垂直的截面为边长为1的等边三角形，且侧棱长为， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． （1）求p的估计值； （2）在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先通过二项分布计算不同真实信号下译码为1的条件概率，再利用全概率公式结合频率估计概率构造方程求解； （2）利用条件概率公式计算求解； （3）判断服从二项分布，再利用期望、方差公式计算求解． 【小问1详解】 设事件表示“真实信号为1”，事件表示“最终译码为1”， 则， 真实信号为0时，最终译码为1的概率为： ． 由频率估计概率，最终译码为1的概率为， 又真实信号为1的概率为p， 由全概率公式, 化简整理得，解得． 【小问2详解】 由条件概率公式，． 【小问3详解】 在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取一个，其真实信号为1的概率为， 抽取互相独立，故服从二项分布． ，． 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. （1）求a，c； （2）求； （3）求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用余弦定理列方程求出，再反代； （2）由求，再用正弦定理求； （3）先求和，再用两角差的余弦公式计算. 【小问1详解】 由，设.由，可得 ，得，. 所以. 【小问2详解】 由，得. 由正弦定理，得. 【小问3详解】 ，，. 再由，. . 17. 如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系： ，，，，，，，． 因为分别为，的中点，所以，． 有，底面的法向量为. 因为，所以 又不在平面内，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面的一个法向量为，平面中，， ，，取，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 所以两平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为， 点到该平面的距离为． 18. 已知椭圆.点在椭圆外.从点作椭圆的两条切线，切点分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）证明：直线垂直于，并求直线的方程； （3）若，求与. 【答案】（1）； （2）设切点为，因为切线的斜率存在， 设过点的切线方程为，代入椭圆， 得，因为直线与椭圆相切， 所以， 即，化简得：. 一元二次方程根的性质，切点的横坐标， 再将代入切线方程， 得， 因此切点的纵坐标均为，直线的方程为， 所以直线垂直于. （3）， 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆方程得基本量，进而可得离心率； （2）由题意判断切线斜率存在，设切线方程，利用判别式得，进而可得切点横坐标及纵坐标，从而证明垂直并求得直线方程； （3）由（2）分析可得及高，进而可得面积， 再由题意得方程，通过换元法解方程可得. 【小问1详解】 由椭圆，所以，． 所以，因此离心率为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）分析知直线的方程为，切点的纵坐标为， 再由，得，所以， 因此. 又由到直线的距离， 所以． 由题意，令，则， ，，即， 所以，因为方程无实数根， 所以方程有唯一实根. 因为，所以，此时． 故当时，， 19. 对任意正整数n，定义其“二进层号”为满足的唯一正整数；再定义．例如，，；，． （1）求，； （2）证明：对任意正整数m，有； （3）记．求关于m的表达式，并证明你的结论． 【答案】（1）， （2）当时，，所以． 此时n依次取，，…，， 于是依次取，，…，1， 因此第r层的和为， 所以， 即， 计算得， 化简为，命题得证． （3），证明： 记， 若，则，， 此时，， 条件等价于，故， 因此对固定r，可取的个数为区间与中整数的交集大小， 也就是说，需满足． 下面分m的奇偶讨论： 若，则有贡献的r为， 对应个数依次为，，…，2，1， 所以， 即当时，； 若，则有贡献的r为， 其中时有1个，之后对应个数为，，…，2，1， 所以， 即当时，， 综上，，命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据已知定义，计算求解； （2）采用分层求和法，按将求和区间拆分成个连续区间，每层内是从1到的连续整数，先分层求和，再对每层用等比数列求和公式化简，最终求证； （3）采用变量替换和分类计数法，设按已知条件转化为的区间约束，结合自身的取值范围确定有解的的取值区间，再根据的奇偶性分类，逐层统计符合条件的的个数，最后求和得出． 【小问1详解】 已知对任意正整数n，定义，并定义． 因为，，且，所以． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $