精品解析：2026年 广东省深圳市华东师范大学附属深圳龙华学校教育教育集团数学学科中考自测试卷

华东师范大学附属深圳龙华学校教育教育集团数学学科中考自测试卷 一、选择题（共8小题，满分24分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. “悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 10. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 11. 有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 __________________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 13. 如图，正方形纸片的边长为9，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，交边于点，若，则的长为_____． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 16. 某中学对七、八年级学生进行了防诈骗教育，为了解此次教育的效果，学校开展了防诈骗知识测试．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的防诈骗知识测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100 八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 七年级 86 86 40% 八年级 86 87 45% 八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图 （1）填空：_____，_____，八年级抽取的学生中A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加防诈骗知识测试的学生中，哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试，请估计这两个年级共有多少名学生成绩在C等级． 17. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 18. 如图，是☉的直径，点在线段的延长线上，直线与☉相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点． （1）求的值； （2）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标； （3）如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为． ①直接写出新函数图象对应的函数解析式； ②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围． 20. 综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． （1）【探索发现】如图1，过点D作，求证：； （2）【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属深圳龙华学校教育教育集团数学学科中考自测试卷 一、选择题（共8小题，满分24分） 1. 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果将零下记作，那么表示（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义．根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果将零下记作，那么表示零上． 故选：A． 2. “悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，积的乘方法则逐一计算选项即可判断结果． 【详解】解：选项A：，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先结合两直线平行，同位角相等得，结合平分，故，因为则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：B 6. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在上，， ∵， ∴． 7. 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度为60cm，桌面平放时高度为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角的度数为，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴桌沿（点A）处到地面的高度． 故选：A． 8. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，任取范围内一个x的值即可. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则被开方数， 解得， 即任意大于或等于的实数都符合要求. 故答案为（答案不唯一） 10. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 故答案为：4． 11. 有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：“中”、“考”、“必”、“胜”的四张卡片分别用、、、表示，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”有2种， 所以两次抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 13. 如图，正方形纸片的边长为9，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，交边于点，若，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由正方形的性质得，，根据勾股定理求出，由折叠得，，推导出，可证明，得，由，求得，则． 【详解】解：∵四边形是边长为9的正方形，点F在上，点E在上，， ∴， ∴， 由折叠得点G与点A关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行零次幂计算、根式化简、三角函数计算、负数次幂计算，最后进行混合运算即可． 【详解】解：原式 15. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 16. 某中学对七、八年级学生进行了防诈骗教育，为了解此次教育的效果，学校开展了防诈骗知识测试．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的防诈骗知识测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100 八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 七年级 86 86 40% 八年级 86 87 45% 八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图 （1）填空：_____，_____，八年级抽取的学生中A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加防诈骗知识测试的学生中，哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试，请估计这两个年级共有多少名学生成绩在C等级． 【答案】（1）87.5，86，18° （2）解：八年级学生的测试成绩较好． 理由：∵七年级、八年级学生的测试的平均成绩相同都是86分， 八年级学生的测试的中位数比七年级的高， ∴八年级学生的测试成绩较好．（答案不唯一）； （3）390名 【解析】 【分析】（1）先求出八年级20名学生测试成绩为C组的占的百分比，结合八年级20名学生测试成绩为B组的占，D组的占，可求得A组的占的百分比，从而可求得A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数，再求出A、B两组的人数，并将将C组数据从小到大排列，从而可求得中位数为，再根据七年级20名学生的测试成绩，找出出现次数最多，从而可得出七年级20名学生的测试成绩的众数； （2）比较七年级、八年级学生的测试的平均成绩与中位数，可得出八年级学生的测试成绩较好；（答案不唯一） （3）利用七年级、八年级20名学生测试成绩在C组的总人数除以40，再乘以1200即可． 