精品解析：河南郑州市第四初级中学2026年中考模拟考试数学试卷

数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，比小的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且是无理数，是有理数， 故选：A 2. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定即可． 【详解】解：从正面看，主视图为 4. 如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架与互相垂直，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由多边形内角和求出，再结合平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． 5. 下列尺规作图中，线段能平分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形的中线平分三角形的面积，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 分别根据尺规作线段垂直平分线，角平分线的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A选项是尺规作边的垂直平分线，故为的中线，所以A选项符合题意； B选项是尺规作边的垂直平分线，可知，所以B选项不符合题意； C选项所作射线为的平分线，所以C选项不符合题意； D选项所作射线为边的高线，所以D选项不符合题意． 故选：A． 6. 已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式为0，先求出的值，再结合是锐角得到的度数． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得：， 化简得：， 整理得：， ∵是锐角，， ∴， ∴． 7. 为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（ ） A B C D A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C D 1 白菜 茄子 辣椒 毛豆 2 白菜 茄子 毛豆 辣椒 3 白菜 辣椒 茄子 毛豆 4 白菜 辣椒 毛豆 茄子 5 白菜 毛豆 茄子 辣椒 6 白菜 毛豆 辣椒 茄子 7 茄子 白菜 辣椒 毛豆 8 茄子 白菜 毛豆 辣椒 9 茄子 辣椒 白菜 毛豆 10 茄子 辣椒 毛豆 白菜 11 茄子 毛豆 白菜 辣椒 12 茄子 毛豆 辣椒 白菜 13 辣椒 白菜 茄子 毛豆 14 辣椒 白菜 毛豆 茄子 15 辣椒 茄子 白菜 毛豆 16 辣椒 茄子 毛豆 白菜 17 辣椒 毛豆 白菜 茄子 18 辣椒 毛豆 茄子 白菜 19 毛豆 白菜 茄子 辣椒 20 毛豆 白菜 辣椒 茄子 21 毛豆 茄子 白菜 辣椒 22 毛豆 茄子 辣椒 白菜 23 毛豆 辣椒 白菜 茄子 24 毛豆 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有24种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的结果数有8种（方案2，5，7，9，16，18，20，23），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 8. 如图是一次函数（，为常数，）的图象，则二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴，且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于原点， 故图象一定不经过第三象限， 故选：C． 9. 对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的分段运算规则分类讨论，逐一判断每个结论是否正确即可解答． 【详解】解：①，根据新定义可得，故①正确； ②若，分两种情况讨论： 当时，，符合条件； 当时，，解得，符合条件； 因此或，故②错误； ③当时，，，，故③错误； ④解不等式，分两种情况讨论： 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 综上，不等式的解集为，故④正确； 因此正确结论为①④． 10. 记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出三个函数 ，， 的交点，确定在不同  取值范围内哪个函数值最小，从而确定分段函数的解析式及图象走势． 【详解】解：令 ，， 联立，  ，即 ， 解得 ，  当  时， ，且 ， 此时 ，图象为从  出发的线段， 联立 ，即 ，解得 （约等于2.8）， 当  时， 且 ， 此时 ，图象为上升线段 ， 当  时，， 此时 ，图象为下降的双曲线分支 综上所述， 图象先从  快速上升，转折后缓慢上升，最后下降，只有A选项符合． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “垃圾分类”知识竞赛规定：答对的得10分，答错扣5分，如果初一（2）班答对了道题，答错了道题，那么初一（2）班的得分可以表示为：______分． 【答案】 【解析】 【分析】由答对的得10分，答对了道题求出所得10分，由答错或不答扣5分，答错了道题求出所扣5，从得分中去掉扣分是最后初一（2）班的得分可以表示为分． 【详解】解：答对的得10分，答对了道题得10分， 答错或不答扣5分，答错了道题扣5， 初一（2）班的得分可以表示为分． 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，用字母表示数，代数式书写规则知识，掌握列代数式的方法与要求是解题关键． 12. 某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤__________元． 【答案】 【解析】 【分析】设大果、中果和小果的产量分别为斤，斤，斤，，根据平均售价等于总售价除以总产量即可求解． 【详解】解：∵大果、中果和小果的产量比为， ∴设大果、中果和小果的产量分别为斤，斤，斤，其中 ∴这批金桔的平均售价为（元/斤）． 13. 曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 14. 如图，点A为反比例函数图象上一点，连接，过点O作的垂线，且．则当时，点B所在反比例函数图象的函数表达式为_____________（不写自变量的取值范围）；在点A运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为________（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似比建立点与点坐标的数量关系，结合反比例函数的几何意义及坐标特征求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， 点在反比例函数图象上， ， 点在第二象限， ， , ， 点的坐标为设点所在反比例函数表达式为， ， 当时，， 点所在反比例函数表达式为， 当点的横坐标为时，， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 15. 在中，，，，P是上的动点，当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】在平行四边形中，利用对边平行且相等的性质确定各边长和角度．过、分别向所在直线作垂线，利用含角的直角三角形性质求出垂足位置和高，再用勾股定理表示和，分、、三种等腰情况列方程求解，舍去不在范围内的解． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ， 过作于，过作交延长线于， 在中，，， ，， 在中，，， ，， ， 设在上，，，则， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， ， 解得或， ，，均不在范围内， 此情况无解， 当时， ， ， ， ， 当时， ， ， 解得或， ，舍去， 满足， ， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义，把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔"的次数 落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位) （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)； （2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度． 【答案】(1)0.7；(2)该商场每天大致需要支出元奖品费用：(3)36 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）根据扇形统计图，结合获得铅笔的概率为0.7，求出获得一瓶饮料的概率为0.3，列出算式40000×0.7×0.5+40000×0.3×3，计算即可求解； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，则，解方程即可． 【详解】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7； （2）1-0.7=0.3，40000×0.7×0.5+40000×0.3×3=14000+36000=50000元； （3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°， 则， 解方程得：n=36． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，也考查了扇形统计图的意义．题目较长，但信息量不大，关键要认真审题，理清题意． 18. 解答： （1）【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ （2）【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 【答案】（1）错误；正确；错误 （2） 证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可判断； （2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形． 【小问1详解】 解：连接，交于点， ①由图可得，平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 同理可得，， ∴平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； 【小问2详解】 略 19. 如图，这是某小区的平面图，点O是小童家的位置，点C是小区快递驿站．从家出发去取快递，有两条路线，路线一：从点O出发，沿正东方向走到点D，然后沿南偏西方向走200米到达点C：路线二：从点O出发，沿正南方向走到点A后，又向正东方向走到点B，再沿北偏东方向走200米到达点C（参考数据：，，．） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小童和妈妈分别沿路线一、路线二匀速步行到点C取快递，速度分别为米/秒和1米/秒．若米，请通过计算说明他们谁先到达快递驿站？ 【答案】（1）米 （2）小童的妈妈先到达快递驿站 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，解可求出的长；过点B作于点F，过点C作于点G，则四边形和四边形都是矩形，可得米；再解求出的长即可得到答案； （2）解直角三角形求出的长，求出两条路线的总长度，进而求出两条路线花费的时间，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于点E， ∴， 由题意得米，， 在中，米； 如图所示，过点B作于点F，过点C作于点G，则四边形和四边形都是矩形， ∴米； 在中，米， ∴米， 答：的长度约为293米； 【小问2详解】 解： 在中，米， 在中，米， 由矩形的性质可得米，米 ∴路线一的总长度为米， ∴路线一花费的时间为秒 ∵路线二的长度为米， ∴路线二花费的时间为秒， ∵， ∴小童的妈妈先到达快递驿站． 20. 小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． （1）求，两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 【答案】（1）品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． （2）购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． （3）解：小红的猜想正确，计算说明过程如下： 购买品牌糯米整箱，购买品牌整箱，需要花费（元）， ∵， ∴购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱， 答：小红的猜想正确． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性． （1）设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格元，根据题意列关于的分式方程并求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式，并求其解集，设花费元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时，值最小，求出最小值即可； （3）根据题意，计算不同方案所需要的费用，比较大小即可． 【小问1详解】 解：设品牌每袋糯米的价格为元，则品牌每袋糯米的价格是元， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是所列分式方程的根， （元） 答：品牌每袋糯米的价格为元，品牌每袋糯米的价格是元． 【小问2详解】 解：设购买品牌糯米袋，则购买品牌糯米袋， 根据题意，得， 解得，， 设花费元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵，且为非负整数， ∴当时，最小， 此时，（元），（袋）， 答：购买品牌糯米袋，购买品牌糯米袋，花费最少，最少为元． 【小问3详解】 略 21. 切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． （1）求的半径； （2）在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 【答案】（1） （2）；旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断 【解析】 【分析】（1）设半径为，由三角函数得，解之即可； （2）如图，连接，由勾股定理得，由垂径定理得，最后根据，即可求解； 如图，当旋转到时，，由含的直角三角形的性质得，由勾股定理得，所以，因为，所以当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【小问1详解】 解：设半径为， 当恰好和相切时，，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， 在中，， ， ； 如图，当旋转到时，， ， ， 连接，在中，， ， ， 当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，含的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 已知与满足二次函数关系，与对应值如下表： （1）该函数图象的顶点坐标为________，________，与的函数表达式为________． （2）在平面直面坐标系中画出该函数的图象． （3）将该函数图象向右平移个单位长度且为正整数． 若图象平移后过、两点，试说明的值恒为的倍数， 当时，若平移后的图象对应的函数最大值是，请直接写出的值． 【答案】（1），3，（或）； （2）函数图象如图所示： （3）解：将向右平移个单位长度，得， 当时，， 当时，， ∴， ∵为正整数， ∴恒为的倍数； ． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出解析式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）通过画函数图象方法即可求解； （）求出当时，；当时，，然后相减即可求解； 根据二次函数性质分当，即；当，即，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为，根据表格可得， ，解得：， ∴与的函数表达式为， 由， ∴函数图象的顶点坐标为， 当时，； 【小问2详解】 解：列表， 描点，连线，图象略； 【小问3详解】 略 由得平移后解析式为， ∴对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴抛物线图象上的点离对称轴越远则的值越大， 当，即， ∴当时，函数有最大值，解得：或（舍去）； 当，即， ∵为正整数， ∴， ∴当时，函数有最大值，不符合题意； 综上可得：的值为． 23. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）略 （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上，     ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时，     同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，比小的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是物理学中的一幅示意图，其中支撑架与互相垂直，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列尺规作图中，线段能平分面积的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形试验田分成A，B，C，D四部分给学生种白菜，茄子，辣椒，毛豆四种蔬菜（如表所示），每部分试验田只能种一种蔬菜，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（ ） A B C D A. B. C. D. 8. 如图是一次函数（，为常数，）的图象，则二次函数的图象不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 10. 记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “垃圾分类”知识竞赛规定：答对的得10分，答错扣5分，如果初一（2）班答对了道题，答错了道题，那么初一（2）班的得分可以表示为：______分． 12. 某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤__________元． 13. 曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为___________mm． 14. 如图，点A为反比例函数图象上一点，连接，过点O作的垂线，且．则当时，点B所在反比例函数图象的函数表达式为_____________（不写自变量的取值范围）；在点A运动过程中，若点A的横坐标为m，点B的坐标为________（用含m，n的代数式表示）． 15. 在中，，，，P是上的动点，当是等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“铅笔"的次数 落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位) （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)； （2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度． 18. 解答： （1）【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ （2）【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 19. 如图，这是某小区的平面图，点O是小童家的位置，点C是小区快递驿站．从家出发去取快递，有两条路线，路线一：从点O出发，沿正东方向走到点D，然后沿南偏西方向走200米到达点C：路线二：从点O出发，沿正南方向走到点A后，又向正东方向走到点B，再沿北偏东方向走200米到达点C（参考数据：，，．） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小童和妈妈分别沿路线一、路线二匀速步行到点C取快递，速度分别为米/秒和1米/秒．若米，请通过计算说明他们谁先到达快递驿站？ 20. 小红爸爸计划购买，两种品牌共袋糯米制作粽子．已知用元购买A品牌的袋数与用元购买品牌的袋数相同，且品牌每袋的价格比品牌每袋的价格贵元． （1）求，两种品牌每袋糯米的价格： （2）小红爸爸计划购买品牌的袋数不超过品牌袋数的一半，则怎样购买才能花费最少，最少为多少元？ （3）小红去商家柜台了解到，若整箱（袋/箱）购买任意一种品牌的糯米，每箱可优惠元．小红猜想购买品牌整箱，购买品牌整箱，会比（2）中的方案更省钱，请通过计算说明小红的猜想是否正确． 21. 切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． （1）求的半径； （2）在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 22. 已知与满足二次函数关系，与对应值如下表： （1）该函数图象的顶点坐标为________，________，与的函数表达式为________． （2）在平面直面坐标系中画出该函数的图象． （3）将该函数图象向右平移个单位长度且为正整数． 若图象平移后过、两点，试说明的值恒为的倍数， 当时，若平移后的图象对应的函数最大值是，请直接写出的值． 23. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $