2026年中考数学复习《解直角三角形的应用》综合练习题

**基本信息** 《解直角三角形的应用》专项训练以实际场景为载体，系统整合构造直角三角形、三角函数应用等方法，形成“问题建模-边角转化-精准计算”的解题逻辑链，培养数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|14题（单选1-7、填空8-14）|构造直角三角形，用三角函数/勾股定理解基本模型|从三角函数定义（概念生成）→直角三角形边角关系（原理推导）→仰角/俯角/坡度/方向角应用（应用拓展）| |综合拓展|4题（解答15-18）|多直角三角形联动，方程思想解决叠合图形问题| |实践创新|2题（解答19-20）|跨学科场景建模（机器人武术/社区服务），结合动态问题|

2026年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》综合练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（在同一条直线上）（    ） A． B． C． D． 2．某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（   ） A．米 B．5米 C．4米 D．3米 3．“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．某交警在一次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为96米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（   ）米/秒． A． B． C． D． 4．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞完全撑开时，两条伞骨所成的角，伞圈在伞柄上，；如图2，伞完全收拢时，伞圈滑动到的位置，在伞完全撑开到完全收拢的过程中，伞圈移动的长度可表示为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一根长的竹竿斜靠在墙上，竹竿与地面的倾斜角度为，当竹竿沿着墙向下滑到的位置时，此时竹竿与地面的倾斜角度为，则竹竿向外滑动的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，某校学生开展综合实践活动，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为（　　）米． A．20 B．15 C．12 D． 7．如图，在矩形空地上画有一些车位，矩形是其中一个车位．点B，点F，点E三点在同一直线上，点E在边上，点G在边上，且，，，则的长度（单位：m）为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 9．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，再测得教学楼顶端点的俯角为．则教学楼的高度约为__________．（精确到），参考数据：，，） 10．如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，测得河对岸处的俯角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，其中，则河的宽度为_________． 11．广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 12．图1为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图2．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________．（结果精确到，参考数据：，） 13．如图，A市北偏东方向上有一旅游景点M，在A市北偏东方向的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西的方向上，则景点M到公路的距离为______米．（结果保留根号） 14．如图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中为桌面（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架与灯管的长度都为，且夹角为（即）．若保持该夹角不变，当支架绕点顺时针旋转时，支架与灯管落在位置（如图2所示），则灯管末梢的高度会降低________． 三、解答题 15．在一个阳光明媚的中午，小明准备测量教学楼前的一棵树的高度，如图，阳光下，树顶端的影子落在地面处，教学楼顶端平行于地面，的影子落在地面处，小明在处测得的俯角为，已知图中所有点均在一个平面内，点在一条直线上，测得，求树的高（结果精确到，参考数据：） 16．某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（参考数据：，，，）． (1)求图②点到支撑脚的垂直距离．（结果精确到） (2)如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 17．如图1是街角公园（部分）的俯视图．已知街角公园毗邻两段互相垂直的小路，，其中路段的长为，路段的长为，街道平行于小路，点表示街道上的一盏路灯（图中所有点均在同一水平面内）．数学实践小组的同学利用测角仪器测得，，请根据上述测量结果计算出小路与街道之间的距离（结果精确到；参考数据：，，，，，）． 18．下图是某同学安装的化学实验装置，安装要求：试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，即．已知试管长度，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离（精确到）． (2)实验时，点，，在同一条直线上，经测量，，．求试管夹到桌面的垂直距离（精确到）． （参考数据：，，，） 19．为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） (1)求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； (2)某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 20．综合与实践． 素材：2026年央视春晚的武术节目《武》中，机器人表演了“长棍劈扫”与“双节棍轮转”两个精彩动作（如图1、图2所示）．某校数学兴趣小组的同学根据录像测量了部分数据，并尝试建立数学模型．请你结合所学知识，解决下列问题． 任务一：如图3，机器人肩膀固定点离地面高度米．长棍长米，初始时水平（与地面平行），端与点重合．机器人让长棍绕点匀速向下转动，当长棍与水平方向的夹角为时，长棍的位置为． (1)求此时长棍的端到地面的高度； 任务二：如图4，双节棍由两段等长的棍子和通过链条连接而成，每段长米．机器人手握端，使保持竖直向上，同时让绕点在竖直平面内匀速旋转（链条长度忽略不计）．在某一时刻，与竖直方向的夹角为（为锐角），测得．已知点离地面高度为米． (2)求此时点离地面的高度． 参考答案 1．解：∵两根拉线与相互垂直，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 2．B 【分析】本题考查了坡度问题，勾股定理． 设米，则米，根据勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设米， ∵， ∴米， ∵，米， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴米． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了俯角的定义，直角三角形的边角关系，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．如图所示，过点A作于点D，通过俯角的定义和解直角三角形求出，由汽车通过山洞的时间为12秒，求出小车过山洞的平均速度． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， 由题意得，，，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵汽车通过山洞的时间为12秒， ∴小车过山洞的平均速度为（米/秒）， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据，得到四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知，再根据，即可得出结果． 【详解】解：如下图所示，连接交于点， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 由题意：， ∴； 故选： D． 5．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）． 7．A 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，在中求出，在中得，从而可求出． 【详解】解：， ， 在中，， ， 在中，， ， 故选：A． 8． 【分析】根据特殊角的正切函数求解即可； 【详解】解：过点P作于点D， 根据题意，得， 故， 解得， 故． 9． 【分析】构造直角三角形，根据三角函数计算及的长度，即可得到教学楼高度． 【详解】解：如图，过作地面垂线，垂足记为，过作交延长线于， 可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10． 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理可以求出，根据的正切可以求出，根据线段之间的关系和矩形的性质可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 则四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11． 600 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 12． 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，在和中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离约为． 13．/ 【分析】本题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作 根据已知可求得各角的度数，从而根据勾股定理和直角三角形性质可求得和的长，再根据面积公式即可求得的长． 【详解】解：过点C作于点P，如图所示： 则， 根据题意可知：米，，，，， ∴， ∴，， ∴米，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， 根据勾股定理得：米， ∴米， ∵， ∴米． 故答案为：． 14．20 【分析】作于点D，作于点E，则四边形是矩形，利用矩形的性质和解直角三角形的知识求出的长，如图2中，作于点F，作于点H，作于点G，则四边形是矩形，利用解直角三角形的知识求出的长度，然后用即得答案． 【详解】解：如图1中，作于点D，作于点E，则四边形是矩形， ∴，∵，∴， 在中，， ∴， 如图2中，作于点F，作于点H，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即灯管末梢的高度降低了． 15．树的高度约为 【分析】如图，过点作于点，则四边形和四边形为矩形，易得；设，则，证明可得，即、，再在中解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形和四边形为矩形， ， 设，则， 由题意知， ， ， ， ， ， ， ∵在处测得的俯角为， ∴ 在中，，解得：． 答：树的高度约为． 16．(1) (2) 【分析】（1）过作交延长线于，先算出长度，再用得到总垂直距离；利用求出，在中用正弦函数求； （2）过作延长线于，在中利用余弦求出，再结合原图计算旋转角度． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ， ， 在中，， ， ， 代入数据： ， 由题意，座面高， 点到的垂直距离． （2）解：过点作直线，垂足为， 已知点到点的水平距离为， ， 在中，， ， 由参考数据，得， 图②中，图③中， 旋转的度数． 17． 【分析】延长交于点G，过点C作于点H．设，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：延长交于点G，过点C作于点H． 由题意可知四边形是矩形． ，． 设． ， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ， ． 解，得． 即． 答：小路与街道之间的距离约为． 18．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据线段的数量关系推出，再利用解直角三角形的计算求出，证明四边形为矩形，结合矩形性质即可求出酒精灯与铁架台的水平距离； （2）过点作于点，于点，利用解直角三角形的计算求出，证明四边形为矩形，进而求出，再次利用解直角三角形的计算求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， ， ， ， 倾斜角为， ， ， 四边形为矩形， ； （2）解：过点作于点，于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ． 19．(1)米 (2)112.4米 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，利用45°锐角三角函数值解直角三角形求出长，利用60°锐角三角函数值解直角三角形求出长，根据求出结果； （2）根据速度关系，设，则，，过点作于点，利用45°、60°锐角三角函数值解直角三角形求出、、的长，根据勾股定理列方程求出x的值，进而求出结果． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点． 由题意得：，，； 在中，，， ∴， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：健身广场和便民菜站之间的距离为米． （2）解：设小聪走到点，小明走到点，连接， 小明的速度是小聪的倍， 设，则，， 过点作于点，     在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： ， （舍）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ (米）， 答：小聪到的距离为112.4米． 20．(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形，在中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解； （2）过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形，求出Q点离地高度，在 中，设为，为，则，然后在 中，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H，过点C作，并反向延长交地面于点D，则四边形为矩形， 米， 在中，， 米，， ， （米） ∴C端到地面高度： （米） 答：长棍的C端到地面高度为0．4米． （2）解：如图，过点Q作于点F，过点R作 于点K，过点作 于点，则四边形为矩形， 米，点离地高度为米，且竖直向上， （米） 点离地高度（米） ，为锐角， ∴在 中，设为，为， 由勾股定理，得， ∴在 中，， （米） （米） 点离地高度（米） 答：此时R离地面的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $