专题2.2 一元二次方程的解法【导图+知识卡片+知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等核心解法，结合根的判别式，延伸换元法及分式方程转化，构建从基础到拓展的完整学习支架。 资料以思维导图串联知识，9个题型讲练含典例与变式，中考真题融入几何背景，难度分层设计。通过步骤拆解培养运算能力与推理意识，实际问题应用提升模型意识，课中辅助系统教学，课后助力分层巩固查漏补缺。

专题2.2 一元二次方程的解法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 2 知识点二 配方法解一元二次方程 3 知识点三 一元二次方程根的判别式 4 知识点四 公式法解一元二次方程 4 知识点五 因式分解法解一元二次方程 4 题型讲练 5 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 5 题型二 解一元二次方程——配方法 6 题型三 配方法的应用 7 题型四 公式法解一元二次方程 8 题型五 因式分解法解一元二次方程 9 题型六 换元法解一元二次方程 10 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 12 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 12 题型九 解分式方程(化为一元二次) 13 中考真题演练 14 难度分层训练 20 【基础夯实】 20 【培优拔高】 26 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点二 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点三 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点四 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点五 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 【变式训练】我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【答案】或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 题型二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 【变式训练】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 题型三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 题型四 公式法解一元二次方程 【典例精讲】解方程：． 【答案】 【分析】方程运用公式法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． 【变式训练】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）解方程及计算： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用分母有理化、二次根式的除法及二次根式的性质将原式化简，再进行加减运算． 【详解】（1）解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解： ． 题型五 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ，． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 题型六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【答案】 或 /或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 通过变量替换，将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：设，则第二个方程化为，与第一个方程 形式相同． ∵方程的解为或， ∴或， 代入，得 或， 解得或． 故答案为：或． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解 （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． （3）令，根据换元法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴， （3）解： 令，则 ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故， 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式训练】（2026·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 题型九 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（2023·上海浦东新·二模）解方程：. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 【变式训练】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程、解一元二次方程等知识点，正确将原式变形是解答本题的关键．由得，代入求解，并检验分母不为零． 【详解】由，得． 代入， 分子， 所以， 即． 两边乘以2，得． 所以， 整理得， 因式分解得， 解得或． 检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足． 故答案为：或． 【真题演练1】（2025·四川资阳·中考真题）若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 【真题演练2】（2025·山东济宁·中考真题）如图，点，，…在反比例函数 的图象上，点，，…在y轴上，且…，直线与双曲线交于点，，，…，则（为正整数）的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，…作轴垂线，垂足为，，…，如图所示，先联立直线与反比例函数表达式求出，再由勾股定理求出，结合直线的图象与性质和题中条件，判定均为等腰直角三角形，在中，求出即可得到；设，则由等腰直角三角形性质可知，即，由点在反比例函数 的图象上，将代入反比例函数表达式解方程即可得到，则；同理求出，得；求出，得；；猜想（为正整数）的坐标规律为即可得到答案． ． 【详解】解：过点，，…作轴垂线，垂足为，，…，如图所示： 联立，则， 即，解得， ， ，即， 则， 直线是第一、三象限的角平分线， ， ， ，，， 均为等腰直角三角形， 在中，，，，则， 由勾股定理可得，则； 设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数 的图象上， ，解得或（舍去）， 则，即； 同理，设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数 的图象上， ，解得或（舍去）， 则； 同理，设，则由等腰直角三角形性质可知， 即， 点在反比例函数 的图象上， ，解得或（舍去）， 则； 综上所述，可以得到，则（为正整数）的坐标是， 故选：D． 【真题演练3】（2025·重庆江津·中考真题）对任意一个四位自然数M，如果满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，那么称这个数为“等和数”．例如：，因为，所以3452是“等和数”，则最小的“等和数”是______；已知一个“等和数”使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且能被5整除，则M的最大值为______． 【答案】 1001 6693 【分析】本题考查了“等和数”的新定义，有理数的运算，以及一元二次方程有根的情况，解决本题的关键是理解“等和数”的定义并理解一元二次方程有根的情况． 对于最小的“等和数”，取千位数字最小为1，百位数字最小为0，则千位与百位之和为1，十位与个位之和也需为1，故十位为0，个位为1，由此可得；对于M的最大值，由“等和数”条件得，由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为零，代入后得，进而，由整除条件得能被5整除，故或6．为使M最大，取，，，为使M最大取，，得． 【详解】解：取千位数字最小为1，百位数字最小为0， 则千位与百位之和为1，十位与个位之和也需为1， 故十位为0，个位为1，得最小“等和数”为1001； 设M的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由“等和数”定义，有， 一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式， 代入，得， 即，故， 于是， 又能被5整除， 因3与5互质，故能被5整除，a可取1或6， 若使M最大，取，则，又， ∴， 若使M最大，取，则，得． 验证：，，相等； 方程，即，两个相等的实数根， 且能被5整除，满足条件． 最小的“等和数”为1001，M的最大值为6693． 故答案为：1001；6693． 【真题演练4】（2025·河北张家口·中考真题）欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、解一元二次方程等知识点，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． 根据题意构造以和8为直角边长的直角三角形，再根据可得，即；再运用勾股定理列一元二次方程求得a的值，然后再求的面积即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， 如图，以和8为直角边长作直角三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，解得：（已舍去负值）， ∴的值为， ∴的面积为． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·四川广元·中考真题）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【答案】（1）；；；25；（2）见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：仿照方法2配方解，先变形为，如图2， 每个小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， 解为， 故答案为：，，，； （2）解：先变形为，如图， 每个小长方形的长为，宽为， 利用图形的面积关系得配方后的方程为，即， ∴； 解为． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0可得，据此求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且， ∴ 解得， 且． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 【答案】③ 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，， 即， ∵， ∴方程的根的情况是没有实数根． 7．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 8．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个实数根？ (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)且 (2)，另一个根为 【分析】（1）根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，结合方程有两个实数根对应判别式大于等于0即可求解； （2）先将已知根代入方程求出k的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】（1）解： ∵是关于x的一元二次方程，且方程有两个实数根 ， ∴ 解得， 解得， 因此当且时，方程有两个实数根． （2） ∵方程的一个根是 ， ∴将代入原方程得 ， 化简得， 解得 ， 将代入原方程得 ， 因式分解得 ， 解得，， 因此，方程的另一个根为． 9．（24-25九年级上·云南昆明·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和正比例函数的图象都经过点． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度后与轴相交于点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，连接，求点的坐标及的面积． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点分别代入反比例函数和正比例函数，可求得，，从而得到函数表达式． （2）直线向下平移个单位长度得，与反比例函数联立，解得第一象限交点，再过点作轴，交于，由计算 的面积， 【详解】（1）解：由题意，将代入，得，解得 将 代入 ，得，解得， ∴ 反比例函数表达式为，正比例函数表达式为． （2）由（1）得直线的解析式为． 向下平移3个单位后，新直线的解析式为． 该直线与轴相交于点，即直线的解析式为． 联立直线与反比例函数：， 消去得，化简得 解得或． 点在第一象限，， ，代入得 ， 点的坐标为． 如图，过点作轴，交于， 直线的函数解析式为： ， 点与点的横坐标相等， 点的坐标为，即， ． 【培优拔高】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先得到函数对称中心，代入直线方程得到a与b的关系式，再通过配方法求的最小值； 本题考查了反比例函数图象与性质，图象的中心对称，最值，熟练掌握中心对称是解题的关键． 【详解】解：∵ 又∵的对称中心为，将其图象向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的图象 ∴该函数图象的对称中心为 ∵点在直线上 ∴，即， 则 配方得： ∵ ∴， 即的最小值为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．由题意可知，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，或， ∴设，则，， ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴． 综上，或或． 故选：D． 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，求出,证明，得到则，根据得到，解得或（不合题意，舍去）．即可求出的长度． 【详解】解：作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴, ∵点D是边的中点， ∴ ∴， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，,， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． 5．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． 设，先利用正方形的性质和直角三角形的性质求得，则，过N作于P，过M作于Q，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别求得，，证明是等腰直角三角形，设，则，，利用等面积法列方程求得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， 在正方形中，，， 在中，，， ∵为的中点，， ∴，则， 由勾股定理得， 解得（负值舍去），则， 过N作于P，过M作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴， 在中，， 由勾股定理得， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）定义：符号表示不超过x的最大整数，如，解方程，则该方程所有解的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程的解以及根的判别式．通过设，将方程转化为关于的方程，根据一元二次方程根的判别式和的范围确定的取值范围，再验证求解即可． 【详解】解：设，则为整数，且． ∵， ∴， 根据题意可得该方程有实根， ∴， 即， 解得：， 即， ，解得：， ∵且， ∴， ∴． ∴，即， 由，得：， 整理得：，该不等式恒成立； ，得：， 整理得：， 解得：， ∴． ∴方程的解为或或， 所有解的和为． 故答案为： 8．如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． (1)求反比例函数的解析式； (2)将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形中边的关系，结合坐标与图形性质求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出值，即可得到反比例函数解析式； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，得出直线平移后的解析式，与反比例函数解析式联立，根据边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，设交轴于点，过点作轴于点． 是等腰直角三角形，点为直角顶点， ， 轴， ， 又， ， ， ∵， ∴， 点B的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点的坐标为， ∴点A和点C关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， ∵、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 直线沿x轴正方向平移个单位后，直线方程为：， 与反比例函数解析式得， 整理得：， 当直线和反比例函数只有一个交点时，， 解得：​．（沿轴正方向平移，故负值舍去） 9．某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 【答案】(1)加热阶段：，降温阶段： (2)可进行工序操作的时间为分钟 (3)最迟应在开始重新加热材料 【分析】（1）材料加热过程为一次函数，根据其图像过和，用待定系数法可求出函数表达式；材料冷却过程为反比例函数，代入求出函数表达式； （2）让两段函数的都等于，算出两个对应的值然后相减即可； （3）由，可知应在冷却阶段再次加热，然后设新加热函数的解析式为，据题意可知该函数图像经过，将坐标代入解出，然后求出新加热函数与降温函数交点的横坐标，然后换算成时间． 【详解】（1）解：加热阶段： 据题可知，图像过点和，设函数表达式为， 将代入得：，解得， 则加热阶段表达式为； 降温阶段： 设函数表达式为，将代入得：， 则表达式为， 将代入得， 则降温阶段表达式为． （2）解：将代入可得：， 将代入得：， 则可进行工序操作的时间为分钟． （3）解：由，则应在冷却阶段再次加热， 再次加热时，设函数表达式为，由题意，图象过点，代入得：， 解得，则， 令，即，解得：或（舍）， 故最迟应在开始重新加热材料． 10．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． (1)【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为 ． (2)【迁移应用】如图②，以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长： (3)【拓展延伸】点从点向点运动过程中，判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点运动的路径长 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程； （1）根据旋转得到，，再，得到，，即可得到； （2）过点作于点，连接，由（1）同理可得，，，根据画弧，得到，设，则，，再在中，根据列方程求解即可； （3）过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，分别证明，得到，同理可证，则，，即可得到、、在同一条线上，则点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作于点，连接，如图所示， 由（1）同理可得， ∴，， ∵，， ∴，， ∵以线段中点为圆心，长为半径画弧， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∵，当时，，不符合， ∴； （3）解：点运动的路径长与线段的数量关系为，理由如下： 过点作于点，当在点时，则对应点在线段上，当在点时， 对应点，过点作交直线于点，如图所示， 由（1）同理可得，， ∴，，，， 由旋转可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证，则， ∴、、在同一条线上， ∴点从点向点运动过程中，点运动的路径为线段，点运动的路径长与线段的数量关系为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 2 知识点二 配方法解一元二次方程 3 知识点三 一元二次方程根的判别式 4 知识点四 公式法解一元二次方程 4 知识点五 因式分解法解一元二次方程 4 题型讲练 5 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 5 题型二 解一元二次方程——配方法 5 题型三 配方法的应用 6 题型四 公式法解一元二次方程 6 题型五 因式分解法解一元二次方程 6 题型六 换元法解一元二次方程 7 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 7 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型九 解分式方程(化为一元二次) 8 中考真题演练 8 难度分层训练 10 【基础夯实】 10 【培优拔高】 11 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点二 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点三 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点四 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点五 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 题型二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】解方程： (1)； (2)． 【变式训练】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 题型三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 题型四 公式法解一元二次方程 【典例精讲】解方程：． 【变式训练】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）解方程及计算： (1)解方程：； (2)计算：． 题型五 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 题型六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期末）若关于的方程的解是，（，，为常数，），则关于的方程的解为________． 【变式训练】（25-26九年级上·河南南阳·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 【变式训练】（2026·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 题型九 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（2023·上海浦东新·二模）解方程：. 【变式训练】（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____． 【真题演练1】（2025·四川资阳·中考真题）若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【真题演练2】（2025·山东济宁·中考真题）如图，点，，…在反比例函数 的图象上，点，，…在y轴上，且…，直线与双曲线交于点，，，…，则（为正整数）的坐标是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·重庆江津·中考真题）对任意一个四位自然数M，如果满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，那么称这个数为“等和数”．例如：，因为，所以3452是“等和数”，则最小的“等和数”是______；已知一个“等和数”使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且能被5整除，则M的最大值为______． 【真题演练4】（2025·河北张家口·中考真题）欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，分别以和为两直角边长作，然后在斜边上截取，则的长就是方程的正根．利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则的面积为___________． 【真题演练5】（2025·四川广元·中考真题）我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用“拼”的方法完成了配方，例如：，可以变形为，用四个长为、宽为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到． 【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积为________； 【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程，写出解题过程． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 5．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 6．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号） ①有两个不相等的实数根          ②有两个相等的实数根        ③没有实数根 7．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）一元二次方程的解是_________． 8．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当为何值时，方程有两个实数根？ (2)若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 9．（24-25九年级上·云南昆明·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和正比例函数的图象都经过点． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位长度后与轴相交于点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为，连接，求点的坐标及的面积． 【培优拔高】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 2．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）已知图象的对称中心在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 4．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 5．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形中，是边上的一点，点在的延长线上，，为的中点，点在边上，．若，，则的长为________． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）定义：符号表示不超过x的最大整数，如，解方程，则该方程所有解的和为___________． 8．如图，等腰直角的直角顶点B的坐标为，平行于轴，点C在反比例函数的图象上，若交轴于点D，． (1)求反比例函数的解析式； (2)将沿轴正方向平移，使边与反比例函数的图象正好只有一个交点时，设平移距离为，请直接写出的值． 9．某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 10．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）综合与探究 【数学背景】如图，线段于点，点是线段上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段． (1)【问题操作】如图①，过点作于点，补全图形后，线段与线段，之间的数量关系为 ． (2)【迁移应用】如图②，以线段中点为圆心，长为半径画弧，点恰好在的弧上，，求的长： (3)【拓展延伸】点从点向点运动过程中，判断点运动的路径长与线段的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull