河北正中实验中学2026年普通高中学业水平选择性考试考前自测数学试卷

2026年普通高中学业水平选择性考试冲刺压轴卷（三） 数学学科 (时间：120分钟，满分：150分) 注意事项： 1,答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写 在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码贴处” 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若集合A={1,2,3,4,5,9},B={xx+1∈4}，则A∩B=（) A.{1,2,3} B.{3,4,9} C.{42,3,4} D.{2,3,4,5} 2.己知直线：y=xsin8+cosB的图像如图所示，则角0是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.若1+√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3 C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1. 4.如图，在同一个平面内，向量OA,0B,OC的模分别为1,1，√2,0A与0C的夹角为a, 且ana=7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,neR),则m+n=() 数学 第1页共4页 B O B.2 C.3 D.4 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=c2+absin C,且a sin B cos C+ csin cosA=号b,则anA等于() 2 A.3 B.3 1 C.3或 3 D.3对 6.己知圆锥PO的底面半径为√5，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若 aPAB的面积等于9W5, 则该圆锥的体积为（) A.π B. C.3π D.3v6x 7.已知x+y=0,则V(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+y2的最小值为() A.2W2 B.2+√2 C.10 D.4 曲线芳-名=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，B,以右焦点为焦点的抛物 y2=2x(p>0)与双曲线交于第一象限的点P,若PF+PF引=3F引，则双曲线的离心率e=() A.2 B.5 c.2+1 D.5+1 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正三棱柱ABC-AB,C中，D为BC的中点，则（) A.AD⊥ACB.B,C⊥平面AMDC.ADIIA.BD.CCII平面AAD 10.已知A,B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是() A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件 B.若P(AB)=P(吲A,则P(A)=P(B) 数学 第2页共4页 C.若P(A)=P(B),则P(AB)=P(AB) D.若P(A)=石，P(8=},则P(A+B)-子 11.已知O为坐标原点，过抛物线C:y=2x(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点，其中 A在第一象限，点M(P,O),若1 AFHAMI,则() A.直线AB的斜率为2N6B.IOBHOF1C.|AB卜4|OF1D.∠OAM+∠OBM<180° 、三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2在(G+ 的展开式中，常数项是 13.已知a=L,5),b=(cos8,si血)，则1a-2b1的最大值是 14.设aeR,函数fx)={ 2-a,x<1 x2-3m+2a2,x21 ,给出下列四个结论： ①当a=1时，的最小值为日 ②存在a>0,使得f(x)只有一个零点 ③存在a>0,使得f(x)有三个不同零点 ④Va∈(-o,0),f(x)在R上是单调递增函数 其中所有正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若A,B,C成等差数列，b2=(a-c)2+4. (1)求△ABC的面积： (2)若D是AB的中点，求CD的最小值， 16.(本小题满分15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=1l,S1。=40. (1)求{an}的通项公式： (2)求数列{a}的前n项和T. 数学 第3页共4页 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2+x-n)e*,且f'(2)=0. (I)求m-n的值： (2)若m>0. (i)求∫(x)在[0,3]上的最大值和最小值： (i)若3x∈[0,3]，y∈ π3π 64 ,siny≤f(x),求实数m的取值范围， 18.（本小题满分17分) 已知点P)在椭圆C:茶+茶=1a>b>0)上，相圆C的左右焦有分别为5,5，PFR的 q?ts 面积为6 (1)求椭圆C的方程： (2)设点A,B在椭圆C上，直线PA,PB均与圆O:x2+y2=2(0<r<1)相切，记直线PA,PB 的斜率分别为k,k (i)证明：kk2=1: (i)证明：直线AB过定点， 19.（本小题满分17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，点E,F分别在棱PB,PC上，PA⊥平面AEF,BC⊥平面PAB. (I)证明：AE⊥EF: (2)记直线PA与平面ABC所成的角为a,平面AEF与平面ABC的夹 角为B,证明：a+B为定值； (3)若4P=AE=EF=1,E为线段PB的中点，设平面AEF与平面ABC 的交线为1，Q为1上的点，求点B到平面PC2的距离的最大值， 数学 第4页共4页 2026年普通高中学业水平选择性考试冲刺压轴卷（三） 数学学科参考答案 题 9 10 11 号 答 C B c B C BD CD ACD 案 1.C【详解】依题意得，对于集合B中的元素x,满足x+1=1,2,3,4,5,9. 则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8), 于是A∩B={1,2,3,4}. 故选：C 2.D【详解】结合图像易知，sin0<0,cos0>0, 则角8是第四象限角， 故选：D. 3.B【详解】由题意知：(1+V2i)2+(1+V)+c=0, 整理得：-1+2V2i+b+V2bi+c=0, 2V2i+v2bi=0 b=-2 因为b、c为实数，所以 -1+b+c=0 解得 c=3 故选B. 4【答案】C【详解】以O为坐标原点可建立如图所示的平面直角坐标系，则A1,0), 2 7N2 .tana=7,∴cosa= sina= 10 10 数学答案 第1页共14页 又o=5.c传引 又0B与0C的夹角为45. ∴cos(a+45')=45°-sinasin45°=-3 sin(a+45)=sina cos45+cosasin45=4 网-1.8) oc=moi+no丽-(mo叭+3n-m--引 31 m--n= m= 5 5 A 解得： 47 7 n4 5.7 .m+n= 441 =3 故选：C 5.A【详解1：cosC=+-C-如CmC=2,C> 2ab 2 4 、a b sinsinBsinC =2R, ÷sin45i血8-cosC+s血C-si血B-os4=5sinB, 2 4+9当m8-8=异 2 2 ∴tanB=l, tan B+tan C ∴.tanA=-tan(B+C=- =3， 1-tan B.tan C 故选：A 6.B【详解】在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√5，取AB中点C,连接OC,PC, 有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， 数学笞案 第2页共14页 ∠AB0=30,0C=5AB=2BC=3.由aPAB的 2 B 面积为y5.得×3xPC-W5 解器PC=3.于是0=Pc-0c--号6， 所以圆锥的体积r=xOxP0=xx矿x6=6a 故选：B 7.C 【详解】V:-1y+0y-1y+Vx-2y+y表示点P(x,)到点A,)和到点B(2,0)距离的 和 设点AL,)关于直线1：x+y=0的对称点A(m,n),由对称点的性质可得： m+1,n+1 =0 2 2 m=-1 n-1-1 n=-1 m-1 如图： 数学答案 第3页共14页 由对称的性质可得PA+PB=PA+PB,所以PA+PB的最小值就是AB 所以4B=V(2-(-12+0-(-1=1o 故选：C 8.A【详解】根据题意可设F 双曲线的半焦距为c,P(x,%).则p=2c. 过F作x轴的垂线1过P作I的垂线，垂足为A,显然直线AR为抛物线的准线 则PA=|PFl, PR-PF=2a PF=3c+a 由双曲线的定义及已知条件可知 则 IPRI+IPRJ=6c'IPFJ=30-a=PA 由勾股定理可知A==PF-PA=12ac 易知=4cx,∴0=3a, 即多-器2 整理得2c2-3ac-2a2=0=(2c+a)(c-2a),∴.c=2a,即离心率为2. 故选：A 9.BD【详解】：对于A,在正三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC, 数学咨案 第4页共14页 B 又ADC平面ABC,则M⊥AD,则AA:AD=0, 因为△ABC是正三角形.D为BC中点，则AD⊥BC,则DC.AD=0 又AC=AA+AD+DC. 所以AC·AD=(AA+AD+DCAD=AAD+AD+DCAD=D2+0, 则AD⊥AC不成立，故A错误； 对于B,因为在正三棱柱ABC-AB,C中，AA1平面AB,C, 又B,CC平面AB,C,则AA⊥BC: 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD L BC,AD⊥B,C. 又AA∩AD=A,A,ADc平面AD, 所以B,C⊥平面AAD,故B正确； 对于D,因为在正三棱柱ABC-4BC中，CCI1A4 又AAc平面AAD,CC￠平面AAD,所以CCII平面AAD,故D正确： 对于C,因为在正三棱柱ABC-AB,G中，ABI1AB, 假设ADIIAB,则AD/IAB,这与ADOAB=A矛盾， 所以ADI1AB不成立，故C错误； 10.CD【详解】对A:由P(4UB)=P(A)+P(B),故P(AB)=0. 则A、B互斥，但不能得到A、B对立，故A错误； 数学答案 第5页共14页 P(AB)P(AB) 对B:由P(4)=P(.则P8P同西· 故P(AB)=0或P(A)=P(B),故B错误， C:P(A)=P(AB)+P(AB),P(B)=P(B)+P(AB), 若P()=P(B)则P(AB)=P(B),故C正确； 对DP国1-则P(=闭P叫啊列-名 所以P4:=0+R-R-M+P叫a-合号 11.ACD【详解】对于A,易得F(号，O),A=AM可得点A在FM的垂直平分线上， 卫+P3卫 则A点横坐标为2 4 JGp 代入抛物线可得y产=2p3卫-p,则42，马，则直线B的斜率为之。-26. 42 4’2 3卫_卫 42 A正确； 对于B,由斜率为26可得直线4B的方程为x=,】 联立抛物线方程得 r-忘m-r-0, 设.则%5p. 。p,则%=-62， 代入抛物线得 3 2px,解 3 得5-号则喝，. 3 04o时-号猫碳 对于C,由挑物线定义知：h=+号+p=?>2p=0明.C正确 12 数学答案 第6页共14页 4’2 432 为钝角， 又m丽-9)9(-君<0，则 4’2 ∠AMB为钝角， 又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，则∠OAM+∠OBM<180,D正确. 故选：ACD 12.15【详解】由题意 的展开式的通项为 工=c国{（3-cg3rx字=02,345 5-5 令5”-0即，=1.则c=C3=15.所以G+ 2 的展开式中的常数项为15 故答案为：15. 13.【解答】解：法一： la-26H(1,3)-2(cos0,sin0)H(1-2cos0,3-2sin0)(1-2cos0)2+(3-2sin0)2 -1-4c0s0+4cos0+3-43sin0+4sin0=4cos0-4/3sin0+8-8-8sin(0+) 数学答案 第7页共14页 因为8eR,所以-1≤sin(0+s1,所以0≤8-8sin(0+≤I6=4, 6 6 所以|ā-2b1的最大值为4.故答案为：4. 法二：向量ā，2b的终点都在以原点为圆心，2为半径的圆上，当两向量方向相反时， |ā-2b最大，即为直径4 14.②③.【解答】解：因为f(x)= 2-a,x<1 代团 x2-3ar+2a2,x11 当x<1时，f(x)=2-a,则函数在(-o,1)上单调递增， 又函数y=X-3c+2a2的对称轴为x=30 2 Gk圆 对于①：当a=1时，fx)= [2-1,x<1 x2-3x+2,x1 雪酒干核 当x<1时，0<2<2，所以-1<2-1<1，即-1<f(x)<1,故①错误： 对于8：当零点位于（四）时。则仁00，解得0<0<2，此时0品<9， 2 若0<号，即0<长号时，了因在n,切上单调递掉。 此时只需/()=1-3如+2>0，据得a>1或ac宁所认0ca分 若受>1，即a>号时，此时△=9如-80=>0， 则f(x)在1，+∞)上至少还有1个零点，故不符合题意： 所以0<a<2 1 当零点位于[1，+∞)，此时f(x)在(-oo,1)上无零点，则2-a≤0，解得心2， 此时△>0且>1， 2 要使函数fx)只有一个零点，则只需f(1)=1-3a+2a<0,解得<a<1, 数学答案 第8页共14页 又a>2,显然a无解，所以此种情况不符合题意： 综上可得当0<a<时/纠只有一个零点，故②正确： 对于③：使得∫(x)有三个不同零点，则必然是在(-∞，1)上有一个零点，在1，+0)上有 两个零点， [2'-a>0 a>0 则3071 ,解得1≤a<2, 2 f1)=1-3a+2a2>0 所以当1≤a<2时f(x)有三个不同零点，故③正确： [2'-a≤1-3a+2a2 对于④：若f(x)在R上是单调递增函数，则 a 解得as-V5 2 2 所以当<上5时，树在R上是单调递增西数，故@猎误。 代圆 2 故答案为：②③. m5+'m+k+虹圆的@人分C@价圆 15.(1)5 短+型）冠0=（一m)川L+▣）+》+正以同 (2)V2 验直圆0=1一1一m语 【详解】(1)因为三角形中角A,B,C成等差数列，2B=A+C, 所以B=60,由余弦定理知，b2=a2+c2-2 ac cos B, 得b2=a2+c2-ac,又因为b=(a-c）2+4,可得a2+c2-ac=(a-c)2+4, a2+c2-ac=a2+c2-2ac+4. c4根据君彩面积公可得Suwe-acsinB4x9 2 2 (2)在△BCD中，CD2= /+a2-2×-×axcos 2 =c2+a2-ac cos60=1c2+a2-1 4 ≥2 |Ica-ac=La ac-2, ac= 数学答案 第9页共14页 当且仅当c2=a,即a=2,c=22时取等号， 此时CD取得最小值为√互， 16.(1)an=15-2n 2)Tn= [14n-n2,n≤7 n2-14n+98,n≥8 【详解】(1)设等差数列的公差为d, a2=a+d=11 4+d=11 由题意可得{ 即 解得 a=13 。=104+10x9d=40 2a+9d=8' d=-21 2 所以a,=13-2(n-1)=15-2n, 121四 (2)图为8.-n3+15-20=14m-元， 2 令a=15-2>0,解得n<货、且eN。 当n≤7时，则a.>0,可得T=a+al++la=a+a2+…+a.=Sn=14n-n2; 当n28时，则a.<0,可得Tn=a+a++a=(a+a2+…+a)-(a+…+a) =S,-(S.-s,)=2S,-S.=214x7-7）(14n-)=-14n+99: 14n-n2,n≤7 答】B 综上所述： Z,-{2-14m+98,n28 17【答案】 【详解】()因为f冈)=子+r-1 e 所以∫= 2x+m)ef-(x2+mx-n)ei_x2+(2-m)x+m+n e2r e 则了a=4+22-m)+m+n-mm=0. 所以m-n=0. 数学答案 第10页共14页 (2）()由(1)得m=n, 则了闭=+2-mx+2m=-2x+m,xe0,]. e 因为m>0,令f'(x)>0,得0≤x<2; 令'(x)<0,得2<x≤3， 所以∫(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减 fwm=f@=4t,又f0=m<0f=9t20. e3 所以因在印列上的最大值为Q-仁，最小值为0=m 同因为e0朗we[剖 siny≤f). 所以(siny）n≤f(x)m, 由()可知f)在0,3]上的最大值为f2)=4+m 5-21一色9 v血v[刿 下之N目 所以1≤4+m→m≥e2-4>0. 慢闭8≤烂 e2 所以实数m的取值范围为[e2-4,+∞) 18【答案】 【详解】(1)解：由题知， 宁+京1,6FR的面积等于引=c=5, 1 所以a2-b=c2=3. 解得。2=3,0P=多，所以.椭圆C的方程为号+少 3 31. (2)()设直线PA的方程为y=kx-k+1, 直线PB的方程为y=kx-k2+1,由题知 -处=r, V1+ 所以(1-k)2=21+),所以(1-2）-2k+1-2=0, 数学答案 第11页共14页 同理，（1-2）好-2k2+1-r2=0, 所以k,k2是方程1-r2)x2-2x+1-r2=0的两根，所以kk=1. (i)设A(x,),B(x,2),设直线AB的方程为y=a+m, 将y=您+m代入苦+2少=1得1+2k2)+物x+2m2-3=0, 3 3 所以+女中2汉，司 4km 42® 2m2-3 x1X2= .E-=()八 下HS>兰同 所以片+片=(x+)+2m=,2m 1+2,③ 秋=n++名钙器⑧ 1苔：成 又因为k=当二x1公-0到-必-+2+11，⑤ x-12-1(x-1(名-1)-(3+)+1 n世闷 将①②③④代入⑤.化简得3k2+4m+m2+2m-3=0, 以实含站 所以3k2+4km+(m+3)(m-1)=0,所以(m+3k+3)(m+k-1)=0, ()2I E(S) 若m+k-1=0,则直线AB:y=+1-k=k(x-1)+1,此时AB过点P,舍去. 若m+3k+3=0,则直线AB:y=c-3-3k=k(x-3)-3,此时AB恒过点(3,3)月 所以直线AB过定点(3，-3) 回b+1的-=代因又 19【答案】 ++nS-D=00-+n呗 【详解】(1)PA⊥平面AEF,则PA上AE,PA上EF,三琳+=n盟空 BC⊥平面PAB,则BC⊥AE,BC⊥PA, ,BC⊥PA,且PA是平面AEF的法线， D中D△杏(S) .BC∥平面AEF, 000330-+ 又：BCC平面PBC,平面AEF∩平面PBC=EF, :.BCIIEF, 数学答案 第12页共14页 BC⊥AE, .AE⊥EF· (2) BC⊥平面PAB,且BCC平面ABC, B ∴.平面PAB⊥平面ABC,交线为AB, P在平面ABC内的投影在AB上，故直线PA与平面ABC所成角 a为∠PAB的余角，即a=∠PAP, 设平面AEF与平面ABC的交线为I,则IlIBC,且BC⊥平面PAB, .1⊥平面PAB, ·AEC平面PAB, I⊥AE, 又：BC⊥AB, .I⊥AB ∴.二面角的平面角B=∠EAB, ∴.a+B+∠PAE=π， PAL AE,则PAE= a+B=-PE ,为定值 (3)已知PA⊥平面AEF, 以A为坐标原点，AE为x轴，1为y轴，AP为z轴，建立下图所示空间直角坐标系 数学答案 第13页共14页 B 已知AP=AE=EF=I,E为线段PB的中点， 则A(0,0,0),P(0,0,1),E(1,0,0),F(11,0),B(2,0,-1), 设点2(01,0). ∴P℉=(1,1，-1），P0=(0,,-1),PB=(2,0,-2). 设平面PC2的法向量为万=(x,,乙)，则 0n山0-四 d-P丽-2-2 2 2 “点8到平面PC0的距离“同-1y+1+?2r2-21+2 3 当1=时，分母最小，d最大 2 2√6 .d max + 3 数学答案 第14贞共14页