【小问1详解】 解：∵八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85，共7个， ∴八年级20名学生测试成绩为C组的占， 又八年级20名学生测试成绩为B组的占，D组的占， ∴A组的占， ∴A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为， A、B两组的人数为人， 将C组数据从小到大排列为是：80，82，85，87，87，87，88， 第10、11个数分别是87，88， ∴中位数为， ∵七年级20名学生的测试成绩是：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100， 其中79、94、100都出现了2次，86出现次数为4次，出现次数最多， ∴七年级20名学生的测试成绩的众数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级20名学生测试成绩在C组中的是84，85，86，86，86，86，共6人， 八年级20名学生测试成绩在C组的有7人， 该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试， ∴估计这两个年级共有名学生分数在C等级． 17. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同． （1）排球，足球的单价各是多少元． （2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用． 【答案】（1）排球的单价为50元，足球的单价为80元 （2）费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元 【解析】 【分析】（1）设排球的单价为a元，则足球的单价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合花500元购买的排球的个数与花800元购买的足球的个数恰好相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设购买排球x个，足球（11-x）个，根据购买的总费用y等于购买排球的费用+购买足球的费用峛出函数关系式，再根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， ∴， 答：排球的单价为50元，足球的单价为80元． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵，解得， 在中，， ∴y随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数解析式． 18. 如图，是☉的直径，点在线段的延长线上，直线与☉相切于点．连接． （1）尺规作图：过点作，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求 （2）①见解析； 证明：如图，连接 ∵直线与☉相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴平分 ② 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，以为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过与该点作直线，即为 ．这是基于尺规作图中作已知直线垂线的基本操作原理． （2）①连接，由切线性质得，结合，推出，利用平行线性质得；又因，根据等腰三角形性质得，从而，证明平分 ．通过切线性质、平行线判定与性质、等腰三角形性质来推导角相等．②先根据求出，，；用勾股定理算出；由证，根据相似三角形性质求出，；进而算出；最后用勾股定理求出 ．综合运用勾股定理、相似三角形的判定与性质来求解线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查尺规作图（作垂线）、圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理．解题关键在于熟练掌握尺规作垂线的操作方法以及利用切线性质构建平行关系，结合等腰三角形性质推导角平分线． 19. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点． （1）求的值； （2）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这个点为“倍值点”．求抛物线上的“倍值点”的坐标； （3）如图1，将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新函数的图象（如图2）记为． ①直接写出新函数图象对应的函数解析式； ②当时，图象上函数的最小值是，最大值是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）和 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）设这个“倍值点”的坐标为，将代入，求出m的值，即可求解； （3）①根据折叠的性质，即可求解；②根据二次函数的图象和性质解答即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ． 【小问2详解】 解：由（1）得该抛物线的解析式为， 设这个“倍值点”的坐标为， 将代入，得． 解得． ∴抛物线上的“倍值点”的坐标是和． 【小问3详解】 解：①对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵， ∴原函数图象的顶点坐标为， ∴折叠后的抛物线的顶点坐标为， ∵将此抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方， ∴当或时，该部分函数解析式为， 当时，该部分函数解析式为， 综上所述，新函数图象对应的函数解析式为； ②由①得，， 如图所示， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，且当时，取得最小值为0． ∵当时，图象上函数的最小值是， ， ， 此时，图象上函数的最大值是， 在中，令，得， 解得，，（舍去）． 的取值范围是． 20. 综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． （1）【探索发现】如图1，过点D作，求证：； （2）【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作于点F，连接，将沿翻折得到，交于点H，求出线段的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）或，的面积为4或 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得出：，因为证得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，面积，且点共线，故；②当时，作，设 ，通过和的勾股定理（）解得，进而面积，再结合的比例关系：得，故．综合得或，对应面积为或； （3）首先利用，说明点在以中点为圆心的圆上，延长交延长线于，设，推导，进而得，从而．要使最小（即最小），需最大，此时与圆相切（即），设，利用建立方程，解得（舍负值），代入得，最终可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为或； 【小问3详解】 的最小值为．理由如下： ， ∴点F在以的中点M为圆心的圆上，延长交的延长线于点N， 设， ， ， ， ， ， ， ， 若最小，即最小，则最大， 当最大时，与圆M相切，即， 设， ， ， ， 解得或（舍）， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似（AA判定）与全等（AAS）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理、圆的性质（点轨迹、切线）及最值问题（通过相似比例和方程求极值）。解决问题的关键在于巧妙构造辅助线（如垂线、延长线）建立几何关系，将动态问题转化为静态模型，利用相似和全等传递边角关系，并通过方程思想求解未知量，同时注意分类讨论避免遗漏（如小问2的等腰三角形情形），最终综合几何变换（折叠）和圆的性质实现最值优化。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $