浙江省2025-2026学年高一下学期期末复习测试（三）：复数、简单几何体的表面积与体积

**基本信息** 聚焦复数与几何体表面积体积，以题载法构建“概念-公式-应用”逻辑链，强化空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|7题（选择1-2,7,10,12,15,19）|虚部/模计算、复平面几何意义、方程根与系数关系|从概念（虚部）到几何意义（模），再到方程应用（根与系数）| |几何体|12题（选择3-6,8-9,11,填空13-14,解答16-18）|斜二测画法还原、组合体表面积计算、外接球补形法|从直观图还原到表面积体积公式，再到空间位置关系与球的切接问题|

浙江省2025——2026学年高一下学期期末复习测试（三） 复数、简单几何体的表面积与体积 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．（24-25高一下·浙江温州·期末）若复数，则的虚部是（    ） A．1 B．2 C．-i D．2i 2．（24-25高一下·浙江杭州·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C．3 D． 3．如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．下列说法正确的是（    ） A．四棱柱的所有面均为平行四边形 B．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等 C．用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 6．（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（    ） A．该石凳的表面积为 B．该石凳的体积为 C．有内切球，且内切球的体积为 D．有外接球，且外接球的表面积为 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知复数均不为零，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·浙江金华·期末）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）若复数，则__________. 13．（24-25高一下·浙江温州·期末）有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为______． 14．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在长方体中，，分别是的中点，记平面截长方体所得两个几何体的体积分别为、，则___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（24-25高一下·浙江宁波·期末）复数z满足为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限． (1)已知，求复数z； (2)已知，复数所对应的向量为，已知，求λ的值． 16．《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 17．如图，在三棱锥中，， (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的外接球体积． 18．如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 19．（24-25高一下·浙江衢州·期末）实系数一元三次方程，在复数集内的根为，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立． (1)已知方程有三个根，其中一个为1，求方程的另两个根； (2)设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，满足，求内切圆半径； (3)记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和（结果用表示）． 参考答案 1．B 【分析】根据复数的乘法运算及复数虚部的定义即可求解. 【详解】，所以的虚部是2. 故选：. 2．A 【分析】由题意可得，再根据复数模的公式计算即可. 【详解】由题意，，则， 所以. 故选：A. 3．D 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B错误； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 4．D 【分析】A选项，由线面垂直的性质可得A正确；B选项，由线面平行得到面面平行，进而由线面垂直得到面面垂直，推出B正确；C选项，先得到，又，则；D选项，可举出反例. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：，存在平面，使得且， 因为，所以，故，故B正确； C：若，，则，又，则，故C正确； D：若，，则或与异面或与相交，故D错误 故选：D． 5．C 【分析】对A，B，D，举出反例，即可判断A，B，D错误，对C，利用相似三角形的判定即可判断C正确. 【详解】对选项A，四棱柱的底面可以是梯形，如图所示： 故A错误. 对选项B，如图所示： 在正方体中，四棱锥，满足底面为正方形， 四条侧棱显然不相等，故B错误. 对选项C，如图所示： 三棱锥中，平面平面， 所以，，，即与相似， 故C正确. 对选项D，如图所示 该几何体满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故D错误. 故选：C 6．B 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 7．B 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 8．C 【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球. 【详解】A选项，该石凳由6个正方形和8个正三角形围成，它的表面积为，A正确； B选项，如图， 该石凳由一个棱长为的正方体截去8个全等的正三棱锥，其体积为 ，B正确； C选项，该多面体由6个正方形和8个正三角形围成，到这6个正方形距离相等的点为原正方体的中心， 设该点为，到这6个正方形距离为， 设到8个正三角形的距离为，则，解得， 所以该多面体不存在内切球，C错误； D选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，即2， 所以球表面积为，D正确. 9．BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 10．ACD 【分析】根据复数的运算法则判断ACD；举特例判断B. 【详解】对于ACD，设， 则，即， 而，即，故A正确， 而， ，则，故C正确， 而， ， 则，故D正确； 对于B，当时，， 而，故B错误. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】对于A，分析出球面上一点到球内一点的最大距离为即可判断；对于B，分析出当垂直于截面时，截面的面积最小即可判断；对于C，设正方体的棱长为，分析出P到该正方体各面距离的最大值为即可判断；先求出正四面体的高即球心到正四面体一个面的距离，再判断出点与正四面体的每个面的交线是一个圆，并求出截面圆的半径，即可求出点P在该正四面体上的轨迹长度，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有. 根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径 加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P作球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小， 由勾股定理可知， 所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示： 若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知. 已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是， 故C正确； 对于D，如图所示 若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接， 设在底面的射影为，则在上，且， 设正四面体的棱长为， 则正四面体的高 又因为外接球半径， 由可知，，. 所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为， 所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据复数的乘法化简可得复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】作出截面图形，可知小球最大半径满足，由此可得答案. 【详解】设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下： 由题意得，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 14． 【分析】如图所示，过点的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点的截面即为五边形 ， 在长方体中，， 因为点，分别是，的中点 所以，所以， 因为， 所以 则过点的截面下方体积为： ， ∴另一部分体积为， ∴. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）设复数，由，得到，再由为纯虚数，得到，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到向量，，，结合，列出方程，即可求得的值. 【详解】（1）解：设复数， 因为复数z在复平面内所对应的点在第一象限，所以， 又因为，则，即 又由为纯虚数，则， 联立方程组，其中， 解得，所以. （2）解：因为，可得，，则向量，，， 可得，， 因为，可得，即，解得． 16．(1) (2) 【分析】（1）设刍童的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可； （2）根据两点之间线段最短，当三点共线时取得最小值，即的长. 【详解】（1）设棱台的高为， 由，得， 记上底面的面积为，下底面的面积为， 则， 所以， 又， 所以该组合体的体积为； （2）将绕着直线旋转至平面， 当三点共线时，取得最小值． 因为， 所以在中， 所以的最小值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形面积公式得到面积，由余弦定理和三角形面积公式得到面积，相加得到表面积； （2）由两两垂直可知补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径，再由球的体积公式得到外接球体积. 【详解】（1）由题意得， ， 以下计算， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以三棱锥的表面积. （2）因为两两垂直， 所以三棱锥的外接球直径即为以长度为边长的长方体的体对角线， 根据长方体体对角线公式得， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积. 18．(1)证明见解析 (2) (3)线段即为点的轨迹，理由见解析 【分析】（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明； （2）法一：连接，根据，结合锥体体积公式计算；法二：由等体积法可知即可求解； （3）根据题意，，进而得到点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，再得到轨迹即可． 【详解】（1）证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2）法一：连接，则， ． 法二：（等体积法）由知， 因为，所以， 因为，所以． （3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 19．(1)2，3． (2) (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可； （2）设，由可知计算可得，得出三角形三个点的坐标，利用等面积法计算即可求得内切圆半径； （3）设，可确定在每一段区间内单调递减，可确定直线与曲线的交点区间，可知不等式的解集为，结合韦达定理可求得所有区间长度之和. 【详解】（1） 利用根与系数的关系可得：，解得． （2）根据三次方程根与系数的关系可知，为的三个根，首先必定有一个为0， 不妨设，则为的两个根， 分解因式得，所以， 所以三角形的三个顶点为， 设三角形内切圆的圆心为，半径为， 则三角形的面积， 即． 因为， 所以． （3）设函数． 反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间， 故函数在上递减， 易得为函数图象的渐近线． 所以函数的图象与直线相交于个点． 这些点的横坐标为， 它们即为方程的所有解． 故由图象得，原不等式的解集为，    故解集中有个区间，所有区间长度之和为， 联系韦达定理： 可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数， 易得最高次项的系数为，项的系为，即． 所以有． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解韦达定理的形式，将所求区间长度转化为求解一元高次方程根与系数关系的问题，从而利用韦达定理求得结果. 